2017届甘肃省河西三校普通高中高三上学期第一次联考文科数学试题及答案

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给
出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}2,0,2A =-，{}220B x x x =--=，则A B ⋂= ( ) A ．∅ B ．{ 2 } C ．{ 0 } D ．{2-} 2.命题“∀x R ∈，|x |20x +≥”的否．
定是( ) A ．∀x R ∈， |x |20x +< B ．∀x R ∈， |x |20x +≤ C ．∃0x R ∈，|0x |200x +< D ．∃0x R ∈，|0x |200x +≥ 3．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )
A ．x e y -=
B ．3x y =
C ．x y ln =
D ．=y |x | 4．设7log 3=a ，1.12=b ，1.38.0=c ，则( )
A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．a b c <<
D ．b a c << 5．已知函数26
()log f x x x
=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是( )
A ．(0，1)
B ．(1，2)
C ．(2，4)
D ．(4，＋∞)
6．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．()()f x g x 是偶函数
B ．|()f x |()g x 是奇函数
C ．()f x |()g x |是奇函数
D ．|()()f x g x |是奇函数 7. 函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件
9．将函数y ＝sin x 的图像向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f (x )的
图像，则下列说法正确的是( )
A ．y ＝f (x )是奇函数
B ．y ＝f (x )的周期为π
C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π
2对称
D ．y ＝f (x )的图像关于点(,0)2
π
-对称
10.直线12y x b =
+与曲线1
ln 2
y x x =-+相切，则b 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－1
2 D ．1
11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）
A ．[1,2]
B ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．1,22
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．(0,2]
12.已知函数22,0,
()ln(1),0
x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩,若|()|f x kx ≥,则k 的取值范围是
（ ） A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[2,1]-
D ．[2,0]-
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将正确答案填
在答题卷上对应题号 的横线上.
13．3
4
1681-⎛⎫
⎪⎝⎭
＋log 354＋log 345＝________.
14．设sin 2sin αα=-,(,)2
π
απ∈,则tan 2α的值是________.
15.已知一元二次方程022=++b ax x 有两个根（b a ,为实数），一个根在区间()1,0内，另一个根在区间()2,1内，则点()b a ,对应区域的面积为________． 16. 函数x
y -=
11
的图象与函数x y πsin 2=（46x -≤≤）的图象所有交点的横坐标之和等于______．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）
设命题p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a >,命题q :实数x 满足
22
60,280.
x x x x ⎧--≤⎪
⎨+->⎪⎩. (1)若1,a =且p q ∧为真,求实数x 的取值范围;
(2)若p ⌝是⌝q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+． (1)求5(
)4
f π
的值； (2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．
19．（本小题满分12分）
△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos
A B ＝A ＋π2.
(1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．
20．（本小题满分12分）
已知函数)(x f ＝x 4＋a x －ln x －32
，其中a ∈R，且曲线y ＝)(x f 在点
(1，)1(f )处的切线垂直于直线1
2
y x =. (1)求a 的值；
(2)求函数)(x f 的单调区间与极值．
21．（本小题满分12分）
已知函数3()23f x x x =-.
(1)求()f x 在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；
(3)问过点A (－1，2)，B (2， 10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？(只需写出结论)
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分，作答时请写清题号.
22.选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E （1）证明：ABE ∆∽△ADC ;
（2）若ABC ∆的面积12
S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小.
23.选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为（1，－5），点M 的极坐标为（4，2
π），若直线l 过点P ，且倾斜角为3
π
，圆C 以M 为圆心，4为半径。

（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程。

（2）试判定直线l 与圆C 的位置关系。

24.选修4—5，不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()1,()3f x x g x x a =-=-++ a R ∈ （1） 解关于x 的不等式 ()6g x >
（2）若函数2()y f x =的图象恒在函数()y g x =的上方，求实数a 的取值范围。

2017年9月河西三校普通高中高三第一次联考文科数学试题
参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给
出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）
解：方法一：
(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝
⎛
⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝ ⎛
⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2. ………………6分
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z. ……………12分
19．（本小题满分12分） 解：(1)在△ABC 中，
由题意知，sin A ＝1－cos 2
A ＝3
3
.
又因为B ＝A ＋π
2
，
所以sin B ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝cos A ＝63.
由正弦定理可得，b ＝a sin B
sin A
＝
3×
63
33
＝
3 2. ………………………6分
(2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝－sin A ＝－3
3.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )， 所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]
＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫－33＋63×63 ＝13
. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝1
2×3×3
2×13
＝
32
2
. …………………12分 20．（本小题满分12分）
解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x
，
由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1
2
x
知
f ′(1)＝－3
4
－a ＝－2，解得
a ＝
5
4
. ………………………………5分 (2)由(1)知f (x )＝x
4＋54x －ln x －3
2
，
则f ′(x )＝x 2－4x －5
4x 2
.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
当x ∈(0，5)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，5)上为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(5，＋∞)上为增函数．
由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5,无极大值. …………………12分 21．（本小题满分12分）
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x30－3x0，且切线斜率为k＝6x20－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x20－3)(1－x0)，
整理得4x30－6x20＋t＋3＝0，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，
y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．…………………9分
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．…………………12分
22．（本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△
ADC. ………………………………5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以AB AD
AE AC
，
即AB·AC＝AD·AE.
又S＝1
2AB·AC sin∠BAC，且S＝1
2
AD·AE，
故AB·AC sin∠BAC＝AD·AE.
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°. ………………………10分
24．（本小题满分10分）
解:（1）由36
+<-
x a
-++>，得36
x a
当6
a≤时无解
当6
a>时，(6)36
-<<-
a x a
--<+<-，即39
a x a
∴不等式解集为（3,9
a>）……………………
a a
--）（6
5分
（2）2()
g x图象上方，故
y f x
=图象恒在()
->⇒<-++
2()()0213
f x
g x a x x。