整体视域下的深度学习——以“乘法的意义”与“乘法交换律”的整体实践教学为例

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教研与美育
教学研究
整体视域下的深度学习
——以“乘法的意义”与“乘法交换律”的整体实践教学为例
沈友情
（宁波市北仑区蔚斗小学，浙江　宁波　315000）
摘　要：教师在教学时应注意教材知识点之间的连接与贯通。

本文以“乘法的意义”与“乘法交换律”为例，对“零散”的知识点进行深度教学，进而连接两部分的知识，将知识 “整体”化。

通过化“零”为“整”的实践反思，将其应用到更多的“整体”教学中。

关键词：化“零”为“整”；深度学习；乘法的意义；乘法交换律
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教材编写应体现整体性，注重内容之间的相互联系，考虑整体知识之间的联结。

同时结构主义认为，教学具有整体性的原则。

但在实际教学中，教材只能分课时地零散呈现知识。

一些教师认为教材就是标准，从而将知识整体割裂，讲解前面的知识时不考虑后续的教学，这显然无法帮助学生建构知识网络。

对“乘法交换律”的学习建立在“乘法的意义”的基础之上，很多教师将两者割裂，导致学生无法真正理解乘法交换律。

本文将“乘法的意义”与“乘法交换律”两部分的知识作为一个整体进行教学，从而实现两者的贯通。

一、由“零”推 “整”，相互矛盾引遐想
在《小学数学教材中的大道理》这本书中，张奠宙教授指出，可按照加法算理的本质，通过数一数的方式让学生理解乘法交换律。

为何推荐用数数的方法教学乘法交换律，而不按照教材的设定进行教学呢？他解释：按照教材的设计，学生无法真正理解乘法交换律。

在实际的教学中也可找到同样的答案。

在四年级下册“乘法交换律”的教学中，经常出现这样的教学情境：有25个小组在植树、挖坑，每个小组4人，一共有多少人在植树、挖坑？学生列出算式25×4=100（人）或4×25=100（人），最后按照教材的设定总结归纳乘法交换律。

在上述教学过程中，教师通过让学生反复验证两个乘法习“乘法的意义”时，课本中已经说明：对任意的实数a、b，有a×b=b×a成立，那么乘法交换律不用验证也是成立的。

如果按照二年级教材的设定，那么学习乘法交换律还有意义吗，这真的可以称之为“数学定律”吗？
张奠宙教授在《小学数学教材中的大道理》指出，教材一开始设定“乘法的意义”的教学时就出现歧义，将a个b相加改写成乘法算式a×b或b×a时，对算式中乘数的意义不加说明，是造成学习乘法交换律没有意义的根本原因。

即对“零散”知识“乘法的意义”没有进行深度教学，从而造成“乘法的意义”与“乘法交换律”的“整体”教学的堵塞。

如何设计“乘法的意义”的教学，帮助学生“归类寻因明本质”，为“乘法交换律”的学习做出延伸与铺垫，这个问题值得进一步探究。

二、“零”中寻“整”，归类寻因明本质
想要对“乘法的意义”与“乘法分配律”进行“整体”教学，就要对“零散”知识“乘法的意义”进行深度教学，明晰乘法的意义是什么、为什么成立等问题。

接下来笔者将从研读教材、对比教材两个方面对“乘法的意义”进行深入分析。

（一）研读教材，寻求乘法本质
在二年级上册“乘法的意义”一课中可以看到，教材通过同数相加地加法算式（图1）的引导，同时用“几个几”的
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写乘法做铺垫，突出乘法的本质。

图1 图2
当把加法算式（图1）改写成乘法算式时，有两个乘法算式与之对应（图2），两个乘法算式唯一的不同是两个乘数的位置发生了变化。

在此过程中，学生的脑海里会呈现出算式a×b=b×a。

那么，在四年级上册教学“乘法交换律”时，只需告诉学生像这样的算式叫乘法交换律，并不需要出示情景图验证并总结归纳。

那么按照现有教材的这种设定，学生能够自主建构“乘法的意义”这个概念吗？ 在笔者教授“乘法的意义”的课上，学生提出了这样的问题（图3）：如果依据前面讲的内容，这一题的乘法算式可以写为4×5或5×4，那么它的意思就是4个5相加的和或5个4相加的和。

此题有图，所以答案只有一种，若没有图，那么学生该如何正确回答此题
？
图3
综上所述，按照教材的设定，学生很容易将乘法的意义混淆，无法实现由“乘法的意义”到“乘法交换律”的学习贯通，从而实现由“零”到“整”，数学整体性的学习被破坏，这是教师不愿意看到的。

（二）对比教材，深化乘法意义
在人教版 “乘法的意义”的教学中，通过情景引入，列出相同数相加的加法算式，从而给出乘法的定义。

按照这样的学习路径，学生很容易混淆且对乘法的意义认识得不够深刻。

那么该如何学习“乘法的意义”？笔者还查了另外两个版本的教材。

北师大版（图4）教学教材在编写“乘法的意义”时则更为精细，重点突出算理。

教材首先让学生数一数，在几个几的表达方式上运用几行几列的情景图，从不同的视角给出不同的答案，开拓了学生的思维。

最后，再通过同数相加的加法算式计算出答案。

经过以上三个方面的细致铺垫，最后由情景图给出a 个b 相加的，和可表示成为a×b 或b×a，此种表述方式与人教版教材相同，但北师大版教材进一步解读了乘法算式a 和b 分别表示的意义，让学生对“乘法的意义”的认识更加清晰。

浙教版（老版）教学教材中引入“乘法的意义”的铺垫和人教版教材相同。

但引入乘法算式的情景图却迥然不同。

浙教版教材情景图（图5）是3行5列的队列，在求解一共有算式，进而在表达几个几时也有两种不同的表达方法，最后给出两个不同的乘法算式。

此种情景图用一种视角对应一个加法算式、一个几个几的表征方法与一个乘法算式，在自上而下的联结中给出一一对应的关系。

图4 图５
三、化“零”为“整” ，对症下药解疑难
基于对以上三个版本教材的研究，笔者团队得出结论：相比简洁的介绍，精细的铺垫会让学生的印象更加深刻；严谨的对应关系会让学生的学习目标更加明确。

于是笔者团队一致认为一个乘法算式对应一个意义，一个意义也只能写出一道乘法算式，有一一对应的关系，则不会让学生对“乘法的意义”的认识产生混乱，同时从根本上也解决了“乘法交换律”“不用学”的问题。

笔者团队在尊重教材的原则下，对人教版教材二年级上册“乘法的意义”与“乘法交换律”的教学序列进行重构，并开展了教学实践。

（一）整合教材，调整教学内容
对比四个版本的教材内容，将教学内容调整如下：
课时调整前教学内容调整后教学内容
第一课时人教版教材第47页北师大版教材第16、17页第二课时人教版教材第48页浙师大版教材第25页内容第三课时
人教版教材第49、50、51
页的部分题目北师大版、人教版和浙教版教材部分习题
通过以上三个课时的教学，笔者将学生的结构意识、数学思想、思维能力三方面结合起来，引导学生从不同的视角看问题，逐渐形成知识体系，从而提高学生的思维能力。

（二）由浅入深，构建乘法思维1.铺垫充足突本质
第一课时构建冲关挑战的情景，激起学生的学习兴趣。

课堂开始时，出示糖果图（图6），让学生用数一数的方式复习加法算理。

图6
课中，学会几个几的表达方式。

出示图7第一幅图并给
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前熟悉几个几的表达方式。

出示图7第二幅图，在学生心里埋下可以从不同的角度看问题的种子。

然后通过说一说、算一算的方法（图8），让学生发现从不同角度看问题可以列出不同的算式，发散学生思维。

图7 图８
课堂临近结束，让学生整合两个知识点，让学生进行综合训练，将加法算理、几个几的表达方式与同数相加的和结合在一起。

最后出示3行10列的长方形格子，综合课上学习的知识，让学生进行整体练习。

让学生观察图9先通过数一数的方式数出图中的长方形一共有多少个，再按横着数和竖着数分别列出算式10+10+10=30（个）、3+3+3+3+3+3+3+3+3+3=30（个
）。

图9 图10
通过以上综合演练，将课上所学知识结合在一起，提高学生的综合运用能力，为第二课时引入乘法做准备。

2.一一对应意义明
第二课时，让学生明白一个加法算式或几个几的表达方式只能列一个乘法算式，理解乘法算式中的两个乘数所表示的意义是本节课的重点。

与此同时，会根据图像列算式，知道乘法算式各部分的名称也是重要内容之一。

本节课通过调动学生已有的认知，引导学生展开想象，让学生在没有规定的情况下，从多个方面思考问题，体验到解决问题的方法的多样性，进而引入乘法算式，突出乘法的意义。

引入乘法的教学片段如下：
观察图10，通过横着数和竖着数，列出加法算式5+5+5=15（人）、3+3+3+3+3=15（人），再给出一一对应
的乘法算式5×3=15（人）、3×5=15（人），从而总结出将加法改写成乘法为相同加数×个数。

通过以上学习，学生经历了从不同的角度看问题的过程，学生了解了一个加法算式对应一种意义和一个乘法算式，自上而下形成一一对应的关系，清晰明确。

最后追问学生乘法算式中的乘数分别代表的含义，加深其对乘法的意义的印象。

本节课中，先出示两重含义的图，由难到易，为学生后续学习扫除思维障碍。

此种教学设计让学生在学习一一对应的过
程中思维更加清晰，也从根本上区分了a 个b 相加与b 个a 相加的本质不同，在一定程度上说明了一一对应的优越性。

以上两个课时的的教学，通过大量的情景和实例，帮助学生积累足够的形象感知，并在最后的练习课中化具体为抽象，进一步深化理解。

同时在数形结合、一一对应等数学思想的渲染下，使学生在本质上对“乘法的意义”有了一个更加清晰的认识。

（三）沟通联系，明晰交换定律
四年级下册学习乘法交换律时，有了“乘法的意义”的学习铺垫，运用“乘法的意义”解释“乘法交换律”就顺理成章。

本节课引入乘法交换律时，再次运用二年级学习的情景（图9），让学生回顾在二年级学习的知识，为接下来要学习的乘法交换律做准备。

当学生列出一图两式，但表达不同的含义。

学生通过观察会发现两个算式之间的关联，教师再运用更多的情景图呈现，最后总结归纳出乘法交换律。

以上设计从根源上了解决
了“乘法交换律”“不用学”的问题，解决了开篇的矛盾。

想将“乘法的意义”与“乘法交换律”进行完美的结合，化“零”为“整”，就要打破原有知识体系，深入研究教材，让知识前后连接形成一个整体，对教材取其精华，创造出一种全新的教学体系，让前后知识形成串联并进的状态，为建立数学知识的大厦上打下坚实的地基。

改进“零散”的知识点“乘法的意义”的教学实践，促进“乘法交换律”的“整体”学习，这只是冰山一角，在今后的教学中还会遇到更多，如“加法的认识”及“加法的运算定律”也可用这种方法来进行整体教学。

数学是整体认知的过程，旧知对新知有着积极的促进作用，在数学中经常用到化归的学习方法，将旧知运用到对新知识的学习上，用旧知解决新问题，让学生在新旧知识间搭建起桥梁，环环相扣，塑造一张自我认知的学习网。

参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.数学课程标准(2022 年版 )》[S] 北京 : 北京师范大学出版社 ,2022.。