求矩阵的Jordan标准形的两种方法

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法
方法1. 利用矩阵的初等因子
原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.
方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.
例. 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
-----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.
解: 方法1.
.)1(0
001000
1120011000123101100
014111102310411316212222
)1(232132⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--
→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+----→⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ
λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为
.
1100
1000121⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J J
J 方法2.
(1) 首先求A 的特征值.
3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1.
(2) 求出相应的特征向量.
求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解:
.000000311311311622⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
---=-A E
相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.
(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.
由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即
11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .
可见131,V ∈ββ, 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足. 所以求解线性方程组 )()(132211V k k X E A ∈=+=-βαα. (*) 该方程组的增广矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−
−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+---=-==0000000031126223113113113113622212121k k k k k k k k B k k k 取. 由于我们想要求一个向量122113V k k ∈+=ααβ使得线性方程组(*)有解, 所
以可取任何使得该方程组有解的k 1,k 2. 我们取了k 1=k 2=k. 事实上, 还可以直接取k 1=k 2=k=1. 即)1,1,2(213=+=ααβ, 这样就得到了(*)的解=2β(1,0,0). 再取)0,1,1(11-==αβ. 于是我们有:
11ββ=A , 322βββ+=A , 33ββ=A .
即
.110010001),,(),,(321321⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ββββββA A A
令
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==100101211),,(321βββT ,
则
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-211110010001J J J AT T .。