2019-2020北京第一七一中学高三综合测试数 学期中(文科)

2019-2020北京第一七一中学高三综合测试数 学期中（文科）
（满分150分，考试时间60分钟）
姓名_________成绩__________
<教师备案>
本讲综合测试测试时间一小时，题目后面有的补充有些是对原题的变形，有些是同类型问题的拓展，有些问题会在三轮复习时有后续详细展开的讲次，在解析后有备注，老师可以在讲解时给学生说明．学生版只有考试题，没有补充与备注．
本讲共10道选择题，6道填空题，1道解答题．
因为是二轮复习，主要针对知识点之间的综合与知识的灵活应用，试卷题目的难度比例大致为1：2：1，比普通试卷难度高，希望老师作个说明．
一、 选择题：本大题共10小题，每小题8分，共80分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1、 已知,A B 均为集合{}1,3,5,7,9U =的子集，且{}3A B =，(){}9U B A =ð，则A =（ ）
A ．{}1,3
B ．{}3,7,9
C ．{}3,5,9
D ．{}3,9
【解析】 D ；
【补充】设非空集合,A B 满足A B ⊆，则（ ） A ．0x A ∃∈，使得0x B ∉ B ．x A ∀∈，有x B ∈
C ．0x B ∃∈，使得0x A ∉
D ．x B ∀∈，有x A ∈
【解析】 B ． 2、 已知直线1l ：60x my ++=与2l ：(2)320m x y m -++=互相平行，则m 的值为（ ）
A ．1-或3
B ．1或3-
C ．
12
D ．1-
【解析】 D ；
【补充】过点(12)-，的直线l 截圆224x y +=所求得弦长为，则直线l 的方程为________． 【解析】 1x =-或3450x y +-=．
3、
已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =， 则5S 的值是（ ）
A ．
692
B ．69
C ．93
D ．189
【解析】 C ；
4、 设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列命题：
①若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥； ②若l 上两点到α的距离相等，则l α∥； ③若l α⊥，l β∥，则αβ⊥； ④若αβ∥，l β⊄，且l α∥，则l β∥．
其中正确的命题是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
【解析】 D ． 5、 已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧+-⎪
=⎨--<⎪⎩
≥，则对任意12,x x ∈R ，若120x x <<，下列不等式成立的是（ ）
A ．12()()0f x f x +<
B ．12()()0f x f x +>
C ．12()()0f x f x ->
D ．12()()0f x f x -<
【解析】 D
6、 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若311||||a a =，且公差0d <，则当n S 取最大值时，n =（ ）
A ．4或5
B ．5或6
C ．6或7
D ．7或8
【解析】 C ； 7、 已知P 是边长为2的正ABC △的边BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+（ ）
A ．最大值为8
B ．是定值6
C ．最小值为2
D ．与P 的位置有关
【解析】 B ；
【补充】在ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，4AB =，3AC =，则AD BC ⋅=（ ）
A ．7-
B ．72-
C ．72
D ．7
【解析】 B ；
C
B
8、 有四个关于三角函数的命题： 1:p x ∃∈R ，2
21
sin cos 222x x +=；2:p x ∃，y ∈R ，sin()sin sin x y x y -=-； []3:0πp x ∀∈，
sin x ；4π
:sin cos 2
p x y x y =⇒+=． 其中假命题的是（ ）
A ．1p ，4p
B ．2p ，4p
C ．1p ，3p
D ．2p ，3p
【解析】 A ；
9、
已知双曲线1
:C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，若抛物线
22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的
渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）
A ．2x y =
B ．2x
C ．28x y =
D ．216x y =
【解析】 D
10、 设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[]0πx ∈，时，
()01f x <<；当()0πx ∈，且π2x ≠时，()π02x f x ⎛
⎫'-> ⎪⎝
⎭，则函数()sin y f x x =-在[]2π2π-，上的零点
个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8
【解析】 B
【补充】函数()2cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解析】 C ；
二、填空题：本大题共6小题，每小题8分，共48分，把答案填在题中的横线上． 11、 平面向量a 与b 的夹角为60︒，()20=，a ，1=b ，则2+=a b ． 【解析】
【解析】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图面积的比值为_________．
【解析】 1；
12、 已知00x y >>，，且满足134
x y
+=，则xy 的最大值为____．
【解析】 3；
13、 已知ABC △中，1=a
，=b ，45=︒B ，则角C 等于_____．
【解析】 105︒；
14、 已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()4log f x x =，则20112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
______．
【解析】 1
2
；
15、 已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中a b ，都是大于1的正整
数，且1123a b b a <<，，那么a =______；若对于任意的n *∈N ，总存在m *∈N ，使得3n m b a =+成立，则n a =____________．
【解析】 2；53n -；
三、解答题：本大题共1小题，共22分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16、 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点(21)A ，
． ⑴ 求椭圆C 的方程；
⑵ 过点(30)，的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和
AN k ，求证：AM AN k k +为定值．
【解析】 ⑴
由题意得222224
11a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪
=+⎨⎪
⎪=⎪⎩，，
解得a
，b =
故椭圆C 的方程为22
163
x y +=．
⑵ 由题意可知直线l 的斜率一定存在，故可设l 的方程为(3)y k x =-，
由22(3)16
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，
，得2222(12)121860k x k x k +-+-=．
因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，
所以42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<． 设M ，N 的坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，
则21221212k x x k +=+，2122
186
12k x x k -=+， 11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．
所以12121122AM AN y y k k x x --+=
+--122112(31)(2)(31)(2)
(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=
-- 121212122(51)()124
2()4
kx x k x x k x x x x -++++=
-++
2222222(186)(51)12(124)(12)
186244(12)
k k k k k k k k k --+⋅+++=
--++ 2244222
k k -+==--． 所以AM AN k k +为定值2-．
【点评】其实本题中的定点()3,0为过点A 的椭圆的切线与x 轴的交点，同样可以研究其与y 轴的交点，
此切线方程为
2163
x y
+=（可类比圆的切线得到），进而与y 轴交点为()0,3P ， 过点P 的直线与椭圆交于两点,M N ，可研究直线,MA MB 的斜率之和满足的关系． 同样可探究是否对于椭圆上任意一点，如上操作之后能否得到相应的结论．。