天津市静海一中、宝坻一中等五校联考2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年天津市静海一中、宝坻一中等五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1．已知集合U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜4}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＜1或x≥4}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜4}D．{x|x＜4}2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（）A．1 B．2 C．4 D．74．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．下列四种说法正确的是（）①函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件②“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“∀x∈R，（）x≤0”③“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数．则p∧q为真．A．①②③④B．①③C．①③④ D．③6．把函数y=sin（5x﹣）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）A．B．C．D．7．已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且＞2，则不等式f（x）＞x﹣1的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，1）8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0二、填空题（每小题5分）9．若复数z=（i为虚数单位），则|z|=______．10．已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=______．11．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为______．12．定义在R上的函数f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=______．13．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是______．14．已知函数f（x）=2x3﹣x2+ax+1在（0，+∞）有两个极值，则实数a的取值范围为______．三、解答题.15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．16．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且=，若PA=2PB=10．（Ⅰ）求证：AC=2AB；（Ⅱ）求AD•DE的值．17．p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx+，x∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0，]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（Ⅲ）n＞m≥4时，证明：（mn n）m＞（nm m）n．2015-2016学年天津市静海一中、宝坻一中等五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．已知集合U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜4}，则（∁U A）∩B=（）A．{x|x＜1或x≥4}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜4}D．{x|x＜4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，进行运算即可．【解答】解：∵集合U=R，集合A={x|x≥1}，B={x|0＜x＜4}，∴∁U A={x|x＜1}∴（∁U A）∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．2．已知函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质先求f（﹣1）的值，再求f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=3﹣（﹣1）=4，f（f（﹣1））=f（4）==2．故选：D．3．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出S的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出s，i的值，第四次循环后：s=7，i=5；此时，i≤n不成立输出s的值为7．【解答】解：执行程序框图，有n=4，s=1，i=1第一次循环后：s=1，i=2；第二次循环后：s=2，i=3；第三次循环后：s=4，i=4；第四次循环后：s=7，i=5；此时，i≤n不成立输出s的值为7．故选：D．4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数的零点；对数函数的图象与性质．【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x﹣4，带入可得f（2）＜0，f（3）＞0，据此解答．【解答】解：设f（x）=lnx+x﹣4，则f（2）=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．故选：C．5．下列四种说法正确的是（）①函数f（x）的定义域是R，则“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的充要条件②“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“∀x∈R，（）x≤0”③“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”④p：在△ABC中，若cos2A=cos2B，则A=B；q：y=sinx在第一象限是增函数．则p∧q 为真．A．①②③④B．①③C．①③④ D．③【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断，②根据全称的否定是特称进行判断，③根据逆否的定义进行判断，④根据复合的真假关系进行判断．【解答】解：①若函数f（x）为增函数，则f（x+1）＞f（x）成立，必要性成立．若∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”，则函数f（x）不一定为增函数，例如分段函数：f（x）=[x]，满足f（x+1）＞f（x），而f（x）不是增函数．充分性不成立．即“∀x∈R，f（x+1）＞f（x）”是“函数f（x）为增函数”的必要不充分条件，故①错误，②“∀x∈R，（）x＞0”的否定是“存在x∈R，（）x≤0”，故②错误，③“若x=2，则x2﹣3x+2=0”的逆否是“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”，故③正确，④p：在△ABC中，因为0＜A，B＜π，所以0＜2A，2B＜2π，故若cos2A=cos2B，则A=B 为真，q：y=sinx在第一象限不具备单调性，故q是假，则p∧q为假．故④错误，故选：D6．把函数y=sin（5x﹣）的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出第一次变换得到的函数解析式，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数为y=sin[5（x﹣）]=sin（5x﹣），再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数的图象，故选D．7．已知在实数集R上的可导函数f（x），满足f（x+2）是奇函数，且＞2，则不等式f（x）＞x﹣1的解集是（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（0，2）D．（﹣∞，1）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】确定f（2）=0，令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，函数在R上单调递减，即可求出不等式f（x）＞x﹣1的解集．【解答】解：∵f（x+2）是奇函数，∴f（x）关于（2，0）对称，f（2）=0∵＞2，∴0＜f′（x）＜．令g（x）=f（x）﹣x，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，函数在R上单调递减，∵g（2）=f（2）﹣1=﹣1，∴不等式f（x）＞x﹣1可化为g（x）＞g（2），∴x＜2，故选：A．8．已知函数f（x）=|mx|﹣|x﹣n|（0＜n＜1+m），若关于x的不等式f（x）＜0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A．3＜m＜6 B．1＜m＜3 C．0＜m＜1 D．﹣1＜m＜0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，及题意得m＞1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），解之即可．【解答】解：∵f（x）=|mx|﹣|x﹣n|＜0，即|mx|＜|x﹣n|，∴（mx）2﹣（x﹣n）2＜0，即[（m﹣1）x+n][（m+1）x﹣n]＜0，由题意：m+1＞0，f（x）＜0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m﹣1＞0，即m＞1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，∵0＜n＜1+m，∴，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m﹣1）＜n≤3（m﹣1），又n＜1+m，所以2（m﹣1）＜n＜1+m，即2（m﹣1）＜1+m，解得m＜3，从而1＜m＜3，故选：B．二、填空题（每小题5分）9．若复数z=（i为虚数单位），则|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z====﹣1+2i．∴|z|=．故答案为：．10．已知tanα=2，tan（α+β）=﹣1，则tanβ=3．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】已知第二个等式左边利用两角和与差的正切函数公式化简，将tanα的值代入即可求出tanβ的值．【解答】解：∵tan（α+β）==﹣1，tanα=2，∴=﹣1，整理得：2+tanβ=﹣1+2tanβ，解得：tanβ=3．故答案为：311．如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠AQP的大小为135°．【考点】圆的切线的判定定理的证明．【分析】要求∠AQP的大小，可以先求其邻补角∠CQP的大小，即∠OAC+∠OPQ的大小，根据切线的性质，及已知条件，结合三角形内角和定理，我们不难分析出图中众多角之间的数量关系，最终求出答案．【解答】解：连接OC，如下图所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA∴∠POC=∠OAC+∠OCA=2∠OAC又∵∠APC的角平分线为PQ∴∠OPQ=∠CPQ在△OCP中，∠POC+∠OPC+∠OCP=2（∠OAC+∠OPQ）+∠OCP=180°又∵∠OCP=90°∴∠OAC+∠OPQ=45°∵∠CQP=∠OAC+∠OPQ=45°∴∠AQP=135°故答案为：135°12．定义在R上的函数f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x）满足，且x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=﹣1．【考点】函数的值．【分析】24＜20＜25，可得log220∈（4，5）．由于定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），周期T=4．利用奇偶性周期性经过变形即可得出．【解答】解：∵24＜20＜25，∴log220∈（4，5）．定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）=0，f（x+4）=f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），周期T=4．∴f（log220）=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220）=﹣=﹣=﹣=﹣1．故答案为：﹣1．13．不等式2x2﹣2axy+y2≥0对任意x∈[1，2]及任意y∈[1，4]恒成立，则实数a取值范围是（﹣∞，]．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】不等式等价变化为2a≤=+，由x∈[1，2]及y∈[1，4]，求得≤≤4，运用基本不等式求得+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣2axy+y2≤0等价为2a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，4]，∴≤≤1，即≤≤4，∴≤t≤4，则+=t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=，即t=∈[，4]时取等号．∴2a≤2，即a≤，故答案为：（﹣∞，]．14．已知函数f（x）=2x3﹣x2+ax+1在（0，+∞）有两个极值，则实数a的取值范围为（0，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求导数得到f′（x）=6x2﹣ax+a，根据题意便知方程6x2﹣ax+a=0有两个不同的正实根，这样根据韦达定理便可得出关于a的不等式，从而得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=6x2﹣ax+a；∵f（x）在（0，+∞）上有两个极值；∴方程6x2﹣ax+a=0在（0，+∞）上有两个不同实数根；∴根据韦达定理；∴a＞0；∴实数a的取值范围为（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．三、解答题.15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由△ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2﹣bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，，∴根据正弦定理，得，∵锐角△ABC中，sinB＞0，∴等式两边约去sinB，得sinA=∵A是锐角△ABC的内角，∴A=；（2）∵a=4，A=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得16=b2+c2﹣2bccos，化简得b2+c2﹣bc=16，∵b+c=8，平方得b2+c2+2bc=64，∴两式相减，得3bc=48，可得bc=16．因此，△ABC的面积S=bcsinA=×16×sin=4．16．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点作圆O的切线交CB的延长线于点P，AE交BC和圆O于点D、E，且=，若PA=2PB=10．（Ⅰ）求证：AC=2AB；（Ⅱ）求AD•DE的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；（Ⅱ）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB．又∠P是公共角∴△ABP∽△CAP…∴，∴AC=2AB…（Ⅱ）解：由切割线定理得：PA2=PB•PC∴PC=20又PB=5，∴BC=15…又∵∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5…又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50…17．p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，q：已知二次函数f（x）=x2﹣mx+2满足，且当x∈[0，a]时，最大值是2，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围．【考点】复合的真假．【分析】对于p：由关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，可得△≤0，解得p的取值范围．由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为，可得m，可得f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知a的取值范围．由“p且q”为假，“p 或q”为真，可知：p，q恰一真一假．【解答】解：对于p：∵关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＜0的解集是空集，∴△=﹣3a2﹣2a+1≤0，解得，由已知得二次函数f（x）=x2﹣mx+2的对称轴为，即，∴m=3，f（x）=x2﹣3x+2，当x∈[0，a]时，最大值是2，由对称性知q：0＜a≤3．由“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假．当p真q假时，，∴a≤﹣1或a＞3，当p假q真时，，∴，综上可得，．18．已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx+，x∈R，（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0，]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简，由f（x）的最小正周期T==，即可求得f（x）的最小正周期，根据正弦函数的单调性，即可求得[﹣π，π]上的单调递减区间；（Ⅱ）由，求得，则f（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，由函数图象即可求得实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，=，=…∴…又因为，∴．…当k=0时；当k=﹣1时，∴函数f（x）在[﹣π，π]的单调递减区间为和…（Ⅱ）由，所以，∴，…f（x）+k=0在区间上有且只有一个实数解，即函数与y=﹣k﹣2在区间上有且只有一个交点，由函数的图象可知﹣k﹣2=1∴…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=3x+b，求a，b的值；（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f'（1）=3，求出a的值，根据f（1）=2求出b的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可；（Ⅲ）问题转化为f（x1）max＜g（x2）max，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx﹣ax得，f'（1）=3⇒1﹣a=3⇒a=﹣2，则f（x）=lnx+2x，f（1）=2点（1，2）为切点，则2=3+b⇒b=﹣1，（Ⅱ）由f（x）=lnx﹣ax，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f（2）=ln2﹣2a；②当≥2，即时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=﹣a；③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]是减函数．又f（2）﹣f（1）=ln2﹣a，∴当＜a＜ln2时，最小值是f（1）=﹣a，当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2﹣2a；综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=﹣a；当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）min=ln2﹣2a，（Ⅲ）由条件得f（x1）max＜g（x2）max，又∵g（x2）max=2，∴f（x1）max＜2．若a≤0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→+∞，f（x）→+∞，不符题意；∴a＞0由Ⅱ可知，得：．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax，（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在点区间[e，+∞]处上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值；（Ⅲ）n＞m≥4时，证明：（mn n）m＞（nm m）n．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）求出函数的导数，求出a的值，得到对任意x＞1恒成立，令，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的最大值；（Ⅲ）当n＞m≥4，得到，整理即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，又函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，∴当x≥e时，f'（x）=a+1+lnx≥0恒成立，∴a≥（﹣1﹣lnx）max=﹣1﹣lne=﹣2，即a的取值范围为[﹣2，+∞）；…（Ⅱ）因为f（x）=ax+xlnx（a∈R），所以f'（x）=a+lnx+1f（x）在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1…当x＞1时，x﹣1＞0，故不等式，即对任意x＞1恒成立，令则．令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则在（1，+∞）上单增，∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴存在x0∈（3，4）使h（x0）=0，…即当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）上单减，在（x0，+∞）上单增．令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，，…∴k＜g（x）min=x0且k∈Z，即k max=3…证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是[4，+∞）上的增函数，所以当n＞m≥4，…整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+n﹣m因为n＞m，mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn…即lnn mn+lnm m＞lnm mn+lnn n，ln（n mn m m）＞ln（m mn n n），n mn m m＞m mn n n，∴（mn n）m＞（nm m）n…2016年9月19日。