江苏省溧阳市高三数学128分训练(10)

Q
O
F 2
F 1
P y
x
一、 填空题:
1.已知集合{}|M y R y x =∈=，{}
22|2N y R x y =∈+=，则M
N =
2．复数Z ＝12i
i
-的虚部是 ；
3．设a 、b 为两条直线，α、β为两个平面，有下列四个命题：
①若a ⊂α，b β⊂，且a ∥b ，则α∥β；②若a ⊂α，b β⊂，且a ⊥b ，则α⊥β； ③若a ∥α，b α⊂，则a ∥b ；④若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ； 其中正确命题的序号为
4．曲线x
y e =（其中 71828.2=e ）在1x =处的切线方程为
5．若不等式组0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域被直线y kx =分为面积相等的两部分，则k 的值为
6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况， 抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方 图如图2所示，其中支出在[50,60)元的同学有
30人，则n 的值为_____________．
7．如图，已知12,F F 是椭圆22
22:1x y C a b
+=
222
x y b +=(0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆
相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为 .
8．连续两次掷一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），记出现向上的点数分别为,m n ，设向量(),m n =a ，()3,3=-b ，则a 与b 的夹角为锐角的概率是 ．
9．已知数列}{n a ，其前n 项和121110982
,1a a a a a n n S n ++++++=则= 。

元
频率 组距
20 30 40 50 60
0.01
0.036 0.024 图2
10．可以证明：“正三角形内任意一点到三边的距离之和是一个定值”，我们将空间与平面进
行类比，可得结论： 11．已知非零向量a 、b 满足a b b +=，
① 若a 、b 共线，则a ＝－2b ；
②若a 、b 不共线，则以2a a b b +、
、2 为边长的三角形为直角三角形； ③22b a b >+； ④22b a b <+。

其中正确的命题序号是 。

12．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口 设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用
了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA 的长
为 . 二、解答题:
15．直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．
（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．
16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos cos 2cos a B b A c C += （1）求角C 的值；
（2）若c=2，求ABC ∆面积的最大值。

1200
C
A
D
（第12题）
x
N
M
O
y
A
B l :x =t x 3
x 1x 2x
17．在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为1x ，2x ，3x ，每个工作台上有若干名工人．现要在1x 与3x 之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（2）设工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供 应站的距离之和的最小值．
18．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23
，椭圆的左、右两个顶点分别为A ，B ，AB=4，直
线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值； （3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．
溧阳市2014届高三数学训练十答案
一、
填空题:
1． {
}
|22y R y ∈-≤≤
； 2． 1-； 3．④； 4．0ex y -=；
5． 2 ； 6．1000； 7．
53； 8．5
12
； 9．100 10．正四面体内任意一点到各面的距离之和是一个定值；或正多面体内任意一点到各面的距离之和是一个
定值
11．①②③； 12． 4900
11
； 二、解答题:
15． 证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC ． …2分 又
∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===，
∴2AC =，∠CAB ＝45°，∴2BC =，∴ BC ⊥AC ． 又1BB BC B =，1,BB BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴ AC
⊥平面BB 1C 1C ．
（Ⅱ）存在点P ，P 为A 1B 1的中点． 证明：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1‖AB ，且PB 1＝1
2
AB ． … 又∵DC‖AB ，DC ＝
1
2
AB ，∴DC ∥PB 1，且DC ＝ PB 1， ∴DC B 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP ．
又CB 1⊂面ACB 1，DP ⊄面ACB 1，∴DP‖面ACB 1． 同理，DP‖面BCB 1．
16．解：（I ）由题意得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=即sin 2sin cos C C C =，故1
cos 2C =
,所以
3C π=
（II ）2214
cos 22a b C ab +-==，所以22
424ab a b ab =+-≥-， 即4ab ≤， 143
sin 3
22ABC S ab C ∆=≤
17．解 设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为()d x ． （1）由题设知，13x x x ≤≤，所以
123()()()
d x x x x x x x =-+-+-
312
x x x x =-+-故当2x x =时，()d x 取最小值，此时供应站的位置为2x x =．
（2）由题设知，13x x x ≤≤，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
132
()2()3()d x x x x x x x =-+-+-．
且3211232123232,,
()32,.x x x x x x x d x x x x x x x -++-<⎧=⎨
--⎩≤≤≤
因此，函数()d x 在区间12(,)x x 上是减函数，在区间23[,]x x 上是常数．故供应站位置于区间23[,]x x 上
任意一点时，均能使函数()d x 取得最小值，且最小值为32132x x x --，23x x x ≤≤
18．解：（1）由题意：
42,2
3==a a c 可得：1,3,2222=-===c a b c a ，
故所求椭圆方程为：=+22
4
y x 1 （2）易得A 的坐标(－2，0)，B 的坐标(2,0)，M 的坐标)24,(2t t -，N 的坐标)2
4,(2
t t --， 线段AM 的中点P )4
4,22(2
t t --，直线AM 的斜率t t t t k +-=
+-=22212242
1又AM PC ⊥1, ∴直线1PC 的斜
率
t t
k -+-=222
2∴直线1PC 的方程44)22(2222t t x t t y -+---+-=，∴1C 的坐标为)
0,86
3(-t
同理2C 的坐标为
)0,863(
+t ∴23
21=C C ,即无论t 如何变化，为圆C1与圆C2的圆心距是定值.… 2）圆1C 的半径为
1AC 8103+=
t ，圆2C 的半径为83102t
BC -=
，
则
)
1009(32
22
2
2
1+=
+=t BC AC S π
ππ （2-＜t ＜2）
显然t 0=时，S 最小，825min π
=
S .。