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第四讲效用函数与风险升水
第一节不确定状态的描述
一、两个变量
1、结果：（兀］,兀2,…兀”）（非现金变量）
（必』2…，儿）（钱数）
2、概率分布（卩，02,…几）工门=1 Pi、0（i = \2・・・n）
i=l
二、彩票（Lottery）/赌局（gamble）:单赌与复赌
n
单赌：Lt =（P］%、卩2。

2「*、卩評斤）| 工
i=l
单赌：结果与出发点只有一个环节
复赌：单赌当中的结果又是一张彩票（compound Lottery）复赌公理：
如果卩=+（1 一。

2）* 04，则厶=厶2
二、不确泄条件下选择公理
公理1：［连续性公理］
如A>B>C,则ape （0,1）
使得"4 + （l_"）・C〜B
注意：A与B相差很大（1000$—10$）
如A=2$, B=l$,理性条件下则公理一般不成立
公理2：［独立性公理］
如A>B,考虑“C”
则对Vpw(O,l) pA + (\-p)C> pE + Q_p)C
对A,B之间偏好关系不受独立于(A,B)外的事件C的影响。

意味着，偏好关系不随时间，地点等而改变。

可以推广到『=("(,•••,”：), :b =(pf, C=(-X…x2,.--xJ在『与/间是相同的，『 >『〉r
连续性：3CTG(0,1),使仅『+(1 —G)r〜/
独立性：如『詔,则a^a + (1 -a)C >+ (1 -
公理3：［次序完全公理］
如存在4与B,偏好A>B,或者B>A,或者A〜B
同时，如A>B,并且B>C,则A>C
第二节期望效用理论
一、期望
Eg = p}x} + p2x2+ …+ p n x n
问题：有些事件E(x)=8,但V(X)< OO
二、圣彼得堡悖论(1738)
Daniel Bernoulli
Nicolas Bernoulli(1717)
一枚均质硬币(丄)
2
如掷一次，第一次就背面朝上，获1兀
1 1
= 1 • • =00
2 2 实际发现v(x) < 20
D. Bernoulli E(x)：客观的，评价可以一致;
V(x)：主观的，人与人不同。

•/ u(x)是凹函数,例如：w(x) = logx
/.V(x)收敛
1 1 i
E[u(x)] = -logl + (-)2 log 2+- + (-)rt log 2门 + … 2 2 2
8 [ OO i
(F" log 2门=log 2工(牙)"-1) = log 2 n=l 丄
n=\ 丄
期望效用鼻期望回报
三、V •诺依曼一摩根斯坦效用公式 E(u) = u(G =工对效用本身取期望，而不是 n=l
工PK, %(兀)是凹函数。

四、注意：E(%)不能任意的正单调转换
完全确定条件下：
获利赌局 如 二
2 如 三 4
OO 72=1 2
兀 > y o u(x) > u(y) o w(x) > 弘(y)
%(x)是％(x)的任意正单调转换
在不确定条件下：无是$，2个结果，"1(〃1)叫(卩2) M(X)= log X. Pi + #2 = 1
E(u) = p} log % + p2 log w2 (1)不确定若变换形式为
V=e E(U)=w P iw P2 (2)确定(p lf p2)成了支出比例
(2)式与(1)式含义完全不同
E(u)只承认正线性转换，
v = a + b(E(u))(b > 0),里面包含了基数含义，基数指数Cardinal index能定大多少，
A.Sen (阿马迪亚.森)认为:
B.u(x) > u(y) <=>%>)?(序数含义，只选定大小)
砂)=心)=£件(对)
i=l
%0)=£粘(彳)
Z=1
第三节风险规避与风险溢价
一、研究对象：风险对人们的效应
取决于3个变量：
①risk本身②w (财富水平) ③主观态度u( •)
定义：零均值风险E (厂)= 0, pure risk =zero mean risk 风险规避(厌恶风险)如果一个人对零均值风险采取拒值态 度，则此人厌恶风险。

二、风险度量
平均离差
工资方式佣金制
固定薪水
£(効=1500 离差 n
① 平均离羌二工|叱- &(w)| Pi
i=\
② 方羌 C72
标准斧b
三、对风险的主观态度 1、u(w)是凹，u(w) >0
M^(w) < 0
如果W 是一个向量 V2e[0,l],只要2 = 0,1,则班・)是凹的
n 推论：如果班・)是严格凹的，则此人一定是风险规避的 证：任设一人初始财产水平为W0,风险为X (无为纯风险) z = w G + x E(z) = E(x) + % = %
V2G (0,1), 2表示坏事发生的概率，1-2表示好事发生概 ^2 1 2000 1 1000 2 2 99% 1510 1% 510 w-E(w)
A M (W 0 +^) + (l-A )M (W 0 +X2)
< M [2(W 0 + XI ) + (1- 2)( W 0 + 兀2)] = U (W °) [•.•纯风险，E(x) = 0 o 2无1 + (1 —2)^2 = 0]
2、效用两数凹的三个经济含义
① 边际效用递减«'(•) < 0
② 风险规避
③ 赢得起输不起
3、用数学刻画风险规避
① ％[Qw] +(1-A) w 2] > Qu(W] ) + (1-?!)%(%)
4F(g)]>E[w(g)]
风险规避 ② + (1 -2)W 2] < 2%(W]) + (1 -2)M (W 2)
u[E(g)]vE[u(g)]
风险爱好 ③ ％[2wi + (1-A)W 2] = A M (W 1) + (1-A)M (W 2)
例如：存在一个效用函数
城 E(g)] = E[%(g)]
四、风险规避系数
R _ /(W)
w ・zZ(w)
风险中立 %(•)凹的程度 绝对风险规避系数 相对风险规避系数
M(W)=—e~Aw
可得:w，(w) = Ae~Aw
w*(w) = -A2e~Aw
n R cl = A, R^ = 2
w—G
②比(w)= ―T- ($工0《Tl)
(1 —§)
求心
五、CE与P
CE(certainty Equivalent)确定恒等值，P (Premium)风险升水1、CE：在一个完全确眾的收入量，在此收入条件所对应的效用水平等于不确定条件下期望的效用水平。

所以，CE是在确定水平下等价于期望效用对应的财富水平。

CE = M(E(U))
(风险代价)(风险溢价)
p = E(w)_CE
例6存在一种彩票，其概率分布
获900 元,0.2,获100 元,0.8
问：个人u(w) = 4^，这个人愿花多少钱买这张彩票
答：由于E(yv) = 900x0.2 + 100x0.8 = 260
CE应满足
w(CE) = E[w(w)] = 4CE = 0.2x^900 + 0.8^/100 = 14
=^> CE = 196 (愿出价格)
E(u)_CE = 64(风险溢价)
当确定性结果转化为不确定性结果时，要有补偿，风险溢价五、应用
注意：E（w）可能北屏（w°初值）
例7：财险w o=9万（房屋）0.05概率失火，
Aw = 8万，u =（单边风险）
求：①保险金应付多少？
②保险公司的利润为多少？
这里，屏=9 万HE（w）=0.95x9 + 0.05xl = 8.6
例8:
本讲作业：第3、4、7、9、10、14题
附加思考题：
1、目前有许多事业部门为职工买商业保险，你认为这种行
为的问题所在？企业是否可以？国有企业是否可以？2、现在屮国学者讨论“保险泡沫”，你认为“保险泡沫”
的原理是是什么？如何消除？。