广东省汕头市华侨中学2018-2019学年高一数学理联考试卷含解析

广东省汕头市华侨中学2018-2019学年高一数学理联考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，
，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
2. 等差数列的前项和为，若为一确定的常数，则下列各式也为确定常数的是( )
A． B C D
参考答案：
C
3. 已知函数，则的值为
A. B. C. D.
参考答案：
D
4. 函数的定义域为( )
A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}
参考答案：
C
考点：函数的定义域及其求法．
分析：偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．
解答：解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．
又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}
故选C．
点评：定义域是高考必考题通常以选择填空的形式出现，通常注意偶次开方一定非负，分式中分母不能为0，对数函数的真数一定要大于0，指数和对数的底数大于0且不等于1．另外还要注意正切函数的定义域．
5. 一元二次不等式的解集是，则的值是
（）。

A. B. C. D.
参考答案：
D 解析：方程的两个根为和，
6. 已知等差数列中，首项为4，公差，则通项公式（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
7. 设数列的前n项和为，令，称为数列，
，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列8，，，……，的“理想数”为（）
A．2008 B．2009 C．2010
D．2011
参考答案：
A
略
8. 已知，那么，下列式子成立的是（）
A．x < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y
参考答案：
D
9. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C的中点，则EF和平面ABCD 所成角的正切值是
A. B. C. D.2
参考答案：
B
10. 已知的面积为，且，则等于( )
A、B、C、 D、
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 右图所示茎叶统计图表示某城市一台自动售货机的销售额情况，那么这组数据的极差是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
12. （3分）函数的定义域为．
参考答案：
[﹣1，0）∪（0，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：直接利用分式的分母不为0，无理式大于等于0，求解即可得到函数的定义域．
解答：要使函数有意义，必须，解得x∈[﹣1，0）∪（0，+∞）．
函数的定义域为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．
故答案为：[﹣1，0）∪（0，+∞）．
点评：本题考查函数的定义域的求法，考查计算能力．
13. 开始时,桶1中有a L水,t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线,那么桶2中水就是,假设过5分钟时,桶1与桶2的水相等,则再过___分钟桶1中
的水只有.
参考答案：
10
14. 设函数，则= ，若f（x）=3，则
x= ．
参考答案：
，.
【考点】分段函数的应用；函数的值．
【分析】由函数，将x=2代入可得值，分类讨论若f（x）=3的x值，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：∵函数，
∴=f（）=，
若x≤﹣1，解f（x）=x+2=3得：x=1（舍去）
若﹣1＜x＜2，解f（x）=x2=3得：x=，或x=﹣（舍去）
若x≥2，解f（x）=2x=3得：x=（舍去）
综上所述，若f（x）=3，则x=．
故答案为：，.
15. 已知y=f(x) 在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)<f(2a-1), 则的取值范围是；
参考答案：
略
16. 数列{a n}满足下列条件：，且对于任意正整数n，恒有，则
______.
参考答案：
512
【分析】
直接由，可得
，这样推下去
，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。

【详解】
故选C。

【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。

17. （3分）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点P，且OP=2（O为坐标原点），则点P的坐标为．．
参考答案：
（﹣1，）
考点：任意角的三角函数的定义．
专题：计算题．
分析：由任意角的三角函数的定义即可求值．
解答：由三角函数的定义可得：x=2cos=﹣1，y=2sin=
故点P的坐标为（﹣1，）．
故答案为：（﹣1，）．
点评：本题主要考察了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设等差数列的前项和为且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前项和，并求的最小值.
参考答案：
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，有已知得，解得所以
（Ⅱ）,则，当。

或令，解得即当。

略
19. （本小题满分12分）是定义在上的增函数，且
（Ⅰ）求的值.
（Ⅱ）若，解不等式.
参考答案：
①在等式中，则f（1）=0.②在等式中令x=36，y=6
则故原不等式为：
即f（x（x+3））<f(36)，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，
故不等式等价于：
20. 简答：
（Ⅰ）计算．
（Ⅱ）比较，，大小．
（Ⅲ）若，求的值．
参考答案：
见解析
（Ⅰ）
．
（Ⅱ）∵，
，
，
∴．
（Ⅲ）∵，
∴，∴，
∴．
21. 已知向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1）函数g（x）=4?．（1）求函数g（x）在[，]上的值域；
（2）若x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x的个数；
（3）求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使g（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．
参考答案：
【考点】根的存在性及根的个数判断；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）求出函数解析式，即可求函数g（x）在[，]上的值域；
（2）g（x）=0，可得x=，k∈Z，利用x∈[0，2016π]，求满足g（x）=0的实数x 的个数；
（3）分类讨论，可得当x≤时，函数f（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方，由此证得结论成立．
【解答】（1）解：向量=（cosx+sinx，1），=（cosx+sinx，﹣1），
∴函数g（x）=4?=4sin2x．
∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴sin2x∈[，1]，
∴g（x）∈[2，4]；
（2）解：g（x）=0，可得x=，k∈Z，
∵x∈[0，2016π]，∴∈[0，2016π]，∴k∈[0，4032]，
∴k的值有4033个，即x有4033个；
（3）证明：不等式g（x）+x﹣4＜0，即 g（x）＜4﹣x，
故函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．
显然，当x≤0时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．
当x∈（0，]时，g（x）单调递增，g（）=2，显然g（）＜4﹣，
即函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．
综上可得，当x≤时，函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．
对任意λ＞0，一定存在μ=＞0，使λμ=，满足函数g（x）的图象位于直线y=4﹣x的下方．
22. 已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．
（1）求向量的长度的最大值；
（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．
【解答】解：（1）=（co sβ﹣1，sinβ），则
||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．
∵﹣1≤cosβ≤1，
∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．
当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，
所以向量的长度的最大值为2．
（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），
?（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．
∵⊥（），
∴?（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．
由α=，得cos（﹣β）=cos，
即β﹣=2kπ±（k∈Z），
∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．。