1.3函数的可导性与解析性

证明 对于复平面上任意一点z0，有
lim
lim zn z0n
zz0 z zz0 z z0
lim (z z0 )(zn1 zn2z0 z0n1 )
zz0
z z0
nz
n1 0
③ 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
Argz2 '(t0 ) Argz1 '(t0 )
= Arg[ f (z2 (t0 ))] Arg[ f (z1(t0))]
分析
Arg[ f (z1(t0 ))] Arg[ f '(z0)] Arg[z1 '(t0)]
：
Arg[ f (z2 (t0 ))] Arg[ f (z0 )] Argz2 '(t0 )
z0
z
f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，
记作
f '(z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
f (z0
z) z
f (z0 )
如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。
(1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。
(2) z=x+iy,Δz=Δx+iΔy, Δf=f(z+Δz)-f(z) 例1 证明: f (z) Re z在平面上的任何点都不可导.
f (z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
,
令z
f (z0 z) z
f (z0 )
f
(
z0
),则 lim
z0
z
0,
由 此 可 得f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z zz,
lim
z0
f (z0
z)
f (z0 ),
所以f (z)在z0连续.
二. 解析函数的概念
其中w=g(z)。
⑤ 反函数的导数
f
'(z)
1 '(w
)
，其中:
w=f
(z)
与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。
例2 已知 f (z) (z2 5z)2 1 ，求f '(z)
z 1
解
f
( z )
2( z 2
5 z )( 2 z
5)
(z
1 1)2
例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？
f (z) ' f '(z)g(z) f (z)g'(z)
g(z)
g2(z)
, (g(z) 0)
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面上处处可导； R(z) P(z) 在复平面上（除分母为0点外）处
Q(z) 处可导.
④复合函数的导数 ( f [g(z)]) =f (w)g(z)，
定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。
(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。
证明: f Re( z z) Re( z)
z
z
x x x x x iy x iy
当z取实数趋于0时, f z 1; 当z取纯虚数趋于0时, f z
0;
lim
z0
f z
不存在.
(2)求导公式与法则
----实函数中求导法则的推广
① 常数的导数 c=(a+ib)=0.
② (zn)=nzn-1 (n是自然数).
u v v u x y x y
由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的 联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以 求出导数来.
利用该定理可以判断哪些函数是不可导（不解 析）的.
使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，
ii) 验证C.-R.条件.
iii) 求导数：
证明 lim (z z) Re( z z) z Re z
z 0
z
z Re(z) z Re( z z)
lim
z 0
z
limRe(z) 0
z 0时
z0
lim(
z0
z
x x iy
Re( z
z))不存在！zΒιβλιοθήκη 0时limz0
x x iy
0 1
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时
u e x sin y
u v
y v e x cos y y
x v
y u
x y
故 f (z) e x (cos y i sin y)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x sin y f (z) x x
解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
不存在！
复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得
多，这是因为Δz→0是在平面区域上
以任意方式趋于零的原故。
(3)复变函数的微分 形式上与实变函数微分定义一
致
设函数 f (z) 在 z0 处的增量可表达为
w A z z, lim 0, z0
则称函数 f (z) 在点 z0 处可微，且称 是函数 f (z) 在点 z0 处的微分，记作
Q(z)
定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值
集合 G，则复合函数w=f [g(z)]在D内处处解析。
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义 域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
u 2x u 2 y v 0 v 0
x
y
x
y
仅在点z = 0处满足C.-R.条件，故
w z 2 仅在z 0处可导，但处处不解析。
例2 求证函数
w
u( x,
y) iv( x,
y)
x2
x
y2
i
x2
y
y2
在z x iy 0处解析，并求dw . dz
证明 由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数， 且满足C.-R.条件：
(2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。
例如 (1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面
上的解析函数； (2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析
函数； (3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4)。
定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，
解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则
u 1 x v 0 x
u 0
y v
1
u x
v y
y
故 w z在 全 平 面 不 可 导 ， 不析解。
解(2)∵ f (z)=ex(cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny
u e x cos y x v e x sin y x
性质1： 函数f (z)解析，且f (z0 ) 0，则f (z)将 相交于z0点的任意两条曲线映射后形成 两条曲线对应夹角不变。
2解析函数模| f (z) |的几何意义:
设z z z0 rei , w w w0 ei，
y (z)
C
z
v (w)
w
z z0 s
w f (z)
w
w0
o
x
o
u
分析
z
w
：
lim
1 lim
解 f '(z) 1 u v 0 u 与 v 不全为0
i y y
y y
那么在曲线的交点处，
i) uy , v y 均不为零时，
由隐函数求导法则知曲线， u( x, y) C1 v( x, y) C2 中任一条曲线的斜率分别为
k1 ux / uy k2 v x / v y
利用C.-R.方程 ux v y , uy v x
a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2
四.保角映射和保形映射
y (z)
C2
C1
v (w) 1
2
z0
w f (z)
w0
o
x o
u
w f (z)
C1 : z z1(t), z0 z1(t0 ) 1 : w f (z1(t)), w0 f (z0 )
w f (z)
C2 : z z2 (t), z0 z2 (t0 ) 2 : w f (z2 (t)), w0 f (z0 )
f '(z) u i v 1 u v x x i y y
前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成 的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实 函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.
二. 举例
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1)w z; (2) f (z) ex (cos y i sin y)；(3)w z 2
解 lim f (z z) f (z)
z0
z
x x 2( y y)i ( x 2 yi)
lim
z0
x iy
lim x 2yi z0 x yi
1 2
当y 0, x 0时 当x 0, y 0时 不存在!
故函数f (z) x 2 yi处处不可导.
例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导。
则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)≠0时)
均是D内的解析函数。
由 以 上 讨 论 P(z) a0 a1z anzn是 整 个 复 平 面 上 的 解 析函 数 ； R(z) P(z) 是 复 平 面 上(除 分 母 为0点 外)的 解 析 函 数.
问题 如何判断函数在一个点处的可导性或 一个区域上的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导（可微）的 充要条件是
则有
k1k2
ux uy
vx vy
1
即两族曲线正交。
ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞， k2=0（由C.-R.方程）
即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的, 它们仍互相正交。
练习: 若 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ) 问常数a, b, c, d 取何值时, f (z)在复平面内处处解析?
证明
f
'(z)
ux
iv x
1 i
uy
v
y
0
ux vx uy vy 0
u C1 v C2 f (z) C1 iC2 C(复 常 数 ）
例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，
且f (z)≠0，那么曲线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数.
(1) u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微， (2) u(x, y) 和 v(x, y)在点 (x, y )满足C.-R.方程
u v u v x y y x 上述条件满足时,有
f '(z) ux ivx ux iuy v y iuy v y ivx
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析的充 要条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微， 且满足C.-R.方程
§1.3 函数的可导性与解析性
1. 复变函数的导数及其性质 2. 解析函数的概念 3.函数可导的充分必要条件 4. 保角映射和保形映射
一. 复变函数的导数与微分
(1)导数定义
定义 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D，
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在，则称函数
u x
v y
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
u y
v x
2xy ( x2 y2 )2
故函数w=f (z)在z≠0处解析，其导数为
w u v y 2 x 2
2xy
z
i x x
(x2 y2 )2
i (x2 y2 )2
( x iy)2 1
(x2 y2 )2
z2
例3 若f '(z) 0 , z D f (z) C , z D
d Adz
函数 f (z) 在 z0 可微 函数 f (z) 在 z0 处可导，且d f (z0 )dz
(4)可导（可微）与连续 若 w=f (z) 在点 z0 处可导w=f (z) 点 z0 处连续.
?
证 明: 若f (z)在z0可 导,则 0, 0,
使 得 当0
z
,时, 有