2017-2018年福建省福州市闽侯八中高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年福建省福州市闽侯八中高二（上）期中数学试卷
（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）正方体的内切和外接球的半径之比为（）
A．B．C．D．
2．（5分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．
3．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，给出以下结论：①点A（1，﹣3，4）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣3，﹣4）；②点P（﹣1，2，3）关于xOz 平面对称的点的坐标是（﹣1，﹣2，3）；③已知点A（﹣3，1，5）与点B（4，
3，1），则AB的中点坐标是（，2，3）；④两点M（﹣1，1，2）、N（1，3，3）间的距离为5．其中正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
4．（5分）已知向量，，则“x＞0”是“与夹角为锐角”的
（）条件．
A．必要不充分B．充分不必要
C．充要D．既不充分也不必要
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．4+2πB．8+2πC．4+πD．8+π
6．（5分）空间中四点可确定的平面有（）
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（）A．B．C．D．
8．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
9．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）
A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）10．（5分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．
11．（5分）椭圆=1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，
则△F1PF2的面积是（）
A．B．C．D．
12．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）不等式＜1的解集为．
14．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为ab，c．已知b=6，c=6，B=30°，则角C=．
15．（5分）若正数x，y满足=5，则4x+3y的最小值为．
}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则
16．（5分）若数列{a
++…+=．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）（1）若m=1时，求关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＞0的解（2）求解关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＞0，其中m为常数．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．
19．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数．
（1）当x＞1时，求函数f（x）的最小值；
（2）当x＜1时，f（x）≤a恒成立，求a的最小值．
21．（12分）据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．
（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系；
（2）已知该产品的销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润．
（3）当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？22．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，
且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．
（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；
（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．
2017-2018学年福建省福州市闽侯八中高二（上）期中数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）正方体的内切和外接球的半径之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a ．
a=2r 内切球，r 内切球=，
a=2r 外接球，r 外接球=
，
∴r 内切球：r 外接球=
：3．
故选：D ．
2．（5分）半径为R 的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【解答】解：半径为R 的半圆弧长为πR ，
圆锥的底面圆的周长为πR ， 圆锥的底面半径为：， 所以圆锥的高：=．
故选：B ．
3．（5分）在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，给出以下结论：①点A （1，﹣3，4）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣3，﹣4）；②点P （﹣1，2，3）关于xOz 平面对称的点的坐标是（﹣1，﹣2，3）；③已知点A （﹣3，1，5）与点B （4，
3，1），则AB的中点坐标是（，2，3）；④两点M（﹣1，1，2）、N（1，3，3）间的距离为5．其中正确的是（）
A．①②B．①③C．②③D．②④
【解答】解：①点A（1，﹣3，4）关于原点的对称点的坐标为（﹣1，﹣3，﹣4）；错误，应该是：（﹣1，3，﹣4）；
②点P（﹣1，2，3）关于xOz平面对称的点的坐标是（﹣1，﹣2，3）；正确；
③已知点A（﹣3，1，5）与点B（4，3，1），则AB的中点坐标是（，2，3）；满足中点坐标公式，正确；
④两点M（﹣1，1，2）、N（1，3，3）间的距离为：=3≠5．所以④错误；
正确的命题是②③．
故选：C．
4．（5分）已知向量，，则“x＞0”是“与夹角为锐角”的
（）条件．
A．必要不充分B．充分不必要
C．充要D．既不充分也不必要
【解答】解：由“与夹角为锐角”，可得：=2（x﹣1）+2＞0，且不能同向共线即x﹣1﹣4≠0．
解得x＞0，且x≠5．
∴x＞0”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：A．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．4+2πB．8+2πC．4+πD．8+π
【解答】解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
∴该几何体的体积V==8+．
故选：D．
6．（5分）空间中四点可确定的平面有（）
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
【解答】解：空间中四点可确定的平面的个数有：
当四个点共线时，确定无数个平面；
当四个点不共线时，最多确定=4个平面，最少确定1个平面，
∴空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．
故选：D．
7．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则D1到平面A1BD的距离为（）A．B．C．D．
【解答】解：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
∴D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），D1（0，0，2），
∴，，
设面DBA 1的法向量，
∵，
∴，∴，
∴D1到平面A1BD的距离d===．
故选：D．
8．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）
A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．
B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．
C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．
D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．
故选：B．
9．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）
A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点
∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为
∴|a+1|≤2
∴﹣3≤a≤1
故选：C．
10．（5分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．
【解答】解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，
∴圆心坐标为M（1，1），半径r=3．
∵P（2，2）是该圆内一点，
∴经过P点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．
结合题意，得AC是经过P点的直径，BD是与AC垂直的弦．
∵|PM|==，
∴由垂径定理，得|BD|=2=2．
因此，四边形ABCD的面积是S=|AC|•|BD|=×6×2=6．
故选：D．
11．（5分）椭圆=1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵椭圆=1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=60°，∴由椭圆定义得：|PF1|+|PF2|=20，
∴|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|•|PF2|=400，①
由余弦定理得：•|PF2|cos∠F1PF2=4×36，②
联立①②，得：|PF1|•|PF2|=，
∴△F1PF2的面积是S=|PF1|•|PF2|•sin60°=×=．
故选：A．
12．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：根据题意，圆C：x2+y2+2x﹣4y﹣4=0可化为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心坐标为C（﹣1，2），半径r=3，
代入直线2ax+by+6=0得：﹣2a+2b+6=0，即点（a，b）在直线l：﹣x+y+3=0，
过C（﹣1，2），作l的垂线，垂足设为D，则过D作圆C的切线，切点设为E，则切线长DE最短，
又由|CE|=r=3，|CD|==3，
则|DE|==3；
故选：B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）不等式＜1的解集为（﹣2，1）．
【解答】解：根据题意，＜1⇒＜0⇒（x+2）（x﹣1）＜0，
解可得：﹣2＜x＜1，
即不等式＜1的解集为（﹣2，1）；
故答案为：（﹣2，1）．
14．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为ab，c．已知b=6，c=6，B=30°，则角C=60°或120°．
【解答】解：∵b=6，c=6，B=30°，
∴由正弦定理，可得：sinC===，
∵C∈（30°，180°），
∴C=60°或120°．
故答案为：60°或120°．
15．（5分）若正数x，y满足=5，则4x+3y的最小值为5．
【解答】解：正数x，y满足=5，
则4x+3y=（4x+3y）=≥=5，当且仅当y=2x=1时取等号．
∴4x+3y的最小值为5．
故答案为：5．
}是正项数列，且++…+=n2+3n（n∈N*），则
16．（5分）若数列{a
++…+=2n2+6n．
【解答】解：令n=1，得=4，∴a 1=16．
当n≥2时，
++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1）．
与已知式相减，得
=（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=2n+2，
∴a n=4（n+1）2，n=1时，a1适合a n．
∴a n=4（n+1）2，
∴=4n+4，
∴++…+==2n2+6n．
故答案为2n2+6n
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）（1）若m=1时，求关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＞0的解（2）求解关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＞0，其中m为常数．
【解答】解：（1）当m=1时，不等式x2﹣（m+2）x+2m＞0化为x2﹣3x+2＞0，即（x﹣1）（x﹣2）＞0，
解得x＜1或x＞2；
∴不等式的解集为{x|x＜1或x＞2}；
（2）不等式x2﹣（m+2）x+2m＞0可化为（x﹣m）（x﹣2）＞0，
当m＜2时，不等式的解集为{x|x＜m或x＞2}；
当m＞2时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞m}；
当m=2时，不等式化为（x﹣2）2＞0，解得x≠2，
∴不等式的解集为{x|x∈R，且x≠2}．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴．
又A∈（0，π），∴．
（2）．
∴bc=4．
又由余弦定理得，，
∴a2=（b+c）2﹣bc=16﹣4=12．
∴．
19．（12分）设命题p：实数x满足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：由（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，
得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．
由解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
（1）若a=1，则p：1＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
∴，即，
解得1＜a≤2．
20．（12分）已知函数．
（1）当x＞1时，求函数f（x）的最小值；
（2）当x＜1时，f（x）≤a恒成立，求a的最小值．
【解答】解：函数．
（1）化简．
∵x＞1，
∴x﹣1＞0
∴（等号成立当且仅当）
∴f（x）min=8．
故得函数f（x）的最小值为8．
（2）化简．
∵x＜1，
∴x﹣1＜0．
∴（等号成立当且仅当）
∴f（x）max=0
f（x）≤a恒成立，
∴a≥0
即a min=0．
故得a的最小值为0．
21．（12分）据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y（万元）可以看成月产量x（吨）的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．
（1）写出月总成本y（万元）关于月产量x（吨）的函数关系；
（2）已知该产品的销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润．
（3）当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？
【解答】解：（1）由题意，设y=a（x﹣15）2+17.5（a∈R，a≠0）
将x=10，y=20代入上式得：20=25a+17.5，解得a=，
∴y=（x﹣15）2+17.5（10≤x≤25）
（2）设最大利润为Q（x），
则Q（x）=1.6x﹣y=1.6x﹣（x2﹣3x+40）=﹣（x﹣23）2+12.9（10≤x≤25），因为x=23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．
（3）==x+﹣3≥2﹣3=1
当且仅当x=，即x=20∈[10，25]时上式“=”成立．
故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元
22．（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，满足4S n=a﹣4n﹣1，且a1=1，公比大于1的等比数列{b n}满足b2=3，b1+b3=10．
（1）求证数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）若c n=，求数列{b n}的前n项和T n；
（3）在（2）的条件下，若c n≤t2对一切正整数n恒成立，求实数t的取值．
【解答】（1）证明：（1）当n≥2时，，
=，
=，所以a n＞0，
=a n+2．
解得：a n
+1
因为当n≥2时，{a n}是公差d=2的等差数列，
a1=1，a2﹣a1=3﹣1=2，
则{a n}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，
所以数列的通项公式为a n=2n﹣1．
（2）由题意得，
；
则前n项和+…+①；
+…+②，
则①﹣②得：
=+…+]﹣；
解得：
（3）对一切正整数n恒成立，
由c n
﹣c n=﹣=≤0，+1
可得数列{c n}单调递减，即有最大值为，
则解得t≥1或．
即实数t的取值范围为．。