高三数学最后一模理新人教A版

江西省吉安一中 高三高考模拟（最后一模）
数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设R x ∈，则“1=x ”是“复数i x x z )1()1(2
++-=为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 设集合}R x 1,a 0,1|{},,|{∈≠>+==∈==且a a y y Q R k k y y P x
，若集合
Q P 只有一个子集，则k 的取值范围是（ ）
A. )1,(-∞
B. ]1,(-∞
C. ),1(+∞
D. ),1[+∞
3. 已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 函数)sin()(ϕω+=x A x f （共中0,2
||,0><
>ωπ
ϕA ）的图象如图所示，为了得到
x x g 3sin )(=的图象，只需将)(x f 的图象（ ）
A. 向右平移
4π
个单位长度 B. 向左平移4
π
个单位长度 C. 向右平移12
π
个单位长度
D. 向左平移12
π
个单位长度
5. 已知p ：存在R x ∈，使012≤+mx ；q ：对任意R x ∈，恒有012>++mx x 。

若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A. 2≥m B. 2-≤m C. 2m 2≥-≤或m
D. 22≤≤-m
6. 如图，已知某几何体的三视图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ） A. 2
324π-
B. 3
24π-
C. π-24
D. 2
24π-
7. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 的焦点与顶点，若双曲线
的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A.
3
1
B.
2
1 C.
3
3 D.
2
2 8. 某观察者站在点O 观察练车场上匀速行驶的小车P 的运动情况，小车从点A 出发的运动轨迹如下图所示。

设观察者从点A 开始随动点P 变化的视角为θ＝∠AOF （θ＞0），练车时
间为t ，则函数)(t f =θ的图象大致为
9. 某铁路货运站对6列运煤列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）
A. 162种
B. 216种
C. 108种
D. 432种 10. 给出定义：若]2
1
,21(+-
∈m m x （其中m 为整数），则m 叫做实数x 的“亲密的整数”，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数
)(x f y =在)1,0(∈x 上是增函数；②函数)(x f y =的图象关于直线)(2
Z k k
x ∈=
对称；③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期为1；④当]2,0(∈x 时，函数x x f x g ln )()(-=有两个零点。

其中正确命题的序号是（ ）
A. ②③④
B. ②③
C. ①②
D. ②④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 已知向量a ，b 的夹角为60°，且1||,2||==b a
，则向量a 与b a 2+的夹角为
___________。

12. 设n x
x )15(-
的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若240=-N M ，则
展开式中x 的系数为__________。

13. 已知数列}{n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列}{n S 中的唯一最小项，则数列}{n a 的首项1a 的取值范围是___________。

14. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x （元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y （件） 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为a x y +-=20。

若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_____________。

三、选做题（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）
15. （1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==θθsin 26cos 2
6y x （θ为参数）
上的点到直线2)sin cos 7(=
-θθρ的距离为d ，则d 的最大值是__________。

（2）（不等式选做题）不等式x
x x x 2
|2|
->-的解集是_________。

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
16. （本小题满分12分） 已知函数x x x f 2cos 2)6
2sin()(-+
=π。

（1）求函数)(x f 在],0[π上的单调递增区间；
（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为c b a ,,，且0)(=A f ，若向量)sin ,1(B m =
与向量)sin ,2(C n =
共线，求b
a
的值。

17. （本小题满分12分）
已知数列}{n a 满足)N n 2(1,1*
1211∈≥-=-+++=-且n a a a a a n n 。

（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；
（2）令)1,0(5log 122
21≠>++=++a a a a d n n a n ，记数列}{n d 的前n 项和为n S ，若
n
n S S 2恒为一个与n 无关的常数λ，试求常数a 和λ。

18. （本小题满分12分）
正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为3。

从正四棱柱的12条棱中任取两条，设η为随机变量，当两条棱相交时，记0=η；当两条棱平行时，η的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记3=η。

（1）求概率)0(=ηp ；
（2）求η的分布列，并求其数学期望ηE 。

19. （本小题满分12分）
如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，现在沿AE 将三角形ADE 向上折起，在折起的图形中解答下列两问：
（1）在线段AB 上是否存在一点K ，使BC ∥面DFK ？若存在，请证明你的结论：若不存在，请说明理由；
（2）若面ADE ⊥面ABCE ，求二面角E －AD －B 的余弦值。

20. （本小题满分13分）
在直角坐标平面中，三角形ABC 的两个顶点的坐标分别为)0,77(a A -
，)0)(0,7
7
(>a a B ，两动点M ，N 满足||7||,==++＝||7，向量MN 与共
线。

（1）求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；
（2）若过点P （0，a ）的直线与（1）的轨迹相交于E 、F 两点，求·的取值范围； （3）若G （－a ，0）、H （2a ，0），Q 为C 点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数)0(>λλ，使得∠QHG ＝λ∠QGH 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分） 已知函数x
x
x g ln )(=
，ax x g x f -=)()(。

（1）求函数)(x g 的单调区间；
（2）若函数)(1,)(+∞在x f 上是减函数，求实数a 的最小值；
（3）若存在],[,2
21e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21，求实数a 的取值范围。

【试题答案】 1-5 CBCCA 6-10 ADDBA 11. 30°
12. 150
13. （－30，－27） 14.
3
1 三、选做题（本题共5分） 15. ①2
②}20|{<<x x
16. 解：（1）)12(cos 6
sin
2cos 6
cos
2sin cos 2)6
2sin()(2+-+=-+
=x x x x x x f π
π
π
1)6
2sin(12cos 212sin 23--=--=
π
x x x
3分
由)(2
26
22
2Z k k x k ∈+
≤-
≤-
π
ππ
π
π得：)(3
6
Z k k x k ∈+
≤≤-
π
ππ
π
所以，)(x f 在],0[π上的单调递增区间为],6
5[
],3
,0[ππ
π
6分
（2）01)62sin()(=--
=πA A f ，则1)62sin(=-π
A 3
,262,611626,0π
ππππππ==-∴<<<-∴<<A A A A 8分
∵向量)sin ,1(B m = 与向量)sin ,2(C n =
共线，B C sin 2sin =∴，
由正弦定理得，b c 2=
10分
由余弦定理得，3
cos 22
2
2
π
bc c b a -+=，即222224b b b a -+= 3=∴
b
a
12分
17. 解：（1）由题1121-=-+++-n n a a a a
①
1121-=-+++∴+n n a a a a
②
由①－②得：021=-+n n a a ，即
)2(21
≥=+n a a n
n 3分
当2=n 时，2,
2,1,11
2
2121==∴=-=-a a a a a a 所以，数列}{n a 是首项为1，公比为2的等差数列，故)(2*
1N n a n n ∈=- 5分
（2）2log 215
log 1,2
22
211
a n n a n n n n a a d a +=++=∴=++- =-+n n d d 1
a log 22，
}{n d ∴是以2log 211a d +=为首项，以2log 2a 为公差的等差数列，
8分
0)2log 1)(2(2log )4(=+-+-⇒a a n λλ
10分
n
n S S 2
恒为一个与n 无关的常数⎩⎨⎧=+-=-∴0
)2log 1)(2(0
2log )4(,a a λλλ 解之得：2
1,4=
=a λ 12分
18. 解：（Ⅰ）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有2
38C ＝24对相对棱。

所以1148)0(21223===C C P η，即任取两条棱相交的概率为11
4。

5分
（Ⅱ）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是3的有4对，距离是2的有4对，距离是2的有2对，距离为1的共有8对，两条棱为异面的共有24对，于是
)1(,3312)2(,3324)2(,3324)3(212212212=========
=ηηηηP C P C P C P =212
8C ＝114
)3(P ,33
4C 8)1(P ,334212=====ηη。

随机变量η的分布列是：
0 1 2 3 P
10分
所以数学期望
33
3
2244114333223323331233411140)(++=
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=ηE 。

12分
19. 解：（1）线段AB 上存在一点K ，且当AB AK 4
1
=时，BC ∥面DFK 1分 证明如下：设H 为AB 的中点，连结EH ，则BC ∥EH ，又因为AB AK 4
1
=，F 为AE 的中点
所以KF ∥EH ，所以KF ∥BC ，
4分
DFK BC//DFK,BC DFK,面面面∴⊄⊂KF
5分
（2）∵H 为AB 的中点，F BC HE AH ,1===∴为AE 的中点，AE FH ⊥∴。

,,1AE DF DE DA ⊥∴==面ADE ⊥面ABCE ，⊥∴DF 面ABCE
由此可以FA ，FH ，FD 分别为z y x ,,轴，建立坐标系如图
7分
因为DF ⊥面ABCE ，所以DF ⊥FH ，又∵FH ⊥AE ，F AE DF = ，
FH ∴⊥面ADE ，则FH 为面ADE 的一个法向量。

因为1,2==BC AB ，所以22=
FH ，)0,2
2,0(=FH 9分
又可得：)0,0,22(),22,
0,0(A D ，所以)0,2
2
,22(),22,0,22(-=-= 设面ADB 的法向量为),,(z y x n =
由⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=+-
=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02
2220
2
2
2200y x z x n n
，即⎩⎨⎧=+-=+-00y x z x ，令1=x ，则)1,1,1(=n 11
分
所以332
2322,cos =
⨯
>=
<n FH
，故二面角E －AD －B 的余弦值为3
3 12分 20. 提示：（Ⅰ）设),(y x C ，由0=++，知，M ∴是△ABC 的重心，
⎪⎭
⎫
⎝⎛∴3,3y x M 。

1分
又||||NB NA =且向量与AB 共线，N ∴在边AB 的中垂线上，
⎪⎭
⎫ ⎝⎛∴3,0y N 。

2分 而||7||=
，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+∴97794222
2
y a y x ， 即22
2
3
a y x =-。

3分
（Ⅱ）设)y ,F(x ),(2211、y x E ，过点),0(a P 的直线方程为a kx y +=，代入2
2
2
3
a y x =-得042)3(2
22=---a akx x k ，
0)3(1642222>-+=∆∴k a k a ，即42<k 。

03
k 4
434,13222<->-∴
<-∴或k k 。

2
2
21221k
3a 4x x ,k 3ak 2x x --=-=+∴。

6分
),20()4,(34142
222+∞-∞∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=a a k a 。

8分
（Ⅲ）设)0,0)(,(0000>>y x y x Q ，则22020
3
a y x =-，即)(32
02020a x y -=。

当x QH ⊥轴时，4
,3,200π
=∠∴==QGH a y a x ，即∠QHG ＝2∠QGH ，故猜想2=λ。

9分
当QH 不垂直x 轴时，a
x y QGH a x y QHG +=∠--
=∠00
00tan ,2tan ，
QHG a
x y a x y a x y ∠=--
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=
tan 21200
2
0000。

又QGH ∠2与QHG ∠同在⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛πππ,22,
0 内，QHG QGH ∠=∠∴2。

故存在2=λ，使QHG QGH ∠=∠2恒成立。

13分
21. （1）解：由已知函数)(),(x f x g 的定义域均为),1()1,0(+∞ ，且ax x
x
x f -=ln )(。

1分
函数2
2)(ln 1ln )(ln 1
ln )(x x x x x x x g -=⋅
-=
'，
当e x <<0且1≠x 时，0)(<'x g ；当e x >时，0)(>'x g 。

所以函数)(x g 的单调减区间是（0，1），),1(e ，增区间是),(+∞e 。

3分
（2）因)(x f 在),1(+∞上为减函数，故0)
(ln 1
ln )(2
≤--='a x x x f 在),1(+∞上恒成立。

所以当),1(+∞∈x 时，0)(max ≤'x f 。

又a x a x x a x x x f -+⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--='4121ln 1
ln 1ln 1)(ln 1ln )(2
22， 故当
21ln 1=x ，即2e x =时，a x f -='41
)(max 。

所以041≤-a ，于是41≥a ，故a 的最小值为4
1。

6分
（3）命题“若],[,2
21e e x x ∈∃，使a x f x f +'≤)()(21成立”等价于
“当],[2e e x ∈时，有a x f x f +'≤max min )()(”。

由（2），当],[2e e x ∈时，4
1)(,41)(max max =+'∴-='a x f a x f 。

问题等价于：“当],[2
e e x ∈时，有4
1)(min ≤x f ”。

8分
10 当4
1≥a 时，由（Ⅱ），)(x f 在],[2
e e 上为减函数，
则4
1
2)()(222
min
≤-==ae e e f x f ，故24121e a -≥。

10分
20 当41<a 时，由于a x x f -+⎪⎭
⎫ ⎝⎛--='4121ln 1)(2
在],[2
e e 上为增函数，
故)(x f '的值域为)](),([2
e f e f ''，即]4
1
,
[a a --。

（i ）若0≥-a ，即0)(,0≥'≤x f a 在],[2e e 恒成立，故)(x f 在],[2
e e 上为增函数，
于是，4
1
)()(min >≥-==e ae e e f x f ，不合题意。

11分
（ii ）若0<-a ，即4
1
0<
<a ，由)(x f '的单调性和值域知， 存在唯一),(2
0e e x ∈，使0)(0='x f ，且满足：
12分
当),(0x e x ∈时，)(,0)(x f x f <'为减函数；当),(2
0e x x ∈时，)(,0)(x f x f >'为增函数；
所以，),(,4
1
ln )()(200000min e e x ax x x x f x f ∈≤-=
=。

所以，41412141ln 141ln 1200=->->-≥
e e x x a ，与4
10<<a 矛盾，不合题意。

综上，得241
21e
a -≥。

14分。