高考数学总复习第十节 变化率与导数、导数的运算

[题点全练]
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角度一：求切线方程
1．曲线 y＝xx－ ＋11在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封
闭图形的面积为
()
A．18
B．14
C．12
D．1
解析：因为 y′＝x＋2 12，所以 y′x＝0＝2 ，所以曲线在点
(0，－1)处的切线方程为 y＋1＝2x，即 y＝2x－1，与两坐标
轴的交点坐标分别为(0，－1)，12，0，所以与两坐标轴围成
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[小题体验]
1．下列求导运算正确的是
()
A．x＋1x′＝1＋x12
B．(log2x)′＝xln1 2
C．(3x)′＝3xlog3e
D．(x2cos x)′＝－2sin x
解析：x＋1x′＝x′＋1x′＝1－x12；(3x)′＝3xln 3；x2cos x′
＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x．故选 B.
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a＞0)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝_c_o_s_x__
f′(x)＝_－__s_in__x__
f′(x)＝_a_x_l_n_a__
f′(x)＝_e_x_
f′(x)＝
1 xln
a
f′(x)＝
D．－13，23
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解析：由 f(x)＝－ex－x，得 f′(x)＝－ex－1，∵ex＋1＞1，
∴ex＋1 1∈(0,1)．由 g(x)＝3ax＋2cos x，得 g′(x)＝3a－2sin x，
又－2sin x∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使
过曲线 f(x)＝－ex－x 上任意一点的切线 l1，总存在过曲线 g(x) ＝ 3ax ＋ 2cos x 上 某 点 处 的 切 线 l2 ， 使 得 l1 ⊥ l2 ， 则
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的三角形的面积 S＝12×|－1|×12＝14. 答案：B
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角度二：求切点坐标
2．(2018·湖州模拟)曲线 f(x)＝x3＋x－2 在 P0 处的切线平行
于直线 y＝4x－1，则 P0 点的坐标为
()
A．(1,0)
B．(2,8)
C．(1,0)和(－1，－4) D．(2,8)和(－1，－4)
解析：设 P0(x0，y0)，则 f′(x)＝3x2＋1，即 f′(x0)＝ 3x20＋1＝4，所以 x0＝±1，所以 P0 点的坐标为(1,0)和 (－1，－4)，经检验，都符合题意．故选 C.
第十 节 变化率与导数、导数的运算
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
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必过 教材 关
返x＝x0 处的导数：
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[演练冲关]
1．(2018·杭州质量预测)函数 f(x)＝excos x 的图象在点(0，f(0))
处的切线方程是
()
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
解析：依题意，f(0)＝e0cos 0＝1，因为 f ′(x)＝excos x－
exsin x，所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0，
即 x－y＋1＝0，故选 C.
答案：C
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2．曲线 y＝aln x(a＞0)在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成的 三角形的面积为 4，则 a＝________. 解析：∵y＝aln x，∴y′＝ax， ∴在 x＝1 处的切线的斜率 k＝a，而 f(1)＝aln 1＝0， 故切点为(1,0)，∴切线方程为 y＝a(x－1)． 令 y＝0，得：x＝1；令 x＝0，y＝－a. ∴三角形面积 S＝12×a×1＝4，∴a＝8. 答案：8
－2＋3a≤0， 2＋3a≥1，
解得－13≤a≤23.
答案：D
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[通法在握] 与切线有关问题的处理策略 (1)已知切点 A(x0，y0)求斜率 k，即求该点处的导数值， k＝f′(x0)． (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k. (3)求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点 A(x0， f(x0))，则切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点 M(x1， y1)代入切线方程，求 x0.
答案：C
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角度三：求参数的值(范围) 3．(2018·宁波二模)设曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)
上任意一点处的切线为 l1，总存在曲线 g(x)＝3ax＋2cos x 上
某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－1,2]
B．(3，＋∞)
C．－23，13
(2)y′＝ln
x＋1x′＝(ln
x)′＋1x′＝1x－x12.
(3)y′＝coesx
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
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(4)(易错题)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2；(5)y＝ln(2x－5)． 解：(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2＝12xsin(4x＋π)＝－12xsin 4x， ∴y′＝－12sin 4x－12x·4cos 4x＝－12sin 4x－2xcos 4x. (5)令 u＝2x－5，y＝ln u， 则 y′＝(ln u)′u′＝2x1－5·2＝2x2－5，即 y′＝2x2－5.
()
A．x－y＋1＝0
B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析：函数 f(x)＝x2＋1x的导数为 f′(x)＝2x－x12 ，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为 k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为 y－2＝x－1，
即为 x－y＋1＝0. 故选 A.
答案：A
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一 导数的运算 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋1x；(3)y＝coesx x；
解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率
lim
x0
ΔΔxy＝
lim
x0
fx0＋ΔΔxx－fx0为函数 y＝f(x)在 x＝x0
处的导数，记作 f′(x0)或 y′| x＝x0 ，即
f′(x0)＝
lim
x0
ΔΔxy＝
lim
x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
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(2)导数的几何意义：
函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点P(x0，y0) 处的 切线的斜率 (瞬时速度就是
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究 直线与二次曲线相切时有差别．
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[小题纠偏] 1．函数 y＝lnexx的导函数为________________．
答案：y′＝1－xxelxn x
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2．(2018·杭州模拟)函数 f(x)＝x2＋1x的图象在点(1，f(1))处的切
线方程为
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[谨记通法] 求函数导数的 3 种原则
[提醒] 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内 逐层求导，必要时可换元．
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考点二 导数的几何意义
题点多变型考点——多角探明 [锁定考向] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有 选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值(范围)．
1 x
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3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
(3)gfxx′＝
f′xgx－fxg′x [gx]2
(g(x)≠0)．
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4．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数 间的关系为 yx′＝ yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
答案：B
2．曲线 y＝x3－x＋3 在点(1,3)处的切线方程为________．
答案：2x－y＋1＝0
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必过易错关
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1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式 (xα)′＝αxα－1 与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a 混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的 区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
(3)函数 f(x)的导函数：
fx＋Δx－fx
称函数 f′(x)＝ lim x0
Δx
为 f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式 原函数
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导函数
f(x)＝xn(n∈Q *)
f′(x)＝_n__·x_n_－_1 _