2018秋期四川渠县崇德实验学校九年级上学期开学摸底测试数学试卷(解析版)

2018秋期四川渠县崇德实验学校九年级（上）开学摸底测试
数学试卷
一、单项选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分）．
1．下列各图中，是中心对称图形的为（）
A．B．C．D．
2．下列函数中，y是x的二次函数的为（）
A．y=﹣3x2B．y=2x C．y=x+1 D．y=x3
3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为（）
A．B．C．D．
4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的最大值是（）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
5．如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是（）
A．70°B．80°C．60°D．50°
6．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）
A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+1
7．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（）
A．a2B．a2C．a2D． a
8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程变形正确的是（）
A．（x﹣1）2=6 B．（x﹣2）2=9 C．（x+1）2=6 D．（x+2）2=9
9．在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S 2=12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（）
丁
A．甲B．乙C．丙D．丁
10．如图1，正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则点P的运动路线可能是（）
A．A→B B．A→D C．B→D D．D→C
二、填空题（本大题包括6个小题，每小题3分，共18分）．
11．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=（x﹣1）2的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“＞”、“＜”、“=”）．
12．在平面直角坐标系中，点P（5，3）关于原点对称的点的坐标为．
13．如图，P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，若PC=1，则PP′=．
14．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a=，b=．
15．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生一个月的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
估计这所中学九年级学生一个月共读书约册，你的估计理由是．
16．阅读下面材料，在数学课上，老师提出如下问题：
小颢这样操作的：
为圆心，大于
老师说：“小颢的做法是正确的．”
请回答：小颢的作图依据是．
三、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．
17．解方程：x2﹣4x+2=0．
18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．
19．若二次函数y=2x2﹣4x+1过点（m，0），求代数式2（m﹣1）2+3的值．
20．如图，矩形ABCD．AE=CD，DF⊥BE于F．求证：∠E=∠ADF．
21．已知二次函数的图象经过点（1，0），且顶点坐标为（2，5）．求此二次函数的解析式．
四、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．
22．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，m）、B（1，1）．（1）求m的值及直线y=bx+c的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜bx+c的解集为．
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若AD=2，BC=3，求AE的长．
24．某商店以每件20元的价格购进一批商品，每种商品售价x元．
（1）每件商品的利润是元；
（2）若每月可卖出（800﹣10x）件，商店每月的总盈利为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出每月的最大利润是多少？
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D 顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．
（1）求证：AB⊥BE；
（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．
26．有这样一个问题：探究函数y=x2﹣2的图象与性质．
小峰根据学习函数的经验，对函数y=x2﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小峰的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2﹣2的自变量的取值范围是；
（2）下表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．
五、解答题（本大题包括3个小题，第27题7分，第28题7分，第29题8分；共22分）．
27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若抛物线C2：y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
28．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ=120°．（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．
①依题意补全图1；
②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若∠CPD=80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．
29．如图，平面直角坐标系中，点P关于点A的关联点P′的定义如下：若在线段PA的延长线上存在一点P′，满足AP+AP′=2，则称为点P′为点P关于点A的关联点．特别地，当点P′是与点A重合时，规定：AP′=0．
（1）分别判断点M（1，0）、N（1，2）关于原点O（0，0）的关联点是否存在？若存在，求出其坐标；
（2）如图，直线y=﹣x+1分别与x、y轴交于点B、C．
①若点P（m，n）在直线y=﹣x+1上，且点P关于原点O（0，0）的关联点P′存在，求m 的取值范围；
②若对于线段BC上的任意一点P，使得点P关于点A（a，0）的关联点P′存在，且点P′
不在x轴上，求a的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（本大题包括10个小题，每小题3分，共30分）．
1．下列各图中，是中心对称图形的为（）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故错误；
B、不是中心对称图形，故错误；
C、不是中心对称图形，故错误；
D、是中心对称图形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列函数中，y是x的二次函数的为（）
A．y=﹣3x2B．y=2x C．y=x+1 D．y=x3
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、是二次函数，故此选项正确；
B、是一次函数，故此选项错误；
C、是一次函数，故此选项错误；
D、是三次函数，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
3．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案．
【解答】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，
∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：=．
故选C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
4．二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的最大值是（）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】二次函数的最值．
【分析】因为此题中解析式为顶点式的形式，所以根据其解析式即可求解．
【解答】解：∵二次函数y=﹣（x﹣1）2+2，
∴当x=1时，二次函数y=﹣（x﹣1）2+2的最大值为2，
故选B．
【点评】考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
5．如图，P是等边△ABC内部一点，把△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，则旋转角的度数是（）
A．70°B．80°C．60°D．50°
【考点】旋转的性质．
【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，然后根据旋转的性质可得到∠BAC为旋转角，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到△ACQ，
∴∠BAC为旋转角，即旋转角的度数为60°．
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
6．将抛物线y=x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（）
A．y=x2+1 B．y=x2﹣1 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x﹣1）2+1 【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先得到抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移1个单位得到的点的坐标为（0，1），所以所得到的抛物线的解析式为y=x2+1．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心为直角的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板的圆心绕O旋转，则正方形ABCD被纸板覆盖部分的面积为（）
A．a2B．a2C．a2D． a
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，利用正方形的性质得OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，再利用等角的余角相等得到∠EOD=∠FOC，于是可证
明△ODE≌△OCF，得到S△ODE=S△OCF，所以S阴影部分=S△DOC=S正方形ABCD=a2．
【解答】解：扇形的半径交AD于E，交CD于F，连结OD，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OD=OC，∠COD=90°，∠ODA=∠OCD=45°，
∵∠EOF=90°，即∠EOD+∠DOF=90°，
∠DOF+∠COF=90°，
∴∠EOD=∠FOC，
在△ODE和△OCF中，
，
∴△ODE≌△OCF，
∴S△ODE=S△OCF，
∴S阴影部分=S△DOC=S正方形ABCD=a2．
故选B．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程变形正确的是（）
A．（x﹣1）2=6 B．（x﹣2）2=9 C．（x+1）2=6 D．（x+2）2=9
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=5，
配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6，
故选A
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．在社会实践活动中，某同学对甲、乙、丙、丁四个城市一至五月份的白菜价格进行调查．四个城市5个月白菜的平均值均为3.50元，方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S 2=12.5．一至五月份白菜价格最稳定的城市是（）
丁
A．甲B．乙C．丙D．丁
【考点】方差．
【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差分别为S甲2=18.3，S乙2=17.4，S丙2=20.1，S丁2=12.5．可找到最稳定的．
【解答】解：因为丁城市的方差最小，所以丁最稳定．
故选D．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．如图1，正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则点P的运动路线可能是（）
A．A→B B．A→D C．B→D D．D→C
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意和函数图象以及选项可以推测出哪个选项是正确的．
【解答】解：∵正方形ABCD中，点M是AB的中点，点P在某条线段上匀速运动，若运动的时间为x，点P与点M之间的距离为y，
∴如果从A→B，则点P的距离与M的距离由大到0再变大，与函数图象不符，故选项A 错误；
如果从A→D，则点P的距离与M的距离一直变大，与函数图象不符，故选项B错误；
如果从B→D，则点P的距离与M的距离由大变小，再由小变大，并且到D的距离大于到点B的距离，与图象符合，故选项C正确；
如果从D→C，则点P的距离与M的距离由大变小，再由小变大，并且到D的距离等于到点C的距离，与图象不符，故选项D错误．
故选C．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是利用数形结合的思想，分不同情况看函数的图象．
二、填空题（本大题包括6个小题，每小题3分，共18分）．
11．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y=（x﹣1）2的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1＜y2（填“＞”、“＜”、“=”）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵y═（x﹣1）2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∵x2＞x1＞1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，点P（5，3）关于原点对称的点的坐标为（﹣5，﹣3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出即可．
【解答】解：点P（5，3）关于原点对称的点的坐标为：（﹣5，﹣3）．
故答案为：（﹣5，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，得出对应点坐标是解题关键．
13．如图，P是正方形ABCD内一点，将△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，
若PC=1，则PP′=．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据正方形的性质得CD=CB，∠BCD=90°，再根据旋转的性质得CP=CP′，
∠PCP′=∠DCB=90°，则可判断△PCP′为等腰直角三角形，于是PP′=CP=．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∵△PCD绕点C逆时针方向旋转后与△P′CB重合，
∴CP=CP′，∠PCP′=∠DCB=90°，
∴△PCP′为等腰直角三角形，
∴PP′=CP=．
故答案为．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
14．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值：a=1，b=2．
【考点】根的判别式．
【专题】开放型．
【分析】利用一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根；进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=b2﹣4a=0，
符合一组满足条件的实数a、b的值：a=1，b=2等．
故答案为：1，2．
【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出a，b之间的关系是解题关键．
15．在某中学开展的“书香伴我行”读书活动中，为了解九年级300名学生一个月的读书情况，随机调查了九年级50名学生读书的册数，统计数据如表所示：
估计这所中学九年级学生一个月共读书约648册，你的估计理由是50名学生读书的平均册数等于全年级学生读书的册数．
【考点】用样本估计总体；加权平均数．
【分析】根据图表所给出的数据求出50名学生读书的平均册数，然后乘以九年级的总人数即可．
【解答】解：根据题意得：
=2.16（册），
则这所中学九年级学生一个月共读书约2.16×300=648（册）；
估计理由是：50名学生读书的平均册数等于全年级学生读书的册数．
故答案为：648，50名学生读书的平均册数等于全年级学生读书的册数．
【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是根据统计表得出50名学生读书的平均册数，运用了样本估计总体的思想．
16．阅读下面材料，在数学课上，老师提出如下问题：
小颢这样操作的：
为圆心，大于
老师说：“小颢的做法是正确的．”
请回答：小颢的作图依据是四边相等的四边形为菱形．
【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．
【专题】作图题．
【分析】利用作图可判断AC=AD=BC=BD，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ACBD 为菱形．
【解答】解：由作图可得AC=AD=BC=BD，所以四边形ACBD为菱形，
则小颢的作图依据为四边相等的四边形为菱形．
故答案为四边相等的四边形为菱形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．
三、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．
17．解方程：x2﹣4x+2=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：x2﹣4x=﹣2
x2﹣4x+4=2
（x﹣2）2=2
或
∴，．
【点评】配方法的步骤：形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
18．如图，正方形网格中，△ABC的顶点及点O在格点上．画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】作图题．
【分析】利用网格特点和中心对称的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，则可得到△A′B′C′．
【解答】解：如图，△A′B′C′为所作；
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．若二次函数y=2x2﹣4x+1过点（m，0），求代数式2（m﹣1）2+3的值．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由于y=2x2﹣4x+1经过点（m，0），则2m2﹣4m+1=0，代数式2（m﹣1）2+3=2m2﹣4m+1+4=0+4=4即可．
【解答】解：抛物线y=2x2﹣4x+1经过点（m，0），则2m2﹣4m+1=0，
因此2（m﹣1）2+3=2m2﹣4m+1+4=0+4=4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确将代数式变形是解决本题的关键．
20．如图，矩形ABCD．AE=CD，DF⊥BE于F．求证：∠E=∠ADF．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】由矩形的性质得出AB=CD，∠BAD=90°，得出∠ABE+∠1=90°，再由已知条件得出AE=AB，由等腰三角形的性质得出∠E=∠ABE，证出∠ADF+∠2=90°，由对顶角相等得出∠ABE=∠ADF，即可得出结论．
【解答】证明：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠1=90°，
∵AE=CD，
∴AE=AB，
∴∠E=∠ABE，
∵DF⊥BE，
∴∠DFB=90°，
∴∠ADF+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠ABE=∠ADF，
∴∠E=∠ADF．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角的互余关系；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰三角形是解决问题的关键．
21．已知二次函数的图象经过点（1，0），且顶点坐标为（2，5）．求此二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣2）2+5，然后把（1，0）代入求出a的值即可．
【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+5，
把（1，0）代入得a+5=0，解得a=﹣5，
所以抛物线解析式为y=﹣5（x﹣2）2+5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
四、解答题（本大题包括6个小题，每小题5分，共30分）．
22．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，m）、B（1，1）．（1）求m的值及直线y=bx+c的解析式；
（2）直接写出关于x的不等式ax2＜bx+c的解集为﹣2＜x＜1．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】（1）先把B（1，1）代入抛物线y=ax2与求出a的值，故可得出抛物线的解析式，再把点A（﹣2，m）代入抛物线的解析式即可得出m的值，把A、B两点代入直线y=bx+c 求出B、C的值即可；
（2）直接根据两函数图象的交点即可得出结论．
【解答】解：（1）∵B（1，1）在抛物线y=ax2上，
∴1=a，
∴抛物线的解析式为y=x2．
∵点A（﹣2，m）在此抛物线上，
∴m=4，
∴A（﹣2，4）．
∵A、B两点在直线y=bx+c上，
∴，
解得．
∴直线y=bx+c的解析式为y=﹣x+2；
（2）∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜1时，二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴不等式ax2＜bx+c的解集为：﹣2＜x＜1．
故答案为：﹣2＜x＜1．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键．
23．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，延长AD交EC于点F．
（1）求证：四边形ABCF是矩形；
（2）若AD=2，BC=3，求AE的长．
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】（1）根据平行线求出∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，根据旋转得出DE=DC，∠EDC=90°，根据等腰三角形性质求出∠AFC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出AF和DF，求出DF=EF=1，根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∠BCD=45°，
∴∠B=∠BAF=90°，∠BCD=∠FDC=45°，
∵将CD绕点D逆时针旋转90°至ED，
∴DE=DC，∠EDC=90°，
∴∠EDF=45°=∠FDC，
∴DF⊥CE，
∴∠AFC=90°，
即∠B=∠BAF=∠AFC=90°，
∴四边形ABCF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCF是矩形，
∴AF=BC=3，
∴DF=3﹣2=1，
∵∠EDF=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=∠EDF=45°，
∴DF=EF=1，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：AE===．
【点评】本题考查了平行线的性质，矩形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
24．某商店以每件20元的价格购进一批商品，每种商品售价x元．
（1）每件商品的利润是x﹣20元；
（2）若每月可卖出（800﹣10x）件，商店每月的总盈利为y元，求y与x之间的函数关系式，并求出每月的最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据利润=售价﹣进价即可得到结论；
（2）根据总盈利=销量乘以每件商品的利润求出y与x之间的函数关系式，然后求二次函数的最大值即可．
【解答】解：（1）每件商品的利润=（x﹣20）元，
故答案为：x﹣20；
（2）根据题意得：y=（800﹣10x）（x﹣20）=﹣10x2+1000x﹣16000，
∴y=﹣10（x﹣50）2+9000，
∴每月的最大利润是9000元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于x、y的关系式是解答此题的关键．
25．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC边上，连接AD，将AD绕点D 顺时针旋转90°得到DE，连接BE，作DF⊥BC交AB于点F．
（1）求证：AB⊥BE；
（2）若AC=8，DF=3，求BE的长．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【分析】（1）作EH⊥BC于H，如图，根据旋转的性质得∠ADE=90°，DA=DE，再利用等角的余角相等得到∠EDH=∠DAC，则可根据“AAS”证明△ACD≌△DHE得到AC=DH，CD=EH，接着利用∠C=90°，AC=BC和等线段代换可得BH=EH，于是可判断△BEH为等腰直角三角形，所以∠EBH=45°，则可得到∠ABE=90°，然后根据垂直的定义得AB⊥BE；（2）由于DF⊥BC，∠FBD=45°，则可判断△DBF为等腰直角三角形，得到BD=DF=3，再利用BC=AC=8得到CD=5，然后利用（1）中的证明过程得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，于是BE=EH=5．
【解答】（1）证明：作EH⊥BC于H，如图，
∵AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，
∴∠ADE=90°，DA=DE，
∴∠ADC+∠EDH=90°，
而∠ADC+∠DAC=90°，
∴∠EDH=∠DAC，
在△ACD和△DHE中
，
∴△ACD≌△DHE，
∴AC=DH，CD=EH，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°，
∵AC=BC=DH，
∴CD=BH，
∴BH=EH，
∴△BEH为等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°，
∴∠ABE=90°，
∴AB⊥BE；
（2）解：∵DF⊥BC，∠FBD=45°，
∴△DBF为等腰直角三角形，
∴BD=DF=3，
∵BC=AC=8，
∴CD=5，
由（1）得EH=CD=5，△BEH为等腰直角三角形，
∴BE=EH=5．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质．
26．有这样一个问题：探究函数y=x2﹣2的图象与性质．
小峰根据学习函数的经验，对函数y=x2﹣2的图象与性质进行了探究．
下面是小峰的探究过程，请补充完整：
（1）函数y=x2﹣2的自变量的取值范围是任意实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第四象限内的最低点是（1，﹣1），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：对称轴是y轴．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【分析】（1）由图表可知x是任意实数；
（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）任意实数，
（2）令x=4，
∴y=x2﹣2=42﹣2=16﹣8=8，
∴m=8；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数有最小值﹣1；
②该函数对称轴是y轴；
③该函数与x轴有三个交点；
故答案为该函数对称轴是y轴．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
五、解答题（本大题包括3个小题，第27题7分，第28题7分，第29题8分；共22分）．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=mx2﹣2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）若抛物线C2：y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．。