浅谈“小船渡河”的最值问题

浅谈“小船渡河”的最值问题
在高一物理（必修2）的教学过程种，有关“小船渡河”问题的讲解是学生理解的难点，当然也是教学的重点。

这类题目主要研究：船怎样行驶，渡河时间、渡河位移最短。

在物理教学过程中，我发现许多学生是死记硬背记住结论，有时还混淆，其主要原因是他们不能理解运动的合成与分解规律与渡河问题的关系。

下面就这个问题我谈谈自己一些不成熟的教学方法。

例如有这样一道题：一条宽为d的河，水流速度为V
水
，船在静水中的速度
为V
船
，那么
（1）船怎样渡河时间最短，最短时间为多少？
（2）若V
水＜V
船
，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？
（3）若V
水＞V
船
，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？
在求船渡河时间最短问题之前，我首先带着学生复习了合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、运算法则为平行四边行定则，然后画图讲解，(如图1)
图1
由于渡河时间t=S
船/V
船
= S
水
/V
水
= S
合
/V
合
，而船渡河的分位移容易求，所
以利用t=S
船/V
船
计算简单，从船运动的分位移图中可知，当船头垂直正对岸开
动时，船的分位移S
船
最短，渡河时间最短。

关于船渡河位移最短的问题，我首先告诉学生船渡河的位移，是指船的实际位移，即合位移，即和合速度在一条直线上。

合位移的方向大致有三种，沿河岸上游、垂直河对岸、沿河岸下游，显然合位移为河宽时，渡河位移最短，如图2，而合位移方向即是合速度方向，假设水速方向向右，由三角形定则可知，船速方向应斜向上游某一角度θ，而且由几何关系知，船速只有大于水速时，合速度
才可能指向正对岸，最短位移才可能为河宽。

此时cosθ = V
水/ V
船
,从而求出
θ。

图2
当水速大于船速时，由三角形定则可知，两个分速度应该首尾相接，合速度由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端，在船头方向不断变化的过程中，就像以水速末端为圆心，以船速为半径画的圆一样，合速度的首部始终落在该圆上，由合速度的方向即为合位移方向可知，当合速度方向如图3所示，即从水速始端做圆的切线时，合位移为最短。

此时船速与合速度垂直，船速方向仍应斜向上游
某一角度θ，cosθ=V
船 / V
水
，可求出θ，由几何关系可求最短位移S
min
=d/
cosθ=d V
水/ V
船。

图3
另外，我们还应该清楚：把一个合运动分解为的两个分运动之间具有相对独立性，即两个分运动之间互不干扰。

因此，当船头垂直河岸渡河时，其时间最短，而且无论水流速度如何变化，船渡河时间都为d/V船，因为在船头方向上的分位移不变，船速不变，所以分运动的时间不变，也就是渡河时间不变。

当然，值得注意的是，当船以最短时间渡河时，其渡河位移不会最短。

“小船渡河”问题是运动合成与分解知识在现实生活中的应用，只有深刻理解运动合成与分解的意义，充分掌握合运动与分运动的关系和特点，才能去解开“小船渡河”问题中困扰我们的死结，让物理知识凸显出生活的乐趣，使物理的学习更加轻松。