江苏省高考数学附加题强化试题(3) 理

江苏省数学高考附加题强化试题3
班级 姓名 得分
21.[选做题]在B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分. B ．（选修4—2：矩阵与变换）
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，属于特征值1的
一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）
已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直
角坐标系，直线l
的参数方程为1212
x t y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.
D ．（选修4－5：不等式选讲）
设z y x ,,为正数，证明：()
()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥．
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分. 22．（本小题满分10分）
某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．
(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等
的概率；
(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝 对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE ．
23．（本小题满分10分）
设函数(,)1(0,0)x
m f x y m y y ⎛⎫
=+>> ⎪⎝
⎭.
（1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若3124
0234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40
i i a =∑；
（3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,n
f n m f n t =，求证
：
(2010,0
)7(2010,)
f f t >-．
江苏省数学高考附加题强化试题3
参考答案
21B 、解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11，
即c ＋d ＝6； ………………………………………3分
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－2，
即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分
解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3 3 2 4， …………………………8分 A 逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 23 －12
－13 12
21C ．解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，
即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程l
的普通方程为1y =+，………………………………6分 圆C 的圆心到直线l 的距离2
1
=
d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)2
1
(2222=-． …………………10分
21D ．因为2220x y xy +≥≥
所以()()
()3322x y x y x xy y xy x y +=+-+≥+ …………………4分 同理()33y z yz y z +≥+,()33z x zx z x +≥+ …………………6分 三式相加即可得()
()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x ++≥+++++ 又因为()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++ 所以()
()()()3332222x y z x y z y x z z x y ++≥+++++ …………10分
22、(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为
11151520
3
40
1C C C P C =- …………………………………………4分
419
494
=
…………………………………………5分 (Ⅱ)由题意知0,1,2ξ=
222
5152002
4061
156C C C P C ++==……………………………………6分 1111
515152012
4075
156C C C C P C +==……………………………………7分 11
52022405
39
C C P C ==……………………………………8分
ξ的分布列：
…………………………………………10分
ξ的数学期望:6175511501215615639156
E ξ=⨯
+⨯+⨯= …………12分 23. 解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝3
3633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
； （2分）
（2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a y y y y y
=+
+++=+，33
34322a C m m ==⇒=， 4
4
2(1)
811i
i a ==+=∑； （5分） （3）由
(,1)(,)n
f n m f n t =可得2(1)(1)()n
n
n n
m m m m m t t
+=+=+
，即 21m m m m t +=+⇒=⇒20102010
1(1(1)1000f ==+．
234
1234
201020102010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而1)1
1()1(),2010(20102010<+=+=---t
t m t f ，所以原不等式成立． （10分）。