临考押题卷05-2020年高考数学临考押题卷(北京卷)(解析版)

2020年高考临考押题卷（五）
数学（北京卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题
1．已知集合{|11}A x x =-≤≤，{1,0,2}B =-，则A B =I （ ）
A ．{1,0}-
B ．{1,0,1,2}-
C ．{1,1}-
D ．{0}
【答案】A
【解析】{|11}A x x =-≤≤，{1,0,2}B =-，则{1,0}A B ⋂=-. 2．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
【答案】A
【解析】5
(2)(2)522232z i i z i i z i i
--=∴-=
=+∴=+-Q 3．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
时，
,
为偶函数；
为偶函数时，
对任意的恒成立，
，得
对任意的恒成立，从而
.从而“
”是“
为偶函数”的充
分必要条件，故选C.
4．若双曲线2222
1(0,0)
x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A ．20x y ±= B ．20x y ±=
C ．30x =
D 30x y ±=
【答案】C
【解析】因为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点到一条渐近线的距离为,b 所以2,2.4c b c b ==因此
.a =因为双曲线22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为,b y x a =±
所以该双曲线的渐近线方程是0x ±=.
5．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cosA 2c a B b -=，则cosA cosB
cos a b a B
+的最小值为（ ） A
B
．
3
C
D
．
3
【答案】D
【解析】因为cos cos 2
c a B b A -=
， 所以2sin cos 2sin cos sin A B B A C -=，
()2sin cos 2sin cos sin sin cos cos sin A B B A A B A B A B -=+=+，
sin cos 3sin cos 0A B B A -=，即
sin 3cos sin cos A A
B B
=
,
因为
cos +b cos cos cos sin cos cos =+cos cos cos sin cos 3cos a A B A b A B A B a B B a B A B A =+=+≥=
， 所以
cos +bcos cos a A B a B
的最小值为3
，故选D 。

6．已知
1
2
3
a =，1
3
1log 2b =，21
log 3
c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．b a c >>
【答案】A
【解析】由指数函数，对数函数的性质，可知
1
2
31
a =>Q ，1
13
3
11log ,0log 122b =<< 2
1
log 03
c =<，即a b c >>，选A 7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D
【解析】作出几何体的直观图如下图所示：
可知，该几何体为四棱锥P ABCD -，且底面ABCD 为直角梯形，其面积为()12232
S +⨯==，
四棱锥P ABCD -的高为2h PD ==， 因此，该几何体的体积为11
32233
P ABCD V Sh -=
=⨯⨯=. 8．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线
21y x =--PAB △面积的最小值为（ ）
A ．6
B ．3
C ．
93
222
-D ．
93222
+【答案】B 【解析】曲线21y x =--O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图，
直线
AB 的方程为30x y -+=，
可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，22
=，
则PAB △的面积的最小值为1
32232
⨯⨯=. 故选：B .
9．将函数2
()2cos
14g x x π⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
的图象向右平移4π个单位长度，纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()f x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．当x ∈R 时，函数()f x 为奇函数 C ．x π=是函数()f x 的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为3
【答案】C
【解析】将函数2
()2cos 1cos 242g x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=+
-=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的图象向右平移4π个单位长度， 纵坐标不变，可得
cos 2cos 242y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
再将横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()cos f x x =， 则函数()f x 的最小正周期221
T
π
π=
=，故A 选项错误； 当x ∈R 时，函数()cos f x x =为偶函数，故B 选项错误； 函数()cos f x x =的对称轴为()x k k Z π
=∈，故C 选项正确；
函数()cos f x x =在区间25,34ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦上的最小值为1-，故D 选项错误； 10．定义在R 上的函数
()f x 导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2019f x +为奇函
数，则不等式()2019e 0x f x +<的解集为（ ）
A ．
(),0-∞ B ．
()0,∞+
C ．1(,)e
-∞
D ．1(,)e
+∞
【答案】B
【解析】由题意，构造新函数()()x
f x
g x e
=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()f x f x '
>，所以()0g x '
<，所以函数()g x 在R 上单调递减，
又因为()2019f x +为奇函数，所以()020190f +=，
所以
()02019f =-，则()02019g =-，
所以不等式()20190x
f x e +<等价与()()0
g x g <，即0x >， 所以不等式()2019e 0x f x +<的解集为()0,∞+，故选B.
二、填空题
11．已知,a b v v 均为单位向量，若23a b -=v
v ，则a v 与b v 的夹角为________.
【答案】
3
π 【解析】由题意2
2222(2)441443a b
a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅+=r r
r r r r r r r r
，
12a b ⋅=r r ，∴1cos ,2
a b a b a b ⋅=<>=r r r r r r ，1
cos ,2a b <>=r r ，,3a b π<>=r r ．
故答案为：
3
π
． 12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 【答案】1120
【解析】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，
y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪
=-≤⎨⎪-+⎩
，＜，
＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100
∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为1120元．
13．若函数()2,0
1,0
x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则函数()1y f x =-的零点是___________.
【答案】0
或
【解析】要求函数()1y f x =-的零点,
则令
()10y f x =-=,即()1f x =,
又因为：()2
,0
1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩
, ①当0x ≤时,
()x f x e =,
1x e =,解得0x =.
②当0x >时,
()21f x x =-,
211x -=,
解得x =,
所以x .
综上所以,函数
()1y f x =-的零点是0
.
故答案为：0
14．已知抛物线2
2y px =的焦点与双曲线2
214
x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准
线方程为___________. 【答案】(2,0)
2x =-；
【解析】由题可知：双曲线2
214
x y -=的右顶点坐标为()2,0
所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =-
故答案为：(2,0)；2x =-
15．如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，90ABC ∠=o ，BA BC =，球心O 到平面ABC 的距离是
32
，则B 、C 两点的球面距离是______．
【答案】π
【解析】由已知，AC 是小圆的直径．
所以过球心O 作小圆的垂线，垂足O'是AC 的中点．223232O'C (3)(
)22
=
-=
，2， ∴BC=3，即BC=OB=OC ．∴∠BOC=3
π
， 则B 、C 两点的球面距离=3
π
×3=π． 四、解答题
16．已知在ABC ∆中，2a =，2b =
①π
4
A =
；②B A >；③sin sin B A <；④4c =. （1）直接写出所有可能满足的条件序号； （2）在（1）的条件下，求B 及c 的值. 【解析】（1）①，③.
（2）由sin sin a b A B
=，可得22
sin 4
π=
2
22142sin 2
2
2B π
∴=
=
=
226
a b A B B π
=>=⇒>⇒=
Q
22222222cos 2(2)222
a b c bc A c c =+-⇒=+-⨯⨯⨯
由 解得31c =
+或31c =-+（舍）.
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面CDP ，M 为线段PD 的中点，且
2PA PD ==.
（1）求证：//PB 平面ACM ；
（2）求平面PAC 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值. 【解析】(1)连接BD 交AC 于O ，连接OM ， 因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点， 又因为M 为线段PD 的中点，所以//OM PB ， 因为OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ， 所以//PB 平面ACM ；
(2) 以P 为原点，以向量,PC PA →
→
所在直线为,x z 轴， 过P 作PC 的垂线为y 轴建立空间直角坐标系（如图）
则()()0,0,0,0,0,2P
A ,
因为2PA PD ==，所以22AD CD ==，4,23AC PC ==
则()
C
，
在PCD V
中：2,CD PD PC ===
,,033D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， 又因为M 为线段PD
的中点，所以M ⎫
⎪⎪⎝⎭
， 设平面MAC 的法向量为()1,,n x y z →
=，则
1
1·0·
0n AC n CM ⎧=⎪⎨=⎪⎩u v u u u v u v u u u u v
即20
0z x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩令2x =
，则=y
z =
即(1
n →
=，
又因为平面PAC 的法向量()2
0,1,0n
→=，
设平面PAC 与平面MAC 所成锐二面角为θ，
则1212
cos 33n n n n θ→
→
→
→
=
=
==⋅g ，
所以平面PAC 与平面MAC
18．某苗木基地常年供应多种规格的优质树苗.为更好地销售树苗，建设生态文明家乡和美好家园，基地积极主动地联系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别23
、p
、1p -，且基地是否得到三家公司的购买合同是相互独立的.
（1）若公司甲计划与基地签订300棵银杏实生苗的销售合同，每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后，每棵树苗当年的成活率都为0.9，对当年没有成活的树苗，第二年需再补种1棵.现公司甲为苗木基地提供了两种售后方案，
方案一：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地需提供一年一次，共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元；
方案二：公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行负责.
若基地首次运送方案一的300棵树苗及方案二的360棵树苗的运费及栽种费用合计都为1600元，试估算两种方案下苗木基地的合同收益分别是多少？
（2）记ξ为该基地得到三家公司购买合同的个数，若1
(0)12
P ξ
==
，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ. 【解析】(1)方案一、每棵银杏实生苗的价格为90元，栽种后， 且每棵树苗当年的成活率都为0.9，基地需提供一年一次， 共计两年的补种服务，且每次补种人工及运输费用平均为800元， 则苗木基地的合同收益为：
300903000.1908003000.10.190800160026770⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯--=（元）； 方案二、公司甲购买300棵银杏树苗后，基地一次性地多给公司甲60棵树苗， 后期的移栽培育工作由公司甲自行负责，
则苗木基地的合同收益为：30090160025400⨯-=（元） (2)记ξ为该基地得到三家公司购买合同的个数， 且公司甲、乙、丙的购买合同的概率分别
23
、p
、1p -， 所以()()()()211(0)111113312P p p p p ξ
⎛⎫
==-⨯-⨯--=⨯-⨯= ⎪⎝⎭
，
解得：1
2
p =
， ξ可取值为0、1、2、3，则 1
(0)12
P ξ==
，2111111114(1)32232232212P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
2112111115
(2)32232232212P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
2112
(3)32212
P ξ==⨯⨯=，
则随机变量ξ的分布列为
数学期望2205()012312121212123
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯==
19．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>经过定点E ⎛ ⎝⎭
，其左右集点分别为1F ，2F 且
12EF EF +=2F 且与坐标轴不垂直的直线l 与椭圈交于P ，Q 两点.
（1）求椭圆C 的方程：
（2）若O 为坐标原点，在线段2OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）∵点E
在椭圆上，且12EF EF +=
∴2a =
，a =
又∵
定点2E ⎛ ⎝⎭
在椭圆上，∴2211
12a b +=，
∴1b =，
∴椭圆C 的方程为：2
212
x y +=；
（2）假设存在点(,0)M m 满足条件，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为：
(1)y k x =-，
联立方程22
(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222
(12)4220k x k x k +-+-=， ∴21224k 12k x x +=+，2122
2212k x x k
-=+，2
880k =+>△， 又()11,MP x m y =-u u u r ，()22,MQ x m y =-u u u u r
，()2121,PQ x x y y =--u u u r ， ∴()12122,MP MQ x x m y y +=+-+u u u r u u u u r
，
由题意知.21211221(2)()(())()x x m x x MP MQ PQ y y y y =+--++-+⋅u u u r u u u u r u u u r
212112(2)()()0x x m x x y y =+--+=，
∵12x x ≠，∴21122()0x x m k y y +-++=， 即()22
112220x x m k x x +-++-=，
则22
222
442201212k k m k k k ⎛⎫-+-= ⎪++⎝⎭
， ∴2
012m
k
m =
->，
∴1
02
m <<，
故存在点(,0)M m ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，m 的取值范围为10,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 20．设函数
()cos x f x ae x =+，其中a R ∈．
（Ⅰ）已知函数
()f x 为偶函数，求a 的值；
（Ⅱ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；
（Ⅲ）若
()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）函数()y f x =为偶函数，所以()()f x f x -=，即()cos cos x x ae x ae x -+-=+，
整理得(
)0x x
a e e
--=对任意的x ∈R 恒成立，0a ∴=；
（Ⅱ）当1a =时，
()cos x f x e x =+，则()sin x f x e x '=-，
0x Q >，则e 1x >，1sin 1x -≤≤，()sin 0x
f x e x '∴=->，
所以，函数
()cos x f x e x =+在()0,∞+上单调递增，
∴当0x >时，()()02f x f >=；
（Ⅲ）由
()cos 0x f x ae x =+=，得cos x
x a e =-
，设函数()
cos x x
h x e =-，[]0,x π∈， 则(
)sin cos 4x x
x x x h x e e π⎛
⎫+ ⎪+⎝⎭'==，令()0h x '=，得34
x π
=．
随着x 变化，()h x '与()h
x 的变化情况如下表所示：
所以，函数
()y h x =在30,
4π
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在3,4ππ⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递减． 又因为()01h
=-，()h e
π
π-=，3344
2h e
π
π-⎛⎫= ⎪⎝
⎭，且()340h e h π
⎛⎫
> ⎪⎝
⎭
，如下图所示：
所以，当34
2,2a e e π
π--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭
时，方程cos x x
a e =-在区间[]0,π内有两个不同解， 因此，所求实数a 的取值范围为34
22e ππ--⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
． 21．已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，1
3n n n a
S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .
（Ⅰ）求证：数列
{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；
（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1
,2
n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以
写成p t （t ，
*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若
存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
【解析】（I ）13n n n a S +=+，*
11323,n n n n n n n S S S S S n N ++-=+⇒=+∈.由于3n
n n b S =-，当3a ≠时，
11113233233n n n n n n n n
n n n b S S b S S ++++-+-===--，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =-=-，()1
32n n
b a -=-⨯. （II ）由（I ）得()1332n n n
n b S a -=-=-⨯，
()1332n n n S a -=+-⨯()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N ---=-=⨯+-⨯≥∈，所以()12
,12332,2
n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩.因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a --=⨯+-⨯，()112332n n n a a -+=⨯+-⨯，而1n n a a +≥，所以10n n a a +-≥，即
()()12123322332n n n n a a ---⎡⎤⨯+-⨯-⨯+-⨯⎣⎦()12
43320n n a --=⨯+-⨯≥，化简得
1
1243338322n n n a ----⨯⎛⎫≥+=-⨯+ ⎪
⎝⎭，由于当2n ≥时，1
3832n -⎛⎫
-⨯+ ⎪
⎝⎭
单调递减，最大值为
21
38312392-⎛⎫-⨯+=-+=- ⎪
⎝⎭
，所以
9a ≥-，又3a ≠，所以a 的最小值为9-.
（III ）由（I ）当4a =时，1
2
n n
b -=，当2n ≥时，()1212324232112
n n n n
C
+⨯-=++++=+
=+-L .13
C =也符合上式，所以对正整数n 都有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+-=，（*,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能
是不小于3的奇数.
①当p 为偶数时，221112p p
p
n
t t t ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，由于21p t +和2
1p t -都是大于1的正整数，所以存在正整数
,g h ，使得2212,12p
p
g h t t +=-=，()222,2212g h h g h --=-=，所以22h =，且
2121,2g h h g --=⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；
② 当p 为奇数时，()()
21
111p p t t t t t --=-++++L ，由于211p t t t -++++L 是p 个奇数之和，仍为奇数，
又1t -为正偶数，所以()(
)2
1
112p n
t t t t
--++++=L 不成立，此时没“指数型和”.
综上所述，
{}n C 中的项存在“指数型和”，为3
C .。