[推荐学习]高三数学上学期第五次调研考试试题 理

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望城一中2015年下学期高三第五次调研考试试卷
理科数学
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.
1．设集合{}
{}{}2
,,2,
2,4,4,A a a B A B a =-=⋂==则（ ）
A ．2
B ．2-
C ．4
D 2.设复数)
1(2i i
z +=
,则z 的虚部是( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1
3．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,1-上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列推理过程是演绎推理的是( ) A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人
C ．两条直线平行，同位角相等；若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠
D ．在数列{}n a 中，12a =，121(2)n n a a n -=+≥，由此归纳出{}
n a 的通项公式
6．设x ∈R ，向量),2(
x a =，)2,
3(-=b 且b a ⊥=( )
A ．5
B ． D ．6
7．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，， 则=++987a a a ( )
A. 81
B. 81-
C. 857
D. 8
55
8．如图所示，程序框图的输出值S =（ ）
A 、15
B 、22
C 、24
D 、28
9．高三6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ）
A ．2454C A
B ．2456
C C ．2454
A A D ．24
56A
10.如果23
2()n
x x -的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 （ ） A ．3 B ．5
C ．6
D ．10
11
, 1A 、2A 是实轴顶点,F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，
若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得12i P A A ∆(1,2)i =构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．)21
6,
2(+ B
．12,)2+ C ．)
2
16,1(+ D
．1(,)2++∞
12．已知函数2|log |,02
()sin(),2104
x x f x x x π
<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则
3412
(2)(2)
x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）
A ．(0,12)
B ．(4,16)
C ．(9,21)
D ．(15,25)
二、填空题（每题5分，满分20分） 13．
3
2 0
|1|x dx -=⎰
．
14．已知随机变量ξ服从正态分布)4,1(N ，若2.0)4(=>ξp ，则=≤≤-)42(ξp ________．
15．设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则
23
a b
+的最小值为（ ）
16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22
2
12n n S a ma n
+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都
成立，则实数m 的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,， 且B C A C A 2
2
2
sin sin sin sin sin =-+.
①求角B 的大小； ②求)cos(cos 22C A A -+的取值范围.
18．（本小题满分12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50
(1)求b a ,;
(2)若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望．
19．（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝6，O 为AC ，BD 的交点．将
四边形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B －ACD ，且BD ＝
（Ⅰ）若M 点是BC 的中点，求证：OM ∥平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A －BD －O 的余弦值．
20．已知1F 、2F 为椭圆E 的左右焦点，点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
为其上一点，且有1PF 24PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A 、B 两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值.
21．（本小题满分12分）已知函数)(ln 1)(R a x ax x f ∈--=．（1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对2)(),,0(-≥+∞∈∀bx x f x 恒成立，
求实数b 的取值范围；
（3）当1->>e y x 时，求证：.)
1ln()
1ln(++>
-y x e
y
x
请考生在第22,23,24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲
如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；
（2）若F 2A =，CF =AE 的长．
23．（本小题满分10分）选修4--4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程为：01sin 4cos 22=++-θρθρρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点)1,1(-P 且倾斜角为π3
2． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PB PA ⋅的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()|2|f x x =-．
（Ⅰ）解不等式()30xf x +>；
（Ⅱ）对于任意的(3,3)x ∈-，不等式()f x m x <-恒成立，求m 的取值范围．
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2016届望城区一中高三期末数学试卷（理科）
（满分150分，时间120分钟）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.
1．设集合{}
{}{}2
,,2,
2,4,4,A a a B A B a =-=⋂==则（ C ）
A ．2
B ．2-
C ．4
D 2.设复数)
1(2i i
z +=
,则z 的虚部是( D ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1
3．“4a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,1-上存在零点”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ B ）A ．
B ．
C ．
D ． 5．下列推理过程是演绎推理的是( C )
A ．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质
B ．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人
C ．两条直线平行，同位角相等；若A ∠与B ∠是两条平行直线的同位角，则A B ∠=∠
D ．在数列{}n a 中，12a =，121(2)n n a a n -=+≥，由此归纳出{
}n a 的通项公式 6．设x ∈R ，向量),2(
x =，)2,
3(-=且⊥=( B )
A ．5
B
C ．
D ．6
7．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，， 则=++987a a a ( A )
A. 81
B. 81-
C. 857
D. 8
55
8．如图所示，程序框图的输出值S =（ C ）
A 、15
B 、22
C 、24
D 、28
9．高三6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点，且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ D ）
A ．2454C A
B ．2456
C C ．2454
A A D ．24
56A
10.如果232()n
x x
-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 （ B ） A ．3
B ．5
C ．6
D ．10
11
, 1A 、2A 是实轴顶点,F 是右焦点，),0(b B 是虚轴端点，
若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2),i P i =使得12i P A A ∆(1,2)i =构成以21A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( B ) A ．)21
6,
2(+ B
．12,
)2
+ C ．)216,1(+ D
．1(,)2++∞ 12．已知函数2|log |,02
()sin(),2104
x x f x x x π
<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则
3412
(2)(2)
x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ A ）
A ．(0,12)
B ．(4,16)
C ．(9,21)
D ．(15,25)
二、填空题（每题5分，满分20分） 13．
3
2 0
|1|x dx -=⎰
．
【答案】
3
22 14．已知随机变量ξ服从正态分布)4,1(N ，若2.0)4(=>ξp ，则=≤≤-)42(ξp ________． 【答案】6.0
15．设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则
23
a b
+的最小值为（ ）
【答案】5
16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22
2
12n n S a ma n
+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都
成立，则实数m 的最大值为 ． 【答案】1
5
三、解答题 （本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,， 且B C A C A 2
2
2
sin sin sin sin sin =-+.
①求角B 的大小； ②求)cos(cos 22C A A -+的取值范围.
18．（本小题满分12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：
(1)求b a ,;
(2)若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．已知每吨该商品的销售利润为2千元，X 表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X 的分布列和数学期望． 0.3=0.37
P （x=7）=2×0.5×0.3=0.3 P （x=8）=0.32=0.09
E ξ=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2（千元）． 【答案】（1）a=0.5,b=0.3（2）() 6.2E X =，
19．（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝6，O 为AC ，BD 的交点．将
四边形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B －ACD ，且BD ＝ （Ⅰ）若M 点是BC 的中点，求证：
OM ∥平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A －BD －O
的余弦值．
令1x =
，则
y z ==n =(1.…………………………（9分） 因为,AC OB AC OD ⊥⊥,,OB
OD O =所以AC ⊥平面BOD .
平面BOD 的法向量与AC 平行，
不妨取平面BOD 的一个法向量为0(1
,0,0)=n ，
则000cos ,||||7
⋅=
==
n n n n n n ，
又二面角A BD O --是锐二面角，
所以二面角A BD O --.……………………………………（12分） 20．已知1F 、2F 为椭圆E 的左右焦点，点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
为其上一点，且有1PF 24PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A 、B 两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值.
（I ）设椭圆
的标准方程为
由已知
得
，
……………………2分
又点在椭圆上，
椭圆的标准方程为 ……………………4分
（II ）由题意可知，四边形为平行四边形 =4
设直线
的方程为
，且
由得
……………………6分
=+==
== …………………………8分
令，则 ==，……… 10分
又在上单调递增
的最大值为
所以
的最大值为6. ………………………………12分?
【答案】（1）22
143
x y +=；（2）6. 21．（本小题满分12分）已知函数)(ln 1)(R a x ax x f ∈--=． （1）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；
（2）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对2)(),,0(-≥+∞∈∀bx x f x 恒成立， 求实数b 的取值范围；
（3）当1->>e y x 时，求证：.)
1ln()
1ln(++>
-y x e
y
x
21.解：（1）， 当时，在
上恒成立，
函数
在
单调递减，∴
在
上没有极值点；
当时，得，得，
∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．
∴当时在上没有极值点，
当
时，
在
上有一个极值点． …………4分
（3）证明：， 令，则只要证明在上单调递增，………9分 又∵， 显然函数在上单调递增． ∴，即， ∴在上单调递增，即， ∴当时，有． ………………12分
22．（本小题满分10分）
如图，已知圆O 是C ∆AB 的外接圆，C AB =B ，D A 是C B 边上的高，
AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：C C D A ⋅B =A ⋅AE ；
（2）若F 2A =，CF =AE 的长．
23．已知曲线C 的极坐标方程为：01sin 4cos 22=++-θρθρρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点)1,1(-P 且倾斜角为π3
2．
（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求PB PA ⋅的值．
【答案】（1）22()(12)4x y -++＝；（2）9
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()|2|f x x =-．
（Ⅰ）解不等式()30xf x +>；
（Ⅱ）对于任意的(3,3)x ∈-，不等式()f x m x <-恒成立，求m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）=|x-2|，
∴xf （x ）+3＞0⇔x|x-2|+3＞0⇔①或
②， 解①得：-1＜x ≤2，
解②得x ＞2，
∴不等式xf （x ）+3＞0的解集为：（-1，+∞）；
（2）f （x ）＜m-|x|⇔f （x ）+|x|＜m ，即|x-2|+|x|＜m ，
设g （x ）=|x-2|+|x|（-3＜x ＜3），
则，
g （x ）在（-3，0]上单调递减，2≤g （x ）＜8；
g （x ）在（2，3）上单调递增，2＜g （x ）＜4
∴在（-3，3）上有2≤g（x）＜8，
故m≥8时不等式f（x）＜m-|x|在（-3，3）上恒成立．
m≥.
【答案】（Ⅰ）（－1，+∞）；（Ⅱ）8。