江西省师大附中、鹰潭一中2014届高三5月联考(数学文)解析版

江西师大附中 鹰潭一中重点中学
联考高三联考数学（文科）试卷
命题人： 黄润华 汪群红 【试卷综析】本试卷继续遵循了新课程高考方案的基本思想，试卷结构稳定，突出双基，重视能力，知识点广，容易上手，难度递增，区分提升，利于选拔，各种层次考生可以充分展
现自己的真实能力。

首先考卷的结构基本是不变的，10个客观题5个填空题加6个主观题，6个主观题主要是考查三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、数列、导数、函数这些东西。

然后从整体上看，本试卷更侧重于对重点模块的考察，这让大家也感觉比较舒服一些，因为毕竟平时的时候大家把更多的精力都放在这些重点模块上。

试题重点突出，层次分明，
逐步深入，使学生解题入手容易，心理状态平和，正常发挥能力，自我满意程度提高。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内.
1．已知21,e e 是夹角为3
2π的两个单位向量，若向量2123e e a -=，则=⋅1e a A ．2 B ．4 C ．5 D ．7
【知识点】两个向量的数量积;单位向量的概念．
【答案解析】 B 解析 ()211211123232a e e e e e e e =-=-232cos 3
π=-314+=,答案B 正确．
【思路点拨】求解两个向量的数量积等于两个向量的模长之积再乘以其夹角的余弦值.
2．已知集合{}
0122≥--=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==2)1()13ln(2x y x B x ，则=B A A ．)1,0( B ．]1,0( C ．),1(+∞ D ．),1[+∞
【知识点】一元二次不等式的解法;函数的定义域;集合的交集运算．
【答案解析】 C 解析
足的条件为
【思路点拨】先求出A 、B 集合，再求它们的交集.
3．已知i 为虚数单位，R a ∈，若i
a i +-2为纯虚数，则复数i a z 2)12(++=的模等于 A ．2 B ．3 C ．6 D ．11
【知识点】复数纯虚数的概念;复数的除法;复数的模长．
【答案解析】 C 解析
【思路点拨】a 的值,把a 的值代入z 中用模长公式求出它的模长即可.
4．已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S A ．2014- B ．1007- C ．1007 D ．2014
【知识点】根与系数的关系;等差数列的性质;等差数列的前n 项和公式．
【答案解析】 D 解析 ：解：因为20132,a a 是方程0222
=--x x 的两根,则12014220132014()2014()201422
a a a a ++== 【思路点拨】由根与系数的关系求得2a +2013a =2,由等差数列的性质得
1201422013a a a a +=+,再用等差数列的前n . 5．已知命题:p 直线4
π-=x 是曲线1)43sin(2)(++=π
x x f 的对称轴；命题:q 抛物线 24x y =的准线方程为.1-=x 则下列命题是真命题的是
A ．p 且q
B ．p 且q ⌝
C ．p ⌝且q
D ．p ⌝或q
【知识点】简单的逻辑联结词;三角函数的对称轴;抛物线的准线方程．
【答案解析】 B 解析 ：解：令3,42x k k Z πππ+=+∈,解得4,3k x ππ+=
当1k =-时, 4x π
=-,命题p 是真命题；抛物线化为标准方程为214x y =，准线方程是116
y =-,命题q 是假命题,q ⌝是真命题,答案B 正确．
【思路点拨】先分别判断出命题p 、q 的真假,再判断由逻辑联结词构成的复合命题的真假.
6．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函
数：①x x x f cos sin )(=，②22sin 2)(+=x x f ，③)4sin(2)(π
+=x x f ，
④x x x f cos 3sin )(-=，其中属于“同簇函数”的是
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
【知识点】三角函数中的恒等变换应用;函数的图象与图象变化;函数y=Asin （ωx+φ）的图象
变换．
【答案解析】 D 解析 ：解：①1()sin 22f x x =
,振幅为12.②()2sin 22f x x =+,振幅为2.③()2sin()4f x x π=+,振幅为2.④()sin 3cos 2sin()3f x x x x π
=-=- 振幅为2.根据“同簇函数”的定义可知，两个函数的振幅必须相同，通过平移之
后图象才能进行重合．
故只有③④是“同簇函数,答案D 正确．
【思路点拨】根据三角函数的关系将三角函数进行化简，结合“同簇函数”的定义
进行判断即可.
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．316
B ．3
32 C ．16 D ．32 【知识点】由三视图求面积、体积．
【答案解析】 A 解析 ：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底
面垂直，高为2，四棱锥的底面是对角线长为4的正方形，
【思路点拨】几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，由三视图判断四棱锥的高为4，底面是对角线长为4的正方形，求出正方形的边长，把数据代入棱锥的体积公式计算.
8．已知双曲线)0(13222>=-b b
y x 的左、右焦点分别为21,F F ，其一条渐近线方程为 x y 2=，点P 在该双曲线上，且821=⋅PF PF ，则=∆21F PF S
A ．4
B ．64
C ．8 D
．212
【知识点】渐近线方程;余弦定理;三角形的面积公式．
【答案解析】 D 解析 ：解：由渐近线方程可求得b =则3c =.设向量1PF 与2PF 的夹角为θ,1212cos 8PF PF PF PF θ==(1),在三角形12PF F 中,由余弦定理得 222
12124cos 2PF PF c PF PF θ+-=(2),由双曲线的定义的1223PF PF -
=联立三式得 1220PF PF
=,sin 5θ=,12121sin 2
PF F S PF PF θ== 【思路点拨】先求出b,c 的值,再由向量的数量积、余弦定理和双曲线的定义求出两个向量的模的积和正弦值，最后由面积公式求的即可.
9．已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，2
1)(<'x f 恒成立，则 不等式22
lg 1(lg )22x f x <+的解集为 A ．1(0,)10 B ．1(0,)(10,)10+∞ C ．1(,10)10
D
．(10,)+∞
【答案解析】 B 解析
()f x '- 102<,所以()g x 时减函数,又(1)1f =,所以1(1)2
g =.222lg 1(lg )(lg )22x g x f x =-< (1)g =,即22
lg 1(lg )22x f x <+,所以2lg 1x >,解得1010x <<或10x >,答案B 正确． 【思路点拨】设1()(),2g x f x x =-由1()2
f x '<得()0
g x '<是减函数,将所求不等式变形后,利用()g x 时减函数求出x 的范围.
10．如图所示几何体中，AB ∥CD ∥EG ，
90=∠ABC ， AB EG CD 2
1==，平面⊥BCEF 平面ABCD ，点M 为侧面BCEF 内的一个动点，若点M 到直线EG 的距离
与到平面ABCD 的距离相等，则点M 在侧面BCEF 内的
轨迹是
A ．一条线段
B ．圆的一部分
C ．抛物线的一部分
D ．椭圆的一部分
【知识点】轨迹方程;圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案解析】 C 解析 ：解：∵∠ABC=90°，平面BCEF ⊥平面ABCD ，
∴AB ⊥平面BCEF ，∵AB ∥EG ，∴EG ⊥平面BCEF ，∵EM ⊂平面BCEF ，
∴EG ⊥EM ，即ME 为点M 到直线EG 的距离，∵点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，∴M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，∴点M 在侧面BCEF 内的轨迹是抛物线的一部分．
【思路点拨】先证明EG ⊥平面BCEF ，可得ME 为点M 到直线EG 的距离，由点M 到直线EG 的距离与到平面ABCD 的距离相等，可得M 到定点E 的距离等于M 到直线BC 的距离，利用抛物线的定义，即可得出结论.
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上.
11．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()232x f x x m =-+（m 为实常数），
则(1)f = .
【知识点】奇函数的定义和性质．
【思路点拨】先求出m 的值,再利用奇函数的性质得到(1)(1)f f =--,解得即可.
12．已知点),(y x P 是满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->-≥+42244x y x y x 的区域内的动点，则12++x y 的取值范围是 . 【知识点】简单的线性规划;斜率的坐标公式． 【答案解析】 2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
解析 ：解：其可行域如下图所示,设21y k x +=+,由图象可知 当过点(4,0)时min 25
k =,当过点(0,1)时max 3k =,又因为可行域不含(0,1)点,所以取值范围是2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【思路点拨】画出可行域,由所求式子的可知是定点与可行域内点的斜率的取值范围.
13．如图是某算法的程序框图，当输出的结果100>T 时，整数s
的最小值是 .
【答案解析】5 解析 ：解：k=2,T=2;k=3,T=11;k=4,T=92;k=5,T>100,所以整数s 的
最小值为5.
【思路点拨】根据框图依次写出每次循环的k 、T 的结果.
14．已知x 是7,6,5,,3,2,1x 这七个数据的中位数，且y x -,,2,12
这四个数据的平均数为1， 则x y 1-的最小值为 ． 【知识点】中位数的意义;平均数的意义;最值求法．
【答案解析】233 解析 ：解：根据题意235124
x x y ≤≤⎧⎨++-=⎩,所以2111y x x x -=-- 在[]3,5上是增函数,当3x =时有最小值
233． 【思路点拨】由题意得到x 、y 的关系式，在求最小值时把y 用x 换掉,再利用函数的单调性即可求出最小值.
15．已知偶函数)(x f 满足()(2)0f x f x -+=，且当]1,0[∈x 时，x
e x x
f ⋅=)(，若在 区间]3,1[-内，函数k kx x f x
g 2)()(--=有且仅有3个零点，则实数k 的取值范 围是 .
【知识点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．
【答案解析】(,)53
e e
解析 ：解：∵f （x ）-f （x+2）=0， ∴f （x ）=f （x+2），即函数的周期是2， ∵当x ∈[0，1]时，f （x ）=x •e x ，∴根据增函数的性质可知，此时函数f （x ）单调递增，且f （0）=0，f （1）=e ，∴当x ∈[-1，0]时，f （x ）=f （-x ）=-x •e -x ，由g （x ）=f （x ）-kx-2k=0，得到f （x ）=k （x+2），作出两个函数f （x ）和g （x ）=k （x+2）在[-1，3]的图象，由图象可知当x=1时，f （1）=e ，
当x=3时，f （3）=f （1）=e ，即B （1，e ），C （3，e ），当直线y=k （x+2）经
∴要想使函数g （x ）=f （x ）-kx-2k 有且仅有3个零点，则直线应该位于直线AB
【思路点拨】由f （x ）-f （x+2）=0得f （x ）=f （x+2），得到函数的周期是2，由g （x ）=f （x ）-kx-2k=0，得到f （x ）=k （x+2），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
先将函数)2
32cos()(π
+
=x x f 的图象上所有的点都向右平移12π个单位，再把所有
的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象. （1）求函数)(x g 的解析式和单调递减区间； （2）若A 为三角形的内角，且3
1
)(=
A g ，求)2(A f 的值.
【知识点】诱导公式;三角函数图象的变换;三角函数单调区间的求法;两角的和与差公式．
【答案解析】 解析 ：(1）x x x f 2sin )2
32cos()(=+
=π
，∴依题意，
有)6sin()(π-=x x g ， 由ππ
πππk x k 22
3622+≤
-≤+得：ππππk x k 235232+≤≤+，.Z k ∈ )6sin()(π-=∴x x g ，且它的单调递减区间为).](23
5,232[
Z k k k ∈++ππ
ππ ………………………………………………………………6分
（2）由（1）知，3
1)6sin()(=-
=π
A A g ， π<<A 0 ， 6566πππ<-<-∴A ， 又2
1
31)6sin(0<=-<πA ，
2
60π
π<-<∴A ， .322)6cos(=
-∴πA ∴.6
3
22213222331]6)6sin[(sin )2(+=⨯+⨯
=+-==ππA A A f ………………………………………………………………12分．
【思路点拨】利用诱导公式化简函数f(x),根据平移变换和伸缩变换得到函数g(x)的解析式，再利用正弦函数的递减区间求得函数g(x)的减区间；利用（1）的结论求得sin()6
A π
-
和
cos()6
A π
-的值，再利用两角的和与差公式求得即可. 17．（本小题满分12分）
某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标φ划分为：5.7≥φ为正品，5.7<φ为 次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数 据的平均数相等，方差也相等． （1）求表格中x 与y 的值；
（2）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求取出的2件都为正品的概率． 【知识点】平均数和方差的计算公式;基本事件;古典概型的应用．
17.【答案解析】 解析 ：(1) 8)5.995.777(5
1
=++++=
A x ，)5.85.86(5
1
y x x B ++++=，
∴由B A x x =得：17x y += ①，又1.1)25.2125.011(5
1
2
=++++=
A s ， ])8(25.025.0)8(4[5
1
222
-+++-+=
y x s B ，
∴由2
2
B A s s =得：
2
2
8+8=1x y --（）（）． ② 由①②及y x <解得：8,9x y ==． …………………………6分
（2）记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:),,(),,(),,(413121B B B B B B
).,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(54534352423251B B B B B B B B B B B B B B
记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：
),,(),,(),,(),,(),,(),,(545343524232B B B B B B B B B B B B
∴63
()105
P C ==，即2件都为正品的概率为35. …………………………12分．
【思路点拨】利用平均数和方差的定义获得关于x 、y 的方程组，求出x 、y 的值;用列举法求出满足题意的概率.
18．（本小题满分12分）
已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
90=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，
M 是BC 边的中点，F E ,分别是,AB CD 上的点，且EF ∥BC ，设x AE =． 如图，沿EF 将四边形AEFD 折起，使平面AEFD ⊥平面.EBCF （1）当2=x 时，求证：EM BD ⊥； （2）当x 变化时，求四棱锥BCFE D - 的体积)(x f 的函数式．
【知识点】面面垂直的性质;线面垂直的判定及性质;锥体的体积公式.
【答案解析】 解析 ：（1）证明：如图，作EF DH ⊥于H ，连结EM MH BH ,,， 平面⊥AEFD 平面EBCF ，⊥∴DH 平面EBCF .
又⊂EM 平面EBCF ， .DH EM ⊥∴
BC AD EH 2
1
=
= ，EF ∥BC ， 90=∠EBC ， ∴四边形BMHE 为正方形， .BH EM ⊥∴
⊥∴EM 平面.BDH
又⊂BD 平面BDH ，.BD EM ⊥∴ ………6分
（2）由（1）知，x AE DH ==为四棱锥BCFE D -的高，
x AE = ， x BE -=∴4，x EF 2
1
2+=，
2111
()(24)(4)
2221212.4
BCFE S EF BC BE x x x x ∴=+⋅=++⋅-=--+ .43
2
12131)(23x x x x S x f BCFE +--=⋅=
∴……12分 【思路点拨】利用面面垂直的性质作出DH 垂直EF 于H,易得BMHE 为正方形,所以ME 垂直BH,又DH 垂直EM,所以EM 垂直平面BHD,所以EM 垂直BD;由比例线段易得EF 的长,再用锥体体积公式得函数f(x)的解析式. 19．（本小题满分12分）
已知各项均为正数的等比数列{}n a 的首项21=a ，n S 为其前n 项和，若1325,,3S S S 成等差数列．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 2log =，1
2
+=
n n n b b c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T . 若对于任意的 *
N n ∈，)4(+≤n T n λ恒成立，求实数λ的取值范围.
【知识点】等差、等比数列求解基本量；裂项相消法求和；基本不等式.
【答案解析】（1）2n n a =；（2）).,9
2[+∞
解析 ：解：（1）设{}n a 的公比为q .∵2313,,5S S S 成等差数列，.352213S S S +=∴
即)(35)(21112
111q a a a q a q a a ++=++，化简得0622
=--q q ，
解得：2=q 或.2
3
-
=q 由已知，.2=q .2n n a =∴ ……………6分 （2）由n n a b 2log =得.2log 2n b n n ==
).1
1
1(2)1(221+-=+==
∴+n n n n b b c n n n ).1
1
1(2)1113121211(2+-=+-
++-+-=∴n n n T n …………9分 542
)4)(1(2)4(++=
++≥⇔+≤∴n
n n n n n T n λλ 954254=+⋅≥++n n n n ，当且仅当n
n 4
=即2=n 时等号成立，
.92
542≤++∴
n
n ∴实数λ的取值范围是).,92[+∞ ………12分 【思路点拨】（1）先通过2313,,5S S S 成等差数列，解得q,然后写出通项.（2）先用裂项相消法求和n T ，然后利用基本不等式即可. 20．（本小题满分13分）
已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++
恒过的定点F 为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点的最大距离为3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．
①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值．
【知识点】直线恒过定点的问题；椭圆方程的求法；根与系数的关系；基本不等式.
【答案解析】 （1）.13422=+y x （2）①略；②9
2
解析 ：解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ， 由⎩
⎨
⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01
y x ，
)0,1(F ∴， 1=∴c ， 又3=+c a ， 2=∴a ，.32
2
2
=-=∴c a b
∴椭圆的方程为.13
42
2=+y x ………………………5分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，则可设),(),,(t s N t s M -，且.12432
2=+t s
直线MF 的方程为)1(1--=
x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s t y 联立求得交点)523,5285(
---s t
s s S ，代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.12432
2=+t s
∴点S 恒在椭圆C 上. ……………………………9分
②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨
⎧=++=12
4312
2y x my x 得096)43(2
2=-++my y m ，
.4
39
,43622
1221+-=+-=+∴m y y m m y y 2
22212
2112)43(118
4)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST
， 令)1(12
≥+=u m u ，则.6191
)13()43(12
222++=+=++u
u u u m m u u 19+ 在),1[+∞上是增函数， u
u 1
9+∴的最小值为10.
.2
9
4118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………13分
【思路点拨】（1）找出直线恒过的定点，再解椭圆中的基本量.（2）①直线方程联立解出坐标后代入进行整理即可. ②直线方程与椭圆方程联立，找出根与系数的关系后利用基本不等式求出最小值.
21．（本小题满分14分）
设函数2()2(4)ln f x ax a x x =+++． （1）若()f x 在1
4
x =
处的切线与直线40x y +=平行，求a 的值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；
（3）若函数()y f x =的图象与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ， 求证：0()0f x '<．
【知识点】导数的几何意义；两直线平行的充要条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式.
【答案解析】 （1）.6-=a （2）)(x f 的单调递增区间为)1
,0(a -，
递减区间为).,1
(+∞-a
（3）略
解析 ：解：（1）由题知)(x f 的定义域为),0(+∞，且x
x a ax x f 1
)4(4)(2+++='．
又∵)(x f 的图象在4
1
=x 处的切线与直线04=+y x 平行，
∴4)41(-='f ，即.4]14
1
)4(1614[4-=+⨯++⨯a a 解得.6-=a ………4分
（2）x ax x x x a ax x f )1)(14(1)4(4)(2++=
+++='，由0>x ，知x
x 14+>0． ①当0≥a 时，对任意0)(,0>'>x f x ，)(x f 在),0(+∞上单调递增。

②当0<a 时，令0)(='x f ，解得1x a
=-，
当10x a
<<-时，0)(>'x f ，当1x a
>-时，0)(<'x f ，
此时，)(x f 的单调递增区间为)1,0(a
-，递减区间为).,1
(+∞-a …… 9分
（3）不妨设)0,(),0,(21x B x A ，且120x x <<，由（2）知0a <，则
要证0)(<'x f 成立，只需证：01x a >-即
121
2x x a
+>-． ∵()21111()24ln 0f x ax a x x =+++=，()22222()24ln 0f x ax a x x =+++=， 两式相减得：221112222(4)ln 2(4)ln 0ax a x x ax a x x +++--+-=， 即2212121212(22)4()ln ln 0a x x x x x x x x -+-+-+-=，
∴ 2211221122
221
4ln 4ln x x x x a x x x x +---=+--，故只需证2212112211222224ln 4ln x x x x x x x x x x ++-->+--， 即证明()()221212121122()[4ln ln ]4242x x x x x x x x x x +-+-<+--， 即证明12
121222ln ln x x x x x x --<
+，变形为1
12
1
2
2
22ln 1x x x x x x ⋅
-<
+， 设12x t x =(01)t <<，令22
()ln 1
t g t t t -=-
+，则214()(1)g t t t '=-+22(1)(1)t t t -=+， 显然当0>t 时，0)(≥'t g ，当且仅当1=t 时，)(t g '=0， ∴)(t g 在),0(+∞上是增函数． 又∵0)1(=g ，
∴ 当)1,0(∈t 时，()0g t <总成立，命题得证．………………… 14分
【思路点拨】（1）利用导数的几何意义()'
0f
x k =解得a.（2）若判断()'f x 的正负，需用
分类讨论. （3）关键用作差法的思想，借助与导数的意义证明不等式.
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