根轨迹绘制过程中的简便方法探讨

根轨迹绘制过程中的简便方法探讨
作者：崔亚君高峰娟殷磊
来源：《科教导刊》2009年第33期
摘要本文针对自动控制原理的根轨迹绘制过程中出现的特殊情况,从理论上详细证明了这种情况下根轨迹的简便画法,并给出了应用的实例。

关键词自动控制根轨迹圆弧
中图分类号:O1文献标识码:A
1 引言
在经典控制论中对自动控制系统进行性能分析时,常常采用根轨迹法,这是一种利用系统的开还传递函数研究闭环系统性能的图解法,系统的根轨迹图明确建立了系统的参数变化与性能之间的关系,因而无论对于系统灵敏度或抗干扰能力的研究,或是对自适应系统特性的研究,它都是一种恰当的方法。

再者,由于系统零点、极点与系统时域性能指标之间的联系,根轨迹法除了获得系统时间响应的信息外,也是获得系统频率响应信息的有力工具。

但是作根轨迹图时传统方法所依据的十条法则比较繁琐,给系统性能分析带来不便,为此当我们遇到一些特殊情况时,就可以采用特殊的方法绘图,使作图过程简化。

2 问题分析
在利用根轨迹分析问题时常常会遇到这种情况(如图1)所示,系统仅具有两个开环极点和一个开环零点,这时的根轨迹有可能是直线,也有可能是圆弧,可以证明,若根轨迹一旦离开实轴,必然沿着圆弧移动。

证明如下:
设系统的开环传递函数为,零极点分布如图所示。

取非实轴上一点S,若S点在根轨迹上,则应满足相角条件:
图1
若幅角用反正切表示,则:
方程左边用反三角函数得恒等关系得:
方程两边取正切后得:
经过化简后整理得:
方程两边同时加Z2项,则有:
即这是个圆的方程。

圆心(-Z,0)正好在开环零点上,半径为两个极点-P1,-P2到零点距离相乘的平方根
结论:当系统具有(如图1所示)两个开环极点和一个开环零点时,系统在复平面内的根轨迹部分为以零点(-Z,0)为圆心,以两个极点-P1,-P2至零点的距离乘积的平方根R为半径的圆。

同样可以证明,当极点为共轭复根(如图2b所示)时,非实轴的根轨迹为圆弧。

这样我们以后遇到这种情况时,就可直接根据圆心及半径绘出根轨迹,使作图过程得到简化。

3 应用实例
已知系统的开环传递函数为,
试画出系统随K*变化的根轨迹。

解:系统有两个极点和一个零点,分别是P1=0,P2=-2,Z=-4零极点分布如图所示。

实轴根轨迹区间为(-2,0)以及(-∞,-4),非实轴上的根轨迹根据前面得出的结论为以(-4,j0)为圆心,半径R==2.83的圆(如图3所示)。

这样我们就可以很快绘出根轨迹。

当我们用MATLAB绘图时得到了同样的结论。

4 结束语
文中证明了当采用根轨迹分析问题时,系统仅具有两个开环极点和一个开环零点这种特殊情况存在时,绘制根轨迹的简易方法,使在用根轨迹这种图解法分析问题时的作图得到了简化。

参考文献
[1]胡寿松.自动控制原理.北京:国防工业出版社,2008.
[2]高国焱,余文.自动控制原理.广州:华南理工大学出版社,1999.8.
[3]RichardC.Dorf,RobertH.Bishop.现代控制理论.北京:高等教育出版社,2001.6.。