2.2.3_向量数乘运算及其几何意义

a的方向与a的方向相反；当 0， a 0.
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
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(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为 非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。
a
3(2a )
b
3(2a ) = 6 a
3 2 1 3 ①-③得 n 11 a 11 b, m 11 a 11 b
x y
例5 如图所示，已知 OA ' 3OA , A ' B ' 3 AB , 说明 向量 OB 与 OB 的关系．
'
B
'
解： 因为 OB' OA' A' B'
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
N A M B
15
练习
(1).设 a
是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的 是( B ). A. a与 a 的方向相反 C. a a
2
的方向相同 D. a a B. a与 a (2).下列四个说法正确的个数有( C ).
课堂小结：
一、①λ
a 的定义及运算律
(a≠0) 向量a与b共线 b=λa
②向量共线定理
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
AB=λCD AB∥CD
A,B,C三点共线
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
23
作业:
P91 9、12、13
Ｂ Ｄ
解2: 过点B作BE,使 BE AC 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中 点，则D也是AE中点.
Ｃ 由向量加法平行四边形法则有
E
AB AC AE 2 AD 1 AD ( AB AC ) 2
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例6: 如图，在 OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
a 5b 2c
(4)(t1 t 2 )(c b) (t1 t 2 )(c b)
2t1 b 2t 2 c
12
uuu r uuu r 思考2：若存在实数λ ，使 A B = l BC ， 则A、B、C三点的位置关系如何？ uuu r uuu r A B = l BC A、B 、C 共线
A M B D C
5
对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心
6
思考1：如图，设点M为△ ABC 的重心， uuu r uuu r D 为 BC 的中点，那么向量 与 ， BD BC uuu r uuuu r A D与 DM 分别有什么关系？
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对于实数 m和向量a、 b ，恒有m（a b ） ma mb; 对于实数 m、n和向量a，恒有 (m n)a ma na; 若ma mb(m R),则有a b; 若ma na(m、n R), a 0, 则有m n;
A.1个
B.2个
C.3个
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
茂名市一中 高一数学工作室
1
复习1:向量的加法
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a
b a
O. B
o.
a+b A B
a+b
A C
2
复习2:向量的减法
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. b
a
-b
a
b
o.
A B A
o.
a-b
B
3
已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)
解： AE AD DE 3 AB 3 BC
C A B D
14
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。 提示：设AB = a BC = b
1 OB b， 请用 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA a，
a， b表示向量 OC， DC.
B
分析: 解题的关键是建立
OC, OD与a， b
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
b
D
E A
a
C
解：因为A是BC的中点，所以
O
2 2 5 DC OC OD OC OB 2a b b 2a b 3 3 3
A
uuu r 1 uuu r BD = BC 2
M B D C
uuu r uuuu r A D = - 3DM
7
一、向量的数乘运算的定义：
实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下： （1） a a ;
（2） 当 0, a与a 的方向相同；当 0,
AD AB BD
Ａ
1 AB BC 2
1 1 AB ( AC AB ) ( AB BC ) 2 2
（２） 原式左边
Ｂ
Ｄ
Ｃ
AB 2 AB 2BC CA AB 2 AC CA
AB AC 2 AD 右边
所以，所证等式成立
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Ａ
D
C
(2) 在平行四边形ABCD中,AB a, AD b, AN 3NC,M为BC的
1 1 中点,则 MN 等于＿＿＿＿＿＿ a b 4 4
分析:由
1 所以 AN 3NC , 得4 AN 3 AC （ 3 a b） , AM a b, 2 3 1 1 1 MN (a b) (a b) a b 22 4 2 4 4
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1 OA (OB OC ), 即OC 2OA OB 2a b. 2
练习
1 (1) D是ABC 中BC 边上一点，且 BD BC ，设 AB a, AC b, 3 A 则AD等于 （ C ）
1 A. ( a b) 3 1 C. (2a b) 3
1 B. (b a ) 3 1 D. ( 2b a ) B 3
特别地:（ ） a a
a b a b 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 11



例1：计算下列各式
(1)(3) 4a 12a (2)3(a b ) 2(a b ) a 5b
(3)(2a 3b c ) (3a 2b c )
a a O A a B a C -a -a -a
N
M
Q
P
OC OA AB BC a a a 记作 3a
PN PQ QM MN (a) (a) (a) 记作 3a
3a与a的方向相同 3a 3 a
3a与a的方向相反 3a 3 a
4
思考1：如图，设点M为△ ABC 的重心， uuu r uuu r D 为 BC 的中点，那么向量 与 ， BD BC uuu r uuuu r A D与 DM 分别有什么关系？
a
的方向缩短了 倍.
当 1时,沿
1 〈0时， a 的反方向放大了 倍.当〈
沿 a 的反方向缩短了

倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
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三、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a ) ( )a; (2)( )a a a; (3) ( a b ) a b .
a b
a
2a 2b
2b
9
2(a b ) 2a 2b
2a
二、数乘向量的几何意义：
a
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 向放大了 倍.当〈 沿 0 〈 1时，
方向放大或缩短.若 a 0 ,当 1时，沿 a 的方
D.4个
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例4 : 若
3m 2n a
其中a ,
b
m 3n b 是已知向量,求 m ， n
分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过 解方程组获得
解：记 3m 2n
a ①， m 3n b
②
2 1 a b, 5 5 2 1 b a 5 5
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3②得 3m 9n 3b ③
思考3：如图，若P为AB的中点，则 uuu r uuu uuu r r OP 与 OA 、OB 的关系如何？
O
r uuu uuu r 1 uuu r OP = (OA + OB ) 2
A
P B
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定理 向量
b
与非零向量
a
共线
有且仅有一个实数 ，使得
b a．
E
例2.如图：已知 AD 3 AB ， DE 3BC ， 试判断 AC 与 AE 是否共线．
B
3OA 3 AB
3(OA AB)
o A
A
'

3OB 所以， OB' 与OB 共线同方向，长度是OB 的3倍 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?
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练习
1. 在ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
解：因为
1 (1) AD ( AB AC ) (2)3AB 2BC CA 2 AD 2