常州市“教学研究合作联盟”2020-2021学年高二上学期期中考试 数学试题(含答案)

常州市“教学研究合作联盟”2020-2021学年高二上学期期中考试
数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1.“∀x>0，2x>sinx”的否定是
A.∀x>0，2x<sinx
B.∀x>0，2x≤sinx
C.∃x0≤0，2x≤sinx0
D.∃x0>0，2x0≤sinx0
2.不等式5x
x3
-
+
≥0的解集为
A.(－∞，－3]∪[5，＋∞)
B.[－3，5]
C.(－∞，－3)∪[5，＋∞)
D.(－3，5]
3.设a∈R，则“a<1”是“a2<1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
4.观察数列1，ln2，sin3，4，ln5，sin6，7，ln8，sin9……则该数列的第23项等于
A.sin21
B.ln20
C.sin24
D.ln23
5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百一十六，借问大儿多少岁，各儿岁数要谁推。

这位公公年龄最大的儿子年龄为
A.9岁
B.12岁
C.21岁
D.36岁
6.不等式(a2－9)x2＋(a＋3)x－1≥0的解集是空集，则实数a的范围为
A.(－3，9
5
) B.[－3，
9
5
) C.[－3，
9
5
] D.[－3，
9
5
)∪{3}
7.己知实数a，b满足ab>0，则
2a a
2a b a2b
-
++
的最大值为
A.3
2
B.
1
4
C.
1
3
D.
2
3
8.已知函数f(x)＝x－e
2
＋ln
ex
e x
-
，若
22018
202020202020
e e e
f f f
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++⋅⋅⋅++
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
20192019
()20202e f a b ⎛⎫=+ ⎪
⎝⎭
，其中b>0，则12a a b +的最小值为 A.
34 B.5
4
C.2
D.22
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中有多项符合要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.如果a<b<0，那么下列不等式正确的 A.
11a b < B.ac 2<bc 2 C.11
a b b a
+<+ D.a 2>ab>b 2 10.已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－2x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是 A.－3 B.－2 C.－1 D.0
11.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋4a 3＝S 7，则以下结论正确的有 A.a 14＝0 B.S 14最小 C.S 11＝S 16 D.S 27＝0 12.将n 2(n ≥3)个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m>0)。

已知a 11＝3，a 61＝a 13＋1，记这n 2个数的和为S 。

下列结论正确的有 A.m ＝2 B.a 67＝13×27 C.a ij ＝(2i ＋1)×2j －
1 D.S ＝n(n ＋2)(2n －1)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分。

13.已知不等式x 2－5ax ＋b>0的解集为{x|x<1或x>4}，则a －b ＝ 。

14.已知数列{a n }为等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若1≤a 2≤3，2≤a 3≤4，则S 4的取值范围是 。

15.已知x>0，y>0且xy －x ＋2y ＝6，若x ＋y>m 2－m ＋1恒成立，则非零整数m 的取值集合是 。

16.对于数列{a n }，若任意m ，n ∈N *(m ≠n)，都有
m n
a a m n
--≥t(t 为常数)成立，则称数列{a n }具有性质p(t)。

(1)若数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ，且具有性质p(t)，则t 的最大值为 ； (2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝n －a
n
，且具有性质p(9)，则实数a 的取值范围是 。

四、解答题：本大题共6小题共70分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)
已知集合A ＝{x|x 2－8ax ＋12a 2>0}，其中a>0；集合B ＝{x|(x －1)(2－x)≥0}。

(1)若a ＝1，求A ∩B ；
(2)若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

18.(本小题满分10分)
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝b 4， ，b 2＝8，b 1－3b 3＝4，是否存在正整数k ，使得数列{
n 1S }的前k 项和T k >3
4
，若存在，求出k 的最小值；若不存在，说明理由。

从①S 4＝20，②S 3＝2a 3，③3a 3－a 4＝b 2这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答。

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

)
19.(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝
x a
x b
++(a ，b 为常数)。

(1)若b ＝1，解关于x 的不等式f(x －2)<0； (2)若a ＝2，当x ∈[－1，2]时，f(x)>
()
2
1
x b -+，恒成立，求b 的取值范围。

20.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝a n ＋1－3n ＋
1＋2，n ∈N *，且a 1，a 2＋6，29成等差数列。

(1)求a 1的值；
(2)证明：数列{n
3n a }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝log 3(n
21
a n -)＋1，若对任意的n ∈N *，不等式
b n (1＋n)－λn(b n ＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取
值范围。

21.(本小题满分12分)
党中央、国务院对节能减排高度重视，各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展。

新能源汽车环保、节能、以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向。

为了响应国家节能减排的号召，2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元。

每生产x(百辆)新能源汽车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)＝
210x 500x 0x 4010000
901x 4300x 40x
⎧+<<⎪
⎨+
-≥⎪⎩，，。

由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完。

(1)请写出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；(利润＝销售－成本) (2)当2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润。

22.(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 13＋a 23＋…＋a n 3＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2，n ∈N *。

(1)求证：a n 2＝2S n －a n ； (2)设c n ＝(a n －
1
2
)·2n ，其前n 项和为T n ，求T n ； (3)在(2)的条件下，设b n ＝
n T 3
22n
-+
，求使不等式12111111n b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
n ≥2且n ∈N *均成立的最大整数p 。