八年级数学上册第十三章轴对称13-4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
八年级数学上册第13章轴对称13.4课题学习最短路径问题学案新版新人教版
课题：13.4 课题学习：最短路径问题【学习目标】1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。
2、能将实际问题中的“地点”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。
3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。
4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。
进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。
【学习重难点】重点： 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。
难点： 如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。
一、知识链接复习旧知：1.两点之间，_______最短。
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中_______最短。
3． 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_______ 。
4．平移性质：(1)平移前后图形的形状和大小________。
(2)对应点连线______________。
自主学习（新知）： 精读课本第85-87页，用红色的笔对有关概念进行勾画并找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑。
如图所示，从A 地到B 地有三条路选择，你会选走那条路最近？你的理由是什么？二、合作与探究探究活动（一）将军饮马问题：1、两点在一条直线的异侧：②AB① ③已知如图，A 、B 在直线L 的两侧，在直线L 上求一点P ，使得这个点到AB 的距离最短，即AP+P B 最短。
请说明AP+PB 最短的理由。
2、两点在一条直线的同侧如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边L 饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？探究活动（二）造桥选址问题：如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
13.4 课题学习最短路径问题[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是( )A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( D )图13-4-9A BC D5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是( A )图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B 2.D 3.略【分层作业】1．B 2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D 5.∠AOB＝30° 6.A。
新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.4《课题学习 最短路径问题》
新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习一、选择题（共15小题）1．如图，在直角坐标系中有线段AB ，AB ＝50cm ，A 、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm ，B 点到y 轴的距离为30cm ，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P 、Q ，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（ ）A ．50B ．505C ．505－50D ．505＋50答案：D知识点：坐标与图形性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题解析：解答：过B 点作BM ⊥y 轴交y 轴于E 点，截取EM ＝BE ，过A 点作AN ⊥x 轴交x 轴于F 点，截取NF ＝AF ，连接MN 交x ，y 轴分别为P ，Q 点，过M 点作MK ⊥x 轴，过N 点作NK ⊥y 轴，两线交于K 点．MK ＝40＋10＝50，作BL ⊥x 轴交KN 于L 点，过A 点作AS ⊥BP 交BP 于S 点．∵LN ＝AS ＝22)1040(50--＝40．∴KN ＝60＋40＝100．∴MN ＝2210050+＝505．∵MN ＝MQ ＋QP ＋PN ＝BQ ＋QP ＋AP ＝505．∴四边形PABQ 的周长＝505＋50．故选D ．分析：过B 点作BM ⊥y 轴交y 轴于E 点，截取EM ＝BE ，过A 点作AN ⊥x 轴交x 轴于F 点，截取NF ＝AF ，连接MN 交X ，Y 轴分别为P ，Q 点，此时四边形PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题2．如图，在平面直角坐标系中，点A （－2，4），B （4，2），在x 轴上取一点P ，使点P 到点A 和点B 的距离之和最小，则点P 的坐标是（ ）A ．（－2，0）B ．（4，0）C ．（2，0）D ．（0，0）答案： C知识点：点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题解析：解答：作A 关于x 轴的对称点C ，连接AC 交x 轴于D ，连接BC 交交x 轴于P ，连接AP ， 则此时AP ＋PB 最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，∵A （－2，4），∴C （－2，－4），设直线CB 的解析式是y ＝kx ＋b ，把C 、B 的坐标代入得：⎩⎨⎧+-=-+=b k b k 2442， 解得：k ＝1，b ＝－2，∴y ＝x －2，把y ＝0代入得：0＝x －2，x＝2，即P的坐标是（2，0），故选C．分析：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，此时点P到点A和点B的距离之和最小，求出C（的坐标，设直线CB的解析式是y＝kx ＋b，把C、B的坐标代入求出解析式是y＝x－2，把y＝0代入求出x即可．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题3．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC 边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）．A．15°B．22.5°C．30°D．45°答案：C知识点：等边三角形的性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，∵AC ＝4，AE ＝2，∴EC ＝2＝AE ，∴AM ＝BM ＝2，∴AM ＝AE ，∵AD 是BC 边上的中线，△ABC 是等边三角形，∴AD ⊥BC ，∵EM ∥BC ，∴AD ⊥EM ，∵AM ＝AE ，∴E 和M 关于AD 对称，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，则此时EF ＋CF 的值最小，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC ，∵AM ＝BM ，∴∠ECF ＝21∠ACB ＝30°， 故选C ．分析：过E 作EM ∥BC ，交AD 于N ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，推出M 为AB 中点，求出E 和M 关于AD 对称，根据等边三角形性质求出∠ACM ，即可求出答案．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题4．如图，∠AOB ＝30°，内有一点P 且OP ＝6，若M 、N 为边OA 、OB 上两动点，那么△PMN 的周长最小为（ ）．A ． 62B ． 6C ．621D ．6答案：D 知识点：等边三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：作P 关于OA 的对称点D ，作P 关于OB 的对称点E ，连接DE 交OA 于M ，交OB 于N ，连接PM ，PN ，则此时△PMN 的周长最小，连接OD ，OE ，∵P 、D 关于OA 对称，∴OD ＝OP ，PM ＝DM ，同理OE ＝OP ，PN ＝EN ，∴OD ＝OE ＝OP ＝6∵P 、D 关于OA 对称，∴OA ⊥PD ，∵OD ＝OP ，∴∠DOA ＝∠POA ，同理∠POB ＝∠EOB ，∴∠DOE ＝2∠AOB2×30°═60°，∵OD ＝OE ＝6，∴△DOE 是等边三角形，∴DE ＝6，即△PMN 的周长是PM ＋MN ＋PN ＝DM ＋MN ＋EN ＝DE ＝6，故选D ．分析：根据题意画出符合条件的图形，求出OD ＝OE ＝OP ，∠DOE ＝60°，得出等边三角形DOE ，求出DE ＝6，求出△PMN 的周长＝DE ，即可求出答案．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题5．已知两点M （3，5），N （1，－1），点P 是x 轴上一动点，若使PM ＋PN 最短，则点P 的坐标应为（ ）．A ． （21，－4）B ． （32，0）C ． （34，0）D ． （23，0） 答案：C知识点：坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：∵PM ＋PN 最短，∴M 、P 、N 三点共线，∵M （3，5），N （1，－1），∴设解析式为y ＝kx ＋b ，把M （3，5），N （1，－1）分别代入解析式得，⎩⎨⎧-=+=+153b k b k ， 解得⎩⎨⎧-==43b k ，其解析式为y ＝3x －4．当y ＝0时，x ＝34． 故P 点坐标为（34，0）． 故选C ．分析：若PM ＋PN 最短，则M 、P 、N 三点共线，根据M 、N 的坐标，求出MN 的解析式，再求出与x 轴的交点即可．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题6．已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP ＝2，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α＝（ ）．A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90°答案：A知识点：等边三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周长＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，∴OC＝OD＝CD＝2，∴△COD是等边三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故选A．分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF 的周长为PE＋EF＋FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝2可求出α的度数．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题7．直线L 是一条河，P ，Q 是两个村庄．欲在L 上的某处修建一个水泵站，向P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）．A ．B ．C ．D ．答案：D 知识点：轴对称-最短路线问题解析：解答：作点P 关于直线L 的对称点P′，连接QP′交直线L 于M ．根据两点之间，线段最短，可知选项D 铺设的管道，则所需管道最短．故选D ．分析： 利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题8．已知两点A （3，2）和B （1，－2），点P 在y 轴上且使AP ＋BP 最短，则点P 的坐标是（ ）．A ． （0，21-） B ． （0，611） C ． （0，－1） D ． （0，41-） 答案：C知识点：点的坐标； 轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式解析：解答：根据已知条件，点A 关于y 轴的对称点A′为（－3，2）．设过A′B 的解析式为y ＝kx ＋b ，则－3k ＋b ＝2；k ＋b ＝－2．解得k ＝－1，b ＝－1那么此函数解析式为y ＝－x －1．与y 轴的交点是（0，－1），此点就是所求的点P ． 故选C ．分析：根据已知条件和两点间线段最短，可知P 点是“其中一点关于y 轴的对称点与另一点的连线和y 轴的交点．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题9．在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），则CA ＋CB 的最小值是（ ）． A ． 6 B ． 73 C ． 72 D ． 5答案：C知识点： 轴对称-最短路线问题；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题 解析：解答：如图所示：∵点C 的坐标为（m ，3 m ）（m 为非负数），∴点C 的坐标所在直线为y ＝3x ，点A 关于直线y ＝3x 的对称点的坐标为A′，则AA′所在直线为y ＝33-x ＋b ， 把点A 的坐标（ 2，0 ）代入得33-×2＋b ＝0， 解得b ＝332． 故AA′所在直线为y ＝33-x ＋332．联立C 的坐标所在直线和AA′所在直线可得⎪⎩⎪⎨⎧+-==332333x y x y ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321y x ，∴C 的坐标所在直线和AA′所在直线的交点M 的坐标为（21，23）， ∴点A 关于直线y ＝3x 的对称点的坐标为（－1，3），∴A′B ＝22)30()14(-++＝28＝27，即CA ＋CB 的最小值．故选C ．分析：分别得到点C 的坐标所在直线，点A 关于点C 的坐标所在直线的对称点的坐标A′所在直线AA′的解析式，求得两条直线的交点，进一步得到A′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题10．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6答案：B知识点：三角形的角平分线、中线和高； 轴对称-最短路线问题；全等三角形的判定与性质 解析：解答：如图，在AC 上截取AE ＝AN ，连接BE ．∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM ＝∠NAM ，在△AME 与△AMN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AM AM NAM EAM AN AE ，∴△AME ≌△AMN （SAS ），∴ME ＝MN ．∴BM ＋MN ＝BM ＋ME≥BE ．∵BM ＋MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，又AB ＝42，∠BAC ＝45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形，∴BE ＝4，即BE 取最小值为4，∴BM ＋MN 的最小值是4．故答案为：B ．分析：从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．题型：单选题掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题11．如图，锐角三角形ABC 中，∠C ＝45°，N 为BC 上一点，NC ＝5，BN ＝2，M 为边AC 上的一个动点，则BM ＋MN 的最小值是（ ）．A ． 29B ． 21C ． 74D ． 45答案：C知识点：三角形相关概念；勾股定理； 轴对称-最短路线问题解析：解答：如图所示，先作点N 关于AC 的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM ＋MN 的最小值， 根据对称的性质可知N′C ＝NC ＝5，∠ACB ＝∠ACN′＝45°，即∠BCN′＝90°，在Rt △BCN′中，BN′＝22'BC C N +＝2275+＝74．故答案为：C ．分析：先作点N 关于AC 的对称点N′，由两点之间线段最短可知BN′即为BM ＋MN 的最小值，根据对称的性质可知N′C ＝NC ＝5，∠BCN′＝90°，再利用勾股定理即可求出BN′的长． 题型：单选题难易程度：较易考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题12．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（）米．A．8 B．9 C．6 D．7答案：D知识点：轴对称-最短路线问题；三角形的三边关系解析：解答：当A、B、P三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．∵两边AP与BP的差小于第三边AB．∴A、B、P在同一直线上，∴P到A的距离与P到B的距离之差最大，∴这个差就是AB的长，故答案为：D．分析：当ABP构成三角形时，AP与BP的差小于第三边AB，所以当ABP在同一直线上时，PA与PB之差最大＝AB＝7．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF ＋EF 的最小值为（ ）．A ． 13120 B ． 10 C ． 12 D ． 13 答案：A知识点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质；勾股定理解析： 解答：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ， ∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，∴M 在AB 上，在Rt △ABD 中，由勾股定理得：AD ＝22513-＝12，∴S △ABC ＝21×BC ×AD ＝21×AB ×CN ， ∴CN ＝AB AD BC ⨯＝131210⨯＝13120， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM≥CN ，即CF ＋EF≥13120，即CF ＋EF 的最小值是13120， 故答案为：A ． 分析：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，根据三线合一定理求出BD 的长和AD ⊥BC ，根据勾股定理求出AD ，根据三角形面积公式求出CN ，根据对称性质求出CF ＋EF ＝CM ，根据垂线段最短得出CF ＋EF≥13120，即可得出答案．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题14．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，在CD 上找一点P ，使PA ＋PE 最小，则这个最小值是（ ）．A ． 32B ． 4C ． 52D ． 5答案：C知识点：轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质解析：解答：如图，连接BE ，则BE 就是PA ＋PE 的最小值，∵Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴CE ＝2cm ，∴BE ＝20＝52，∴PA ＋PE 的最小值是52．故答案为：C．分析：要求PA＋PE的最小值，PA，PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE的值，从而找出其最小值求解．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题15．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD 的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（）米．A．1100 B．1200 C．1300 D．1400答案：C知识点：轴对称-最短路线问题；勾股定理解析：解答：点B关于CD的对称点E，由对称的性质可知，BD＝ED，∠EDM＝∠MDB，DM＝DM，∴△MDE≌△MDB，∴BM＝ME，BM＋AM＝ME＋AM＝AE，即AE为牧童要走的最短路程．∵EN＝CD＝500米，AN＝NC＋AC＝700＋500＝1200米，∴在Rt △ANE 中，AE ＝22EN AN +＝221200500+＝1300米． 故牧童至少要走1300米．分析：在CD 边上找一点M ，使AM 和BM 的和最小，延长BD 到E 点，使BD ＝DE ，连接AE 交CD 边于点M ，过点E 作EN ⊥AC 于点N ，则AE 为所求的长即牧童最少要走的距离．题型：单选题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习 试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题二、填空题（共5小题）1．如图，已知AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，垂足分别为A 、D ，AD ＝6，AB ＝5，CD ＝3，P 是线段AD 上的一个动点，设AP ＝x ，DP ＝y ，92522+++=y x a ，则a 的最小值是______．答案：10知识点：相似三角形的判定与性质；轴对称-最短路线问题解析：解答：由题意可得，当BPC 三点在同一直线时，a 的值最小．则△ABP ∽△DCP ，x ＝415，y ＝49， 则a 的最小值是10．分析：首先确定当BPC 三点在同一直线时，a 的值最小．然后根据相似三角形的性质计算． 题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题2．已知如图所示，∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当△PAB 的周长取最小值时，∠APB 的度数为_____．答案：100°知识点：多边形内角与外角；三角形相关概念；轴对称-最短路线问题解析：解答：如图，作出P 点关于OM 、ON 的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2交OM ，ON 于A 、B 两点，此时△PAB 的周长最小，由题意可知∠P 1PP 2＝180°－∠MON ＝180°－40°＝140°， ∴∠P 1PA ＋∠P 2PB ＝∠P 1＋∠P 2＝180°－∠P 1PP 2＝40°，∴∠APB ＝140°－40°＝100°．故答案为：100°．分析：作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON于A、B两点，此时△PAB的周长最小，再由四边形内和定理即可求出答案．题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值是_____．答案：5知识点：等边三角形的性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题解析：解答：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE＝∠CBE＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝2，∵D 是BC 边的中点，∴BD ＝1，根据勾股定理可得DC′＝22'BD BC +＝51222=+． 故答案为：5．分析：首先确定DC′＝DE ＋EC′＝DE ＋CE 的值最小．然后根据勾股定理计算．题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题4．已知：如图所示，M （3，2），N （1，－1）．点P 在y 轴上使PM ＋PN 最短，则P 点坐标为_________．答案：（0，－41） 知识点：点的坐标；一次函数的应用；轴对称-最短路线问题解析：解答：根据题意画出图形，找出点N 关于y 轴的对称点N′，连接MN′，与y 轴交点为所求的点P ，∵N （1，－1），∴N′（－1，－1），设直线MN′的解析式为y ＝kx ＋b ，把M （3，2），N′（－1，－1）代入得：⎩⎨⎧-=+-=+123b k b k ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=4143b k ，所以y ＝43x －41， 令x ＝0，求得y ＝－41， 则点P 坐标为（0，－41）．分析：找出点N 关于y 轴的对称点，连接M 与对称点，与y 轴的交点为P 点，根据两点之间，线段最短得到此时点P 在y 轴上，且能使PM ＋PN 最短．根据关于y 轴对称点的特点，找出N 对称点的坐标，设出直线MP 的方程，把N 的对称点的坐标和M 的坐标代入即可确定出直线MP 的方程，然后令x ＝0求出直线与y 轴的交点，写出交点坐标即为点P 的坐标． 题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习试题标签：新人教版 数学 八年级上 第十三章 轴对称 第4节课题学习 最短路径问题5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝4，E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，则（1）EF ＝____；（2）若D 是BC 边上一动点，则△EFD 的周长最小值是____．答案：2；2＋213知识点：勾股定理；轴对称-最短路线问题；三角形中位线定理解析：解答：（1）∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC ＝4，∴EF ＝21BC ＝21×4＝2； （2）延长FC 到P ，使FC ＝PC ，连接EP 交BC 于D ，连接ED 、FD ，此时ED ＋FD 最小，即△EDF 的周长最小，∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∵∠C ＝90°，∴∠EFC ＝90°，FC ＝PC ＝21AC ＝23， ∵在Rt △EFP 中，EP ＝22FP EF +＝22)3232(2++＝213，∴△EDF 的周长为：EF ＋FD ＋ED ＝2＋ED ＋PD ＝2＋EP ＝2＋213，故答案为：2；2＋213．分析：（1）根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长即可；（2）根据对称点的性质，延长FC到P，使FC＝PC，连接EP交BC于D，连接ED、FD，此时ED＋FD最小，即△EDF的周长最小，求出EP长，即可求出答案．题型：填空题难易程度：较易掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题三、解答题（共6小题）1．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．答案：（1）见解析；（2）AM＋AN＝BM＋BN知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：（1）如图所示．画法：①作点M关于射线OP的对称点M'，②连接M'N交OP于点A．③作点N关于射线OQ的对称点N'，④连接N'M交OQ于点B．（2）答：AM＋AN与BM＋BN的大小关系是：AM＋AN＝BM＋BN．分析：（1）分别作出点M关于射线OP的对称点M'，点N关于射线OQ的对称点N'，连接M'N、N'M即可求出答案；（2）根据轴对称性质求出即可．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题2．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：如图分析：作A关于直线L的对称点E，连接BE交直线L于C，则C为所求．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题3．如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN 的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：①作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，②由对称的性质可知PN＝PN′，故PN＋PM＝MN′，③由两点之间线段最短可知，△PMN的最短周长即为MN′＋MN．分析：作点N关于BC的对称点N′，连接MN′交BC于点P，由两点之间线段最短可知P 点即为所求点．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题4．在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）答案：见解析知识点：轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换解析：解答：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示：证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT，∵A、E关于ON对称，∴AC＝EC，同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF，AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR，∵ET＋TR＋FR＞EF，∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR，即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线．分析：作A关于ON的对称点E，B关于OM的对称点F，连接EF交ON于C，交OM于D，连接AC、BD，即可得出答案；根据对称点推出AC＝EC，BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET，根据两点之间线段最短即可求出答案．题型：作图题难易程度：较难掌握程度：掌握考查类型：常考题试题类型：普通类型试题级别：八年级试题地区：全国试题来源：新人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题课时练习试题标签：新人教版数学八年级上第十三章轴对称第4节课题学习最短路径问题5．已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使PA＋PC最小．。
人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 13.4课题学习-最短路径问题 课后练习
人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 13.4课题学习－最短路径问题 课后练习一、选择题1．已知两点A（3（2）和B（1（（2），点P 在y 轴上且使AP（BP 最短，则点P 的坐标是（ ）A ．（0（12-（B ．（0（116（C ．（0（（1（D ．（0（14-（ 2．在平面直角坐标系中，点A（B 的坐标分别为（ 2（0 （（（4（0），点C 的坐标为（m（3 m（（m 为非负数），则CA（CB 的最小值是（ （A ．6B ．37C ．27D ．53．已知两点M（3（5（（N（1（（1），点P 是x 轴上一动点，若使PM（PN 最短，则点P 的坐标应为（ ） A ．（12 （（4（ B ．（23 （0（ C ．（43 （0（ D ．（32（0（ 4．如图，某公司有三个住宅区，A ，B ，C 各区分别住有职工10人，15人，45人，且这三个区在一条大道上(A ，B ，C 三点共线)，已知AB ＝150m ，BC ＝90m ．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )A ．点AB ．点BC ．点A ，B 之间D ．点C5．若实数m（n 满足 402n m -+=-，且m（n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ （ A ．12B ．10C ．8（10D ．66．如图，30AOB ∠=︒，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN αβ∠=∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于α，β的数量关系正确的是（ ）A ．60βα-=︒B ．210βα+=︒C ．230βα-=︒D ．2240βα+=︒ 7．如图（点P 是直线a 外一点（PB ⊥a（点A（B（C（D 都在直线a 上（下列线段中最短的是( )A ．PAB ．PBC ．PCD ．PD8．已知：如图，在△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30°B．36°C．50°D．60°9．如图，在（ABC中，（ACB＝90°，以AC为底边在（ABC外作等腰（ACD，过点D作（ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F．若AC＝12，BC＝5，（ABC的周长为30，点P是直线DE上的一个动点，则（PBC周长的最小值为（）A．15B．17C．18D．2010下列三角形，不一定是等边三角形的是A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形二、填空题11．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=12BC，则△ABC的顶角的度数为_____．12．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小．13．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为_____cm时，线段CQ+PQ的和为最小．14．已知：如图所示，M（3（2（（N（1（（1）．点P在y轴上使PM（PN最短，则P点坐标为_________（15．已知△ABC 中，AB=AC ，现将△ABC 折叠，使点A（B 两点重合,折痕所在的直线与直线AC 的夹角为40°，则∠B 的度数为______°（三、解答题16．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ．（1）若70B ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）连接MB ，若8AB cm =，MBC △的周长是14cm ．①求BC 的长；②在直线MN 上是否存在点P ，使由P ，B ，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由．17.如图（已知∠AOB（点P 是∠AOB 内部的一个定点（点E（F 分别是OA（OB 上的动点．(1)要使得△PEF 的周长最小（试在图上确定点E（F 的位置．(2)若OP（4（要使得△PEF 的周长的最小值为4（则∠AOB（________（18．如图（在△ABC 的一边AB 上有一点P.(1)能否在另外两边AC 和BC 上各找一点M（N（使得△PMN 的周长最短？若能（请画出点M（N 的位置（若不能（请说明理由；(2)若∠ACB（52°（在(1)的条件下（求出∠MPN 的度数．19．在△ABC 中，AB =AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24㎝和30㎝的两个部分，求三角形的三边长．20．如图所示的是某风景区的旅游路线示意图，其中B ，C ，D 为风景点，E 为两条路的交叉点，图中数据为两相应点间的距离(单位：千米)．一位游客从A 处出发，以2千米／时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为34小时．(1)当他沿着路线A →D →C →E →A 游览回到A 处时，共用了4小时，求CE 的长；(2)若此学生打算从A 处出发，步行速度与景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，说明这样设计的理由．21．已知：如图（在∠POQ内部有两点M（N（∠MOP（∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A（使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B（使点B 到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM（AN与BM（BN的大小关系．22．某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A（B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A（B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）23．传说在古罗马时代的亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题导学案(新版)新人教版-(新版)新
课题学习最短路径问题——轴对称在解决“最短路径问题”的应用一、新课导入1.导入课题：屏幕展示教材第85页问题1的文字和图标.2.学习目标：(1)能利用轴对称变换解决实际问题.(2)能利用作图解决生活中的轴对称问题.（作图建模）3.学习重、难点：重点：路径极值问题的转换方法.难点：路径极值问题的说理证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第85页的问题1.(2)自学时间：8分钟.(3)自学方法：经历“作图——探究——归纳——总结”过程，体验用轴对称的性质解决生活中的求最短距离问题的实质.(4)自学参考提纲：①轴对称具有什么性质？如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②思考：问题1中的情境问题可以转化怎样的几何问题？试作出几何图形来表示.③马从A到河边再到B的路径是一个折线，求折线的最小值，可联想到两点之间的距离，所以可将三个点转化到同一直线上.④如图，AC如何转化使A、C、B在同一直线上呢？作B点关于l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则A、C、B′在同一直线上.⑤按“两点之间线段最短”，A通过怎样的变换确定的C点保证变换后的A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上呢？作A点关于l的对称点A′，则A′C=AC，且A′、C、B在同一直线上.2.自学：认真阅读教材第85页内容，参照自学参考提纲试着找出解决问题的办法.3.助学：(1)师助生：①明了学情：最短路径问题是轴对称知识在生活中的运用，寻找解题思路是个难点.②差异指导：先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，完成②，然后在②的基础上寻找解决③的办法及依据.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生明白此类题的作图方法.(2)练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）.解：如图：P点即为该点.1.自学指导：(1)自学内容：教材第86页的问题2.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：认真阅读课文，边看文字，对照图形，边体会教材上作图的方法和依据.(4)自学参考提纲：①回忆问题1是用什么办法解决最短路线问题的？作对称点.②问题2中点A、点B在河的两侧，而河岸存在两条直线，这个问题怎么解决？通过图形变化，转化为求一条直线两侧的点的最短距离.③由于河宽一定，要求AM+MN+NB最小，实际上就是要求AM+NB最小？④如何在直线b上确定一点N，使A′N=AM？将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则A′N=AM.2.自学：学生结合自学参考提纲研学课文内容.3.助学：(1)师助生：①明了学情：问题2较问题1更复杂，本质上是一回事，注意了解学生的思维障碍.②差异指导：a.先引导学生回忆“两点之间，线段最短”的结论，然后引导学生思考如何将AM、NB转化到同一直线上.(2)生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：(1)指名学生说明这样作图的依据，重点让学生说明作图的思路、依据及方法.(2)完成教材第93页15题.解：过A作关于MN的对称点A′，过B作关于l的对称点B′，连接A′B′交MN于P，交l于Q点，连接AP、BQ.则A→P→Q→B就是所示的最短路径.(3)教材第87页“归纳”.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生相互交谈自己的学习收获有哪些？困惑在哪里？2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现有关内容，教学时，根据本课内容特点，可依据其学科知识间联系调动课堂气氛，培养学生学习兴趣.一、基础巩固（每题20分，共60分）1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.解:2.要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？试作图确定泵站并加以说明.解：如图，P处即为泵站的位置.3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.二、综合应用（20分）4.如图，M、N分别是△ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使△PMN的周长最小.解：如图:作点M关于BC的对称点M′，连接M′N，交BC于点P，则△PMN的周长最小.三、拓展延伸（20分）5.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.解：如图，作B点关于MN的对称点B′，连接AB′并延长，交MN于点P，点P即为所求.理由：点A，B′，P在同一条直线上时，PA-PB′最大，即PA-PB最大.。
八年级数学上册第十三章轴对称13-4课题学习最短路径问题同步训练新版新人教版
13.4课题学习最短路径问题[学生用书P63]1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是()A．40° B．100° C．140° D．50°图13-4-62．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B 两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?图13-4-73．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m 于点P.(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．图13-4-84．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMMNNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)(D)图13-4-9ABCD5．[2015·营口改编]如图13-4-10，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5 cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5 cm ，求∠AOB 的度数．图13-4-106．[2016·百色]如图13-4-11，等边△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC 与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD＋CD的最小值是(A)图13-4-11A．4 B．3 2C．2 D．2＋ 3参考答案【归类探究】例1略例2略【当堂测评】1．B2.D3.略【分层作业】1．B2.略3．(1)AB′＝AP＋BP，理由略；(2)AN＋BN>AP＋BP，理由略．4．D5.∠AOB＝30°6.A。
八年级数学上册第13章轴对称13-4课题学习最短路径问题教案新人教版【2019-2020学年度】
课标要求掌握基本事实：两点之间，线段最短。
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
教材分析本节课是在已经学习了轴对称图形性质的基础上进一步学习“经过直线上一点，在直线同侧两点之间路径最短问题”的解决方案。
为后续平面几何线段之和最短一类问题奠基。
学情分析1．学生已经学习了已经掌握轴对称的性质以及“两点之间，线段最短”、三角形三边不等公理，这为学习最短路径问题做好了知识和能力上的准备。
2.学生已经具备了一定的学习能力及作图能力，所以本节课中，主要采用学生自主学习、合作探究的方式，教师引导让每位学生都参与探究。
课时目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想；4.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．教学重点直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学难点利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题．提炼的课题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题．教学过程教学环节教学内容及师生活动设计意图媒体选择分析1.情境引入引入新课PPT1-4：通过创设情景，引导学生思考，激发学生学习兴趣。
1出示问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一从小故事出发，引发学生思考问题的兴趣；激励自主学习探索直线类型:t+w作用:b使用:a、b不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短2、倾听学生对上面问题的回答，揭示课题3、引入新课。
回顾“两点之间，线段最短”，思考故事中存在的数学问题。
人教版八年级数学上册同步练习题 第十三章轴对称 13.4 课题学习--最短路径问题
人教版八年级数学上册同步练习题第十三章轴对称13.4 课题学习--最短路径问题一、单选题1．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．AB之间D．BC之间2．已知两点M（3（5（（N（1（（1），点P是x轴上一动点，若使PM（PN最短，则点P的坐标应为（）A．（12（（4（B．（23（0（C．（43（0（D．（32（0（3．平面直角坐标系xOy中，已知A(（1（0)（B(3（0)（C(0（（1)三点，D(1（m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（（A．13B．23C．43D．834．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜35．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．86．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④7．如图，ABC ∆中，BAC 90︒∠=，6AB =，10BC =，8AC =，BD 是ABC ∠的平分线.若P 、Q 分别是BD 和AB 上的动点，则PA PQ +的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．58．如图，在矩形ABCD 中8AB =，16BC =，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为( )A ．6B ．12C ．D ．9．A ，B ，C 三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在( )A ．在A 的左侧B ．在AB 之间C ．在BC 之间D ．B 处10．A（B 是直线l 上的两点，P 是直线l 上的任意一点，要使PA+PB 的值最小，那么点P 的位置应在（ ） A ．线段AB 上 B ．线段AB 的延长线上C ．线段AB 的反向延长线上D ．直线l 上二、填空题11．如图，在Rt（ABC中，（ACB（90°（（ABC（60°（BC（4（E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1（EF（____（（2）若D是BC边上一动点，则（EFD的周长最小值是____（12．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值_____cm．13．如图，已知（AOB=45°（（AOB内有一点（M为射线OA上一动点，N为射线OB上一动点，则PM+MN+PN的最小值为________（14．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度。
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题同步精练 新人教版
13．4 课题学习最短路径问题1．两点的所有连线中，__线段__最短．2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，__垂线段__最短．■易错点睛■如图，A，B在直线l异侧，在直线l上取一点P，使PA＋PB最小．【解】连接AB交直线l于P，此时PA＋PB最小．【点睛】易模仿课本上的解法而出错．知识点一应用垂线段最短求最值1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( B )A．PA B．PBC．PC D．PD2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从点A处引到田里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出点P的位置并说明理由．【解题过程】解：略．3．如图，四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝2，∠ACD＝∠B，E是AB上一动点，求CE的最小值．(导学号：58024201)【解题过程】解：作CF⊥AB于F，则CE的最小值为CF.易证AC平分∠DAB，∴CF＝CD＝2.知识点二运用两点之间线段最短求最值4．如图，在平面直角坐标系中，点A(－2,4)，B(4,2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是( C )A．(－2,0) B．(4,0)C．(2,0)D．(0,0)5．如图，A，B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使PA＋PB最小(保留作图痕迹)．【解题过程】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求．6．【教材变式】(P86问题1改)如图，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．【解题过程】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求．7．如图，在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题(用直尺画图)．(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1；(2)在DE上画出点P，使PB1＋PC最小；(3)在DE上画出点Q，使QA＋QC最小．【解题过程】解：(1)如题图；(2)如题图；(3)如题图．8．【教材变式】(P86问题2改)如图，要在一条河上架一座桥MN(河的两岸互相平行，桥与河岸垂直)，在如下四种方案中，使得E，F两地的路程最短的是( B )EM与河岸垂直EM∥FN E，M，F共线FN与河岸垂直A B C D9．如图，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使|PB－PA|的值最大．【解题过程】解：连接BA并延长交直线l于P，点P即为所求．10．如图，A，B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA－PB|的值最大．【解题过程】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交直线l于P，点P即为所求．11．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝10，点M，N分别在OA，OB 上，求△PMN周长的最小值．(导学号：58024202)【解题过程】解：分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，此时△PMN周长最小，周长＝P1P2，∴P1P2＝OP1＝O P2＝OP＝10.12．【中考改编】(xx·武汉中考改)如图，点A，B分别为∠MON的边上的定点，在∠MON的两边ON，OM上分别找两点P，Q，使得AP＋PQ＋QB最小(保留作图痕迹，不要求写作法)．(导学号：58024203)【解题过程】解：见图．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
初中数学人教版八年级上册第十三章《轴对称》练习册(含答案)13.4课题学习最短路径问题
初中数学人教版八年级上册实用资料13.4课题学习最短路径问题基础巩固1. （知识点 1）已知直线 l 是一条河， P ，Q 是两个村庄 .欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P ，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 （）2. （知识点 1）已知在平面直角坐标系中有 A ，B 两点，要在 y 轴上找一点 C ，使得它到 A ， B 的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是（ ）3. （题型二） 如图 13-4-1，正方形 ABCD 的边长为 8，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使得 PD+PE 的值最小，则这个最小值为（ ）A.4B.6C.8D.104.（题型二） 已知 MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴（ A ，D 是一组对称点 ，B ，C 是一组 对称点）， P 是直线 MN 上的一个动点，当 PC+PD 最小时，∠ PCD= °.5. （题型三） 如图 13-4-2 ，为了做好国庆期间的交通安全工作，某交警执勤小队从A 处出 图 13-发，首先到公路 l1上设卡检查，然后到公路 l2上设卡检查，最后再到达 B 地执行任务，他们如何走才能使总路程最短？图 13-4-26.（题型二）如图 13-4-3，点 A，B 在直线 m的同侧，点 B′是点 B关于直线 m的对称点， AB′交 m 于点 P.（ 1） AB′与 AP+PB 相等吗？为什么？（ 2）在 m 上取一点 N，并连接 AN 与 NB，比较 AN+NB 与 AP+PB 的大小，并说明理由7.（题型一）如图 13-4-4，△ ABC 是等边三角形， D 是 AB 边上的一点， P是BC 边上的动点， Q 是 AC 边上的动点，当 P， Q 的位置在何处时，才能使△DPQ 的周长最小？能力提升8.（题型二）如图 13-4-5，钝角三角形 ABC 的面积为 15，最长边 AB=10，BD 平分∠ ABC ，点 M，N分别是 BD， BC上的动点，则 CM+MN 的最小值为 .9.（题型一）如图 13-4-6，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点 P，且 OP=10.在 OA 上有一点 Q，OB上有一点 R.当△ PQR 的周长最小时，求它的周长 .图 13-4-610.（题型三）两艘军舰 A，B 在某海港中的位置如图 13-4-7，在 Ox 和 Oy 两岸上各有一个军需所， A舰舰长乘小艇从 A舰出发，首先到 Oy 边的军需所，然后到 Ox 边的军需所各取一些物资，最后一起送到 B 舰上，要使舰长所走的水路最近，他应分别在 Ox ， Oy 岸边的何处上岸？图 13-4-7答案基础巩固1.D 解析：作点 P 关于直线 l 的对称点 P′，连接 QP′交直线 l 于点 M.根据两点之间，线段最短，可知选项 D 铺设的管道最短 .故选 D.2.C 解析：过点 A 作关于 y 轴的对称点，再连接 B 和作出的对称点，连线和 y 轴的交点即为所求 .由给出的四个选项可知选项 C 满足条件 . 故选 C.3.C 解析：连接 PB.由题意知， B 是点 D 关于 AC 的对称点，∴ PD+PE=PB+PE ≥BE.当点 P为 BE 与 AC 的交点时，PD+PE 最小，即最小值为 BE 的长.又∵△ ABE 是等边三角形，∴ BE=AB=8，即 PD+PE 的最小值为 8.故选 C.4.45 解析：∵ MN 是正方形 ABCD 的一条对称轴，且点 D 关于MN 的对称点是点 A，∴PC+PD 的最小值为 AC 的长.又∵△ ACD 是等腰直角三角形，∴∠ PCD=45° .图 D13-5.解：如图 D13-4-1，（1）作点 A 关于直线 l1对称的点A′；（2）作点 B 关于直线 l2 对称的点 B′；（3）连接 A′B′，分别与 l1，l2相交于 C，D 两点. 沿路线 A→C→D→B 走可使总路程最短 .6.解：（1）AB′=AP+PB. 理由如下：∵点 B′是点 B 关于m 的对称点，∴ PB=PB′. ∵AB′=AP+PB ′，∴AB′=AP+PB.（ 2）AN+NB>AP+PB. 理由如下：如图 D13-4-2，连接 AN，BN，B′N. ∵AB′=AP+PB ，∴ AN+NB=AN+NB ∴AN+NB>AP+PB.>AB′，图 D13-7.解：如图 D13-4-3，分别作点 D 关于 BC，AC 的对称点D′，D″，连接 D′D″，分别交 BC 和 AC 于点 P，Q.P，Q 的位置即为所求 . 能力提升8. 3 解析： 如图 D13-4-4，过点 C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M.过点 M 作MN ⊥BC 于点 N.∵BD 平分∠ABC ，ME ⊥AB 于点 E ，MN ⊥BC于点 N ，∴MN=ME ，∴CE 的长为 CM+ME=CM+MN. ∵钝角三角形 ABC 的面积为 15，AB=10，∴12×10·CE=15，∴ CE=3，即 CM+MN 的 最小值为 3. 9. 解：设∠POA=θ，则∠POB=30°-θ.如图 D13-4-5，作点 P 关于 OA 的对称点 E ，作点 P 关于 OB 的对称 点F ，连接EF 与OA 相交于点 Q ，与OB 相交于点 R ，连接PQ ，PR ， 则△PQR 即为周长最小的三角形 . ∵OA 所在的直线是 PE 的垂直平分线，∴ EQ=QP.同理， OB 所在的直线是 PF 的垂直平分线，∴ FR=RP ， ∴△PQR 的周长=EF.∵OE=OF=OP =10，且∠EOF= ∠EOP+∠POF=2θ+2（30°-θ） =60°，∴△ EOF 是等边三角形，∴ EF=10.即在保持 OP=10图 D13-图 D13-的条件下，△ PQR的周长最小，为 10.10.解：如图 D13-4-6，分别作 A，B 关于 y轴和 x轴的对称点 C，D，连接 CD 分别交 y轴和 x 轴于点 E，F，连接AE，EF，BF，E，F 即为所求 .。
数学八年级上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题作业课件 新人教版
10．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马， 然后回到B处，请画出最短路径．
解：如图所示，AQ＋PQ＋BP为所求．
11．如图，某护城河同在CC′处直角转弯，河宽均为5米， 从A处到达B处，须经过两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)， 设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的， 如何架桥可使ADD′E′EB的路程最短？
第十三章 轴对称
13．4 课题学习 最短路径问题
1．如图，直线l外有不重合的两点A，B，在直线l上求作一点C， 使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
8．如图，等边△ABC的边长为3，过点B的直线l⊥AB， 且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点， 则AD＋CD的最小值是_6__．
9．如图，小河边有两个村庄A，B， 要在河边建一个自来水厂分别向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B村的水管最省料，则应选择在哪建厂？ 解：(1)如图，连接AB，作AB的垂直平分线交EF于点M，点M即为所求． (2)如图，作点A关于EF的对称点A′， 连接A′B，交EF于点C，点C即为所求．
2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A，B， 使△PAB周长最小的是(D )
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，S△ABC＝15， AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P， 使PB＋PD的值最小，则这个最小值为_6__.
八年级数学上册第13章轴对称13-4课题学习最短路径问题学案新人教版【2019-2020学年度】
基础练习：
如图，MNPQ是一张台球桌子，桌上球A与球B之间有其他球阻隔，现在要打A球，经桌边MN、NP两次反弹再碰到B球，请你画出A球的行走路线。
拓展提升：
1、牧马人从A地出发，先到草地MN某一处牧马，再到河边L饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
2、如图，点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；
3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，体会几何变化在解决最值问题中的重要作用。
4、在探索最短路径的过程中，感悟、运用转化思想。进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中的应用。
【学习重难 点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“பைடு நூலகம்点之间，线段最短”问题。
难点：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题。
八年级数学上册第13章轴对称13-4课题学习最短路径问题学案新人教版【2019-2020学年度】
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课题：13.4 课题学习：最短路径问题
【学习目标】
1、了解解决最短路径问题的基本策略和基本原理。
2、能将实际问题中的“地点”“河” “桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实际问题数学化。
2、两点在一条直线的同侧
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
探究活动（二）造桥选址问题：
如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）
河北省八年级数学上册第13章轴对称13-4课题学习最短路径问题新版新人教版
A
B
C
D
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4. 【新考法·操作探究】将军要检阅一队士兵，要求(如图所 示)：队伍长为 a ，沿河 OB 排开(从点 P 到点 Q )；将军从 马棚 M 出发到达队头 P ，从 P 至 Q 检阅队伍后再赶到校场 N . 问：在什么位置列队(即选择点 P 和 Q )，可以使得将 军走的总路程 MP ＋ PQ ＋ QN 最短？
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解：如图，作点 C 关于 l1的对称点C'，点 D 关于 l2的 对称点D'，连接C'D'，分别交 l1， l2于点 P1，点 P2， 连接 CP1， P1 P2， P2 D ，此时所走的路程 CP1＋ P1 P2＋ P2 D 最短.
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解：如图，作 ME ∥ OB ，使得 ME ＝ a ，作点 E 关于 OB 的对称点 F ，连接 FN 交 OB 于点 Q ，在 OQ 上截取 QP ＝ a ，连接 MP ， 此时 MP ＋ PQ ＋ QN 最短.
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5. (1)作出△ ABC 关于 y 轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C' 三个顶点的坐标； 解：(1)如图所示. A'(－1，2)，B'(－3，1)， C'(－4，3).
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2. 如图，在铁路 a 的同侧有两个工厂 A 和 B ，要在铁路边 建一货场 C ，使 A ， B 两厂到货场 C 的距离和最小，试在图 上作出 C . 解：如图所示，作点 A 关于直线 a 的对称点A'，连接A'B 交直线 a 于点 C ，点 C 即为所求.
八年级数学上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题课时练习新版新人教版
13.4课题学习最短路径问题
1、你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
2、证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
3、如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小。
答案：
1、证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
2、若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
3、证明：如果存在不同于点O
的交点P，连接PA、PB、PC、PD，
那么PA+PC＞AC，
即PA+PC＞OA+OC，
同理，PB+PD＞OB+OD，
∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，
即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．。
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13.4课题学习最短路径问题
[学生用书P63]
1．如图13-4-6，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB 的周长取最小值时，∠APB的度数是()
A．40° B．100° C．140° D．50°
图13-4-6
2．如图13-4-7所示，四边形EFGH是一个矩形的台球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞击B，才能使白球先撞击台球桌边EF，反弹后又能击中黑球A?
图13-4-7
3．如图13-4-8，点A，B在直线m的同侧，点B′是点B关于m的对称点，AB′交m于点P.
(1)AB′与AP＋BP相等吗？为什么？
(2)在m上再取一点N，并连接AN与BN，比较AN＋BN与AP＋BP的大小，并说明理由．
图13-4-8
4．[2015·鄂尔多斯]如图13-4-9，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，使从A 到
B 的路径AMMNNB 最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)(D)
图13-4-9
AB
CD。