2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆同步测评试卷(无超纲)

北师大版九年级数学下册第三章圆同步测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角45
ACB
∠=︒，则这个人工湖的直径AD为（）m．
A．502B．1002C．503D．200
2、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED
C
38
∠的大小是（）
A ．19°
B ．38°
C ．52°
D ．76°
3、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（ ）
A ．124°
B ．118°
C ．112°
D ．62°
4、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）
A ．1
B ．12
C
D 5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（ ）
A ．sin sin 25AS
B ∠>︒
B ．sin sin50ASB ∠>︒
C ．sin sin55ASB ∠>︒
D ．cos cos50ASB ∠>︒
6、如图，等边△ABC 内接于⊙O ，D 是BC 上任一点（不与B 、C 重合），连接BD 、CD ，AD 交BC 于E ，CF 切⊙O 于点C ，AF ⊥CF 交⊙O 于点G ．下列结论：①∠ADC ＝60°；②DB 2＝DE •DA ；③若AD ＝2，则
四边形ABDC CF ＝8
3
π．正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）
A．50°B．25°C．100°D．30°
8、已知O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（）
A．点在圆内B．点在圆外C．点在圆上D．无法判断
9、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（）
A．8πB．17
2
πC．19
2
πD．12π
10、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（）
A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，AB是O的直径，AC是O的切线，切点为A，BC交O于点D，点E是AC的中
AC=，则阴影部分的面积为________．
点．若O的半径为2，50
∠=， 4.8
B
2、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．
3、如图，AB、CD为一个正多边形的两条边，O为该正多边形的中心，若∠ADB＝12°，则该正多边形的边数为 _____．
∠的度数是____．
4、如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则ODC
5、如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，OA为半径的AB和弦AB所围成的弓形面积等于___________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，点A 在O 上，点P 在O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交O 于点B ，若AP kAB =，则称点P 是点A 关于O 的k 倍特征点．
（1）如图，点A 的坐标为()1,0．
①若点P 的坐标为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则点P 是点A 关于O 的_______倍特征点； ②在110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
这三个点中，点_________是点A 关于O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，60DAO ∠=︒.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于O 的1
2倍特征点，求点E 的坐标；
（2）若当k 取某个值时，对于函数()101y x x =-+<<的图象上任意一点M ，在O 上都存在点N ，使得点M 是点N 关于O 的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．
2、如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB 为12m ，拱高CD 为4m ．
（1）求拱桥的半径．
（2）有一艘宽为7.8m 的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m ，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．
3、在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P 及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．
（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．
①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；
②在点1P（0，2），2P（3，3），3P（3-，0）中，⊙O的“倍点”是________；
（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（1-，1），若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值；
（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．
4、如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知CAD B
∠=∠．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则BD的长为．
5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
连接BD，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB
为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD即可．
【详解】
解：连接BD，如下图所示：
ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．
45ADB ACB ∴∠=∠=︒．
ABD ∠所对的弦为直径AD ，
90ABD ∴∠=︒．
又45ADB ∠=︒，
ADB ∴∆为等腰直角三角形，
在ADB ∆中，100AB DB ==，
∴
由勾股定理可得：AD ===
故选：B ．
【点睛】
本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．
2、B
【分析】
连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解
905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解：连接,
BD AB为O的直径，
90,90,
ADB BDC
∴∠=︒∠=︒
38,
C
∠=︒
903852,
CBD
∴∠=︒-︒=︒
CB为O的切线，
90,905238,
ABC ABD ABC DBC
∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒
38,
AED ABD
∴∠=∠=︒
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
3、B
【分析】
根据三角形内心的性质得到∠OBC=1
2∠ABC=25°，∠OCB=1
2
∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算
∠BOC的度数．
【详解】
解：∵点O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC =12∠ABC =12×50°=25°，∠OCB =12∠ACB =1
2×74°=37°，
∴∠BOC =180°-∠OBC -∠OCB =180°-25°-37°=118°．
故选B ．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
4、C
【分析】
根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长
【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒
30A ∴∠=︒
BC BC =
∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，
90BCD ∴∠=︒
在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12
BC BD ==1
DC ∴故选C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．
5、D
【分析】
本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】
如图，AS 交圆于点E ，连接EB ，
由圆周角定理知，∠AEB =∠C =50°，而∠AEB 是△SEB 的一个外角，由∠AEB ＞∠S ，即当∠S ＜50°时船不进入暗礁区．
所以，两个灯塔的张角∠ASB 应满足的条件是∠ASB ＜50°．
∴cos∠ASB ＞cos50°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6、C
【分析】
如图1，△ABC 是等边三角形，则∠ABC ＝60°，根据同弧所对的圆周角相等∠ADC ＝∠ABC ＝60°，所以判断①正确；如图1，可证明△DBE ∽△DAC ，则DB DE DA DC
=，所以DB •DC ＝DE •DA ，而DB 与DC 不一定相等，所以判断②错误；如图2，作AH ⊥BD 于点H ，延长DB 到点K ，使BK ＝CD ，连接AK ，先证明
△ABK ≌△ACD ，可证明S 四边形ABDC ＝S △ADK ，可以求得S △ADK 3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，由CF 切⊙O 于点C 得CF ⊥OC ，而AF ⊥CF ，所以AF ∥OC ，由圆周角定理可得∠AOC ＝120°，则∠OAC ＝∠OCA ＝30°，于是∠CAG ＝∠OCA ＝30°，则∠COG ＝2∠CAG ＝60°，可证明△AOG 和△COG 都是等边三角形，则四边形OABC 是菱形，因此OA ∥CG ，推导出S 阴影＝S 扇形COG ，在Rt △CFG 中根据勾股定理求出CG 的长为4，则⊙O 的半径为4，可求得S 阴影＝S
扇形COG ＝2604360⨯π＝83
π，所以判断④正确，所以①③④这3个结论正确．
【详解】
解：如图1，∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC ＝60°，
∵等边△ABC 内接于⊙O ，
∴∠ADC ＝∠ABC ＝60°，
故①正确；
∵∠BDE ＝∠ACB ＝60°，∠ADC ＝∠ABC ＝60°，
∴∠BDE ＝∠ADC ，
又∠DBE ＝∠DAC ，
∴△DBE ∽△DAC ， ∴DB DE DA DC =, ∴DB •DC ＝DE •DA ，
∵D 是BC 上任一点，
∴DB 与DC 不一定相等，
∴DB •DC 与DB 2也不一定相等，
∴DB2与DE•DA也不一定相等，
故②错误；
如图2，作AH⊥BD于点H，延长DB到点K，使BK＝CD，连接AK，∵∠ABK+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ABK＝∠ACD，
∴AB＝AC，
∴△ABK≌△ACD（SAS），
∴AK＝AD，S△ABK＝S△ACD，
DK，
∴DH＝KH＝1
2
∵∠AHD ＝90°，∠ADH ＝60°，
∴∠DAH ＝30°，
∵AD ＝2，
∴DH ＝1
2AD ＝1，
∴DK ＝2DH ＝2，
AH =
∴S △ADK ＝12AH DK ⋅=
∴S 四边形ABDC ＝S △ABD +S △ACD ＝S △ABD +S △ABK ＝S △ADK
故③正确；
如图3，连接OA 、OG 、OC 、GC ，则OA ＝OG ＝OC ，
∵CF 切⊙O 于点C ，
∴CF ⊥OC ，
∵AF ⊥CF ，
∴AF ∥OC ，
∵∠AOC ＝2∠ABC ＝120°，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝1
2×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠CAG ＝∠OCA ＝30°，
∴∠COG ＝2∠CAG ＝60°，
∴∠AOG ＝60°，
∴△AOG 和△COG 都是等边三角形，
∴OA ＝OC ＝AG ＝CG ＝OG ，
∴四边形OABC 是菱形，
∴OA ∥CG ，
∴S △CAG ＝S △COG ，
∴S 阴影＝S 扇形COG ，
∵∠OCF ＝90°，∠OCG ＝60°，
∴∠FCG ＝30°，
∵∠F ＝90°，
∴FG ＝1
2CG ，
∵FG 2+CF 2＝CG 2，CF ＝
∴（12CG ）2+（2＝CG 2，
∴CG ＝4，
∴OC ＝CG ＝4，
∴S 阴影＝S 扇形COG ＝2
604360⨯π＝8
3
π， 故④正确，
∴①③④这3个结论正确，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，圆切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7、B
【分析】
根据圆周角定理，即可求解．
【详解】 解：∵1,502
ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．
8、A
【分析】
直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】
解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，
∴点P在圆内．
故选：A．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．
9、C
【分析】
如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．
【详解】
解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150
︒-︒-︒-︒=︒，
扇形②和④的圆心角的度数均为180606060
︒-︒-︒=︒，
则图中扇形的弧长总和150********
322 18018022
πππ
ππ⨯⨯
⨯+⨯=+=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180
n r l π=
，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．
10、A
【分析】 首先由△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB 与BC 的垂线，两垂线的交点即为△ABC 的外心．
【详解】
解：∵△ABC 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF 与MN 的交点O ′即为所求的△ABC 的外心，
∴△ABC 的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A
【点睛】
此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
二、填空题
1、241059
π- 【分析】
根据题意先得出△AOE ≌△DOE ,进而计算出∠AOD =2∠B =100°，利用四边形ODEA 的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．
【详解】
解：连接EO 、DO ，
∵点E 是AC 的中点，O 点为AB 的中点，
∴OE ∥BC ，
∴∠AOE =∠B ，∠EOD =∠BDO ，
∵OB =OD ，
∴∠B =∠BDO ，
∴∠AOE =∠EOD ，
在△AOE 和△DOE 中
OA OD AOE DOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AOE ≌△DOE ，
∵点E 是AC 的中点，
∴AE =12AC =2.4，
∵∠AOD =2∠B =2×50°=100°， ∴图中阴影部分的面积=2•12×2×2.4-21002360
π⋅⋅=241059π-. 故答案为：
241059
π-. 【点睛】 本题考查切线的性质以及圆周角定理和扇形的面积公式和全等三角形判定性质，注意掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
2、
103
π
【分析】
根据弧长公式代入求解即可． 【详解】
解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝
120510=1803
ππ
︒⨯⨯︒．
故答案为：103
π． 【点睛】
此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180
n r
π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径． 3、15 【分析】
根据圆周角定理可得正多边形的边AB 所对的圆心角∠AOB ＝24°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】
解：如图，设正多边形的外接圆为⊙O ，连接OA ，OB ，
∵∠ADB ＝12°， ∴∠AOB ＝2∠ADB ＝24°，
而360°÷24°＝15，
∴这个正多边形为正十五边形， 故答案为：15． 【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 4、54︒ 【分析】
根据圆内接正五边形的定义求出∠COD ，利用三角形内角和求出答案． 【详解】
解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， ∴∠COD=
360725
︒
=︒， ∵OC=OD ，
∴ODC ∠=(180)5412
COD ︒-∠=︒， 故答案为：54︒． 【点睛】
此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键． 5、()24π- 【分析】
根据勾股定理求出半径AO 的长度，然后根据弓形面积＝扇形OAB 的面积-三角形OAB 的面积，求解即可．
【详解】
解：由勾股定理得，
OA ==
由网格的性质可得90AOB ∠=︒，AOB ∆是等腰直角三角形，
∴
AB 和弦AB 所围成的弓形面积＝(2
2
909011
2436023602
AO AO BO πππ︒⨯⨯︒⨯⨯-=
-⨯=-︒︒
． 故答案为：()24π-． 【点睛】
此题考查了网格的特点和性质，勾股定理，扇形面积公式等知识，解题的关键是正确分析出弓形面积＝扇形面积-三角形OAB 的面积． 三、解答题
1、（1）①34；②3C ；③（34；（2）k k
【分析】
（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；
②先求出112OC =
，1OA =，即可得到1AC ==，假设点1C 是点A 关于⊙O 的12倍特征
点，得到11
2
AC AE =，则22AE OA =>=不符合题意，同理可以求出
3AC ==
3C 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，得到312AC AF =，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点2C 的坐标为（1
2，0），得到21
2AC =，则
21
4
AC AB =，则点2C 不是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点；
③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出
∠EOA =30°，再求出EF =
34OF =，即可得到点E 的坐标为（34；
（2）如图所示，设直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP ⊥CD 交CD 于P ，交圆
O 于B ，过点O 作直线EF ⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到MN NP ≥，AM BP ≤，由MN kAN =，可得
1
111MN k AM k k ==-+--，可以推出当MN AN
的值越大，k 的值越大，则当AM =BP ，MN =NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值． 【详解】
解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（12
-，0），
∴3
2
AP =
，B 点坐标为（-1，0）， ∴2AB =， ∵AP kAB =， ∴3
4
AP k AB =
=， 故答案为：3
4
；
②∵1C 的坐标为（0，1
2），A 点坐标为（1，0）， ∴11
2
OC =
，1OA =，
∴1AC =假设点1C 是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点， ∴
11
2
AC AE =，
∴22AE OA =>=不符合题意，
∴点1C 不是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点，
同理可以求出3AC ==
假设点3C 是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点， ∴
31
2
AC AF =， ∴3C 即为AF 的中点， ∴点F 的坐标为（0，-1）， ∵点F （0，-1）在圆上，
∴点3C 是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点， ∵点2C 的坐标为（1
2，0）， ∴21
2
AC =
， ∴
21
4
AC AB =， ∴点2C 不是点A 关于⊙O 的1
2倍特征点， 故答案为：3C ；
③如图所示，设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ， ∵点E 是点A 关于⊙O 的1
2倍的特征点，
∴
1
2
AE AB =， ∴E 是AB 的中点， ∴OE ⊥AB ， ∵∠EAO =60°， ∴∠EOA =30°，
∴1122AE OA ==，1
2
EF OE =，
∴OE ==
∴EF =
∴34
OF ==
，
∴点E 的坐标为（34；
（2）如图所示，设直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP ⊥CD 交CD 于P ，交圆
O 于B ，过点O 作直线EF ⊥CD 交圆O 于E ，F
∴MN NP ≥，AM BP ≤，
∵MN kAN =，
∴()1AM AN MN k AN =-=-，
∴
1
111MN k AM k k
==-+--， ∵当k 越大时，1k -的值越小， ∴1
11k
-+
-的值越大， ∴当
MN
AN
的值越大，k 的值越大， ∴当AM =BP ，MN =NP 时，k 的值最小，
∴当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小， ∵C 、D 是直线1y x =-+与x 轴，y 轴的交点， ∴C （1，0），D 点坐标为（0，1）， ∴OC =OD =1，
∴CD = ∵OG ⊥CD ，
∴CG DG ==
∴OG ==
，
∴1FG OF OG =-=-
∴
122FG
k EF
=
==， ∴k
∴当N 在E 点，A 在F 点时，k
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意进行求解． 2、（1）6.5米；（2）不能顺利通过，理由见解析 【分析】
（1）设圆心为O ，连接OC ，OB ，拱桥的半径r 米，作出相应图形，然后在RRRRRR 中，利用勾股定理求解即可得；
（2）考虑当弦长为7.8时，利用（1）中结论，可得弦心距 5.2 6.543=<-+d ，即可得出结论． 【详解】
（1）如图所示，设圆心为O ，连接OC ，OB ，拱桥的半径r 米，
在RRRRRR 中，
2226(4)r r =+-，
解得 6.5r =米；
（2）当弦长为7.8时，弦心距 5.2 6.543==<-+d ． ∴此货船不能顺利通过此圆弧形拱桥． 【点睛】
题目主要考查圆的基本性质，垂径定理，求弦心距，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，结合性质定理是解题关键．
3、（1）① 2；②
3P ；（2）t 的值为3或3-；（3）π 【分析】
（1）①根据定义解答即可；②分别找出123
PQ P Q PQ 、、的最大值，再根据定义判断即可；
（2） 如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为E （t ，3）是正方形ABCD
的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为 分0t <， 0t >和
0=t 分别讨论即可求解；
（3）分线段MN 在O 内部和在O 外部两种情况讨论即可. 【详解】
（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2， 故答案为：2；
②由图可知113PQ ≤≤，故1P 不是图形W 的“倍点”； 2114PQ ≤≤≠，故1P 不是图形W 的“倍点”；3
24PQ ≤≤，当Q （1，0）时，34PQ ==2d ，故P 为图形W 的“倍点”； 故答案为：3P ；
（2）如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为
依题意，若点E （t ，3）是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为 当0t <时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长． 取点H （1，3），则CH ⊥EH 且CH =4，此时可求得EH =4，从而点E 的坐标为()13,3E -，即3t =-；
当0t >时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长．由对称性可得点E 的坐标为()23,3E ，即3t =． 当0=t 时，显然不符合题意． 综上，t 的值为3或3-． （3）MN 上d =2，2d =4，
当线段MN 在O 内部时，T 组成的图形为半径为4的圆，216S r ππ==， 当线段MN 在O 外部时，T 组成的图形为半径为8的圆，264S r ππ==， 故点T 所构成的图形的面积为16π或64π. 【点睛】
此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
4、（1）见解析；（2）43
π．
【分析】
（1）连接OD ，由OD =OB ，利用等边对等角得到3B ∠=∠，再由已知角相等，等量代换得到∠1=∠3，
求出∠4为90°，即可得证；
（2）首先根据题意得到3130B ∠=∠=∠=︒，进而求出DOB ∠的度数，然后利用扇形的弧长公式求解即可．
【详解】
（1）证明：连接OD ，
OB OD =，
3B ∴∠=∠，
1B ∠=∠，
13∠∠∴=，
在Rt ACD ∆中，1290∠+∠=︒，
()41802390∴∠=︒-∠+∠=︒，
OD AD ∴⊥，
则AD 为圆O 的切线；
（2）∵∠CAD ＝30°，
∴由（1）可得，3130B ∠=∠=∠=︒，
∴1803120DOB B ∠=︒-∠-∠=︒，
∵OB ＝2， ∴120241803
BD l ππ︒⨯⨯=︒．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，扇形的弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质以及扇形的弧长公式是解本题的关键．
5、（1）证明见解析；（2）6 5
【分析】
（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OFC，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，即可求解；
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC，根据圆周角定理得出∠DFC＝90°，根据三角形函数的定义即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠OCF，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∵OF为半径，
∴FG是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝1
2
BC＝2，
∵sin∠ABC＝AC FG
AB FB
=，即
3
52
FG
=，
∴FG＝6
5
．
【点睛】
本题主要考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正弦的定义，准确分析计算是解题的关键．。