江苏大联考高三第八次联考数学(理)试题

江 苏 大 联 考
2015届高三第八次联考·数学试卷
考生注意:
1.本试卷分数学Ⅰ试题,共160分,考试时间120分钟;数学Ⅱ(附加题),共40分,考试时间30分钟.
2.答题前,考生务必将密封线内的项目填写清楚.
3.请将各题答案填在试卷后面的答题卷上.
4.交卷时,可根据需要在加注“”标志的夹缝处实行裁剪.
5.本试卷主要考试内容:高考全部内容.
数学Ⅰ试题
一、填空题.(本大题共14小题,每题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上.) 1.已知集合A={x|x ≥-2},集合B={x|x 2≤4},则集合(R B)∩A= ▲ .
2.已知a,b ∈R,i 是虚数单位,若a-i 与2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2= ▲ .
3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为理解它们的产品质量是否存有显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本实行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n= ▲ .
4.甲、乙两队实行足球比赛,若甲获胜的概率为0.3,甲不输的概率为0.8,则两队踢成平局的概率为 ▲ .
5.执行如下图的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 ▲ .
6.若
sin α=-3
5
,α
是第三象限的角,则
cos α2+sin α
2cos α
2-sin α2
=
▲ .
7.设 F 1、F 2分别是双曲线 C:x 2a 2-y 2b
2=1的左、右焦点,点 P(√62,√2
2
)在此双曲线上,且
PF 1⊥PF 2,则双曲线C 的离心率e= ▲ .
8.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,AA 1=AD=2,BE=1,F 是BD 1上一点,且EF ∥平面ADD 1A 1,则三棱锥E-AFC 的体积为 ▲ .
9.若S n 为等差数列{a n }的前n 项和,S 5=-10,S 9=-36,则a 3与a 5的等比中项为 ▲ . 10.在△ABC 中,|AB|=6,|AC|=8,O 为△ABC 的外心,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ▲ . 11.设函数f(x)=e x (sin x-cos x)(0<x<2π),则函数f(x)的极大值为 ▲ . 12.已知不等式组{lnm -lnn ≥0,
23-mn ≥0对任意正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围是
▲ .
13.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B 两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点C,D,设直线AB,CD 的斜率分别为k 1,k 2,则k
1k 2
= ▲ .
14.已知x ∈R,符号[x]表示不超过x 的最大整数,若函数f(x)=[x]
x -a(x ≠0)有且仅有3个零点,则a 的取值范围是 ▲ .
二、解答题.(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)
如图,在△ABC 中,B=π3
,BC=2,点D 在边AB 上,AD=DC,DE ⊥AC,E 为垂足.
(1)若△BCD 的面积为√3
3,求CD 的长;
(2)若ED=√6
2
,求角A 的大小.
16.(本小题满分14分)
如下图的五面体中,四边形ABCD 是矩形,AD ⊥平面ABEF,AB ∥EF,且AD=1,AB=1
2EF=2√2,AF=BE=2,点P 、Q 、M 分别为AE 、BD 、EF 的中点. (1)求证:PQ ∥平面BCE;
(2)求证:AM ⊥平面ADF.
17.(本小题满分14分) 已知椭圆T:x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)的离心率为√5
3,过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦
长为83
.
(1)求椭圆T 的方程;
(2)过点P(2,1)的两条直线分别与椭圆T 交于点A,C 和B,D,若AB ∥CD,求直线AB 的斜率.
18.(本小题满分16分)
某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为每千克1.8元,每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用(若n 天购买一次,需要支付n 天的保管费),其标准如下:7天以内(含7天),无论重量多少,均按每天10元支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每千克每天0.03元支付. (1)当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用p 是多少元?
(2)若该厂x 天购买一次配料,求该厂在这x 天中用于配料的总费用．．．y(元)关于x 的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少? 19.(本小题满分16分)
设函数f(x)=(x-1)e x -kx 2(其中k ∈R). (1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当k ∈(12,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.
20.(本小题满分16分)
已知数列{a n }中,a 1=3,a n+1+a n =3·2n ,n ∈N *.
(1)证明:数列{a n -2n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式.
(2)在数列{a n }中,是否存有连续三项成等差数列?若存有,求出所有符合条件的项;若不存有,请说明理由.
(3)若1<r<s 且r,s ∈N *,求证:使得a 1,a r ,a s 成等差数列的点列(r,s )在某一直线上.
数学Ⅱ (附加题)
21.【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小．．．．．．．题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,AB 为☉O 的直径,直线CD 与☉O 相切于E,AD 垂直CD 于D,BC 垂直CD 于C,EF 垂直AB 于F,连接AE,BE.求证:∠FEB=∠CEB.
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
已知二阶矩阵M=[2b
a 1],矩阵M 对应变换将点(1,2)变换成点(10,5),求M -1.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
已知曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是{x =1+tcosα,
y =tsinα(t 是参数).若直线l 与
曲线C 相交于A 、B 两点,且|AB|=√14,求直线倾斜角α的值.
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分) 已知a 、b 、c 都是正数,求证:1
2a +1
2b +1
2c ≥1
b+c +1
c+a +1
a+b .
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
某企业规定,员工在一个月内有三项指标任务.若完成其中一项指标任务,可得奖金160元;若完成其中两项指标任务,可得奖金400元;若完成三项指标任务,可得奖金800元;若三项指标都没有完成,则不能得奖金且在基本工资中扣80元,假设员工甲完成每项指标.
的概率都是1
2
(1)求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率;
(2)求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望.
23.(本小题满分10分)
设m>3,对于项数为m的有穷数列{a n},令b k为a1,a2,…,a k(k≤m)中的最大值,称数列{b n}为{a n}的“创新数列”.例如:数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数1,2,…,m(m>3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{c n}.
(1)是否存有数列{c n}的创新数列为等比数列?若存有,求出符合条件的创新数列;若不存有,请说明理由.
(2)是否存有数列{c n},使它的创新数列为等差数列?若存有,求出所有符合条件的数列{c n}的个数;若不存有,请说明理由.
2015届高三第八次联考·数学试卷
参 考 答 案
1.{x|x>2} 因为B={x|x 2≤4}={x|-2≤x ≤2},所以R B=(-∞,-2)∪(2,+∞),
则(
R B)∩A=(2,+∞).
2.3+4i ∵a -i 与2+bi 互为共轭复数,则a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.
3.13 n=3÷
60
120+80+60
=13. 4.0.5 甲不输包括甲获胜和甲、乙两队踢成平局,故其概率为0.8-0.3=0.5.
5.4 执行框图第一步:s=1+(1-1)=1,i=2;第二步s=2,i=3;第三步s=4,i=4;此时i>n,输出4.
6.-12 ∵α是第三象限的角,∴cos α=-45
,
∴cos α
2+sin α
2cos α2
-sin α2
=(cos α
2+sin α
2)2cos 2α2
-sin 2
α2
=1+sinαcosα=-12. 7.√2 将点P 代入可得3b 2-a 2=2a 2b 2,再由PF 1⊥PF 2可得√22√62
+c ×√2
2√6
2
-c =-1,
∴c 2=2,则根据c 2=a 2+b 2可得e=c a
=√2. 8.4
9
连接AD 1,由题知EF ∥AD 1,则
BE AB =BF BD 1=13,V E-AFC =V F-AEC =13×12×2×2×23=49
. 9.±2√2 在等差数列{a n }中S 5=5a 3=-10,得a 3=-2,同理得a 5=-4,从而得a 3与a 5的等比中项为±2√2.
10.14 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =4×8-3×6=14. 11.e π 由f'(x)=2e x sin x=0⇒sin x=0得x=π.经检验函数f(x)的极大值点为π,所以所求极大值为e π. 12.[4,+∞) 由{
23-mn ≥0,
lnm -lnn ≥0得{m ≥n >0,23≥mn ≥n 2,
则n ≤4,m ≥4.
13.1
2 设直线AB 的方程为y=k 1(x-2),联立{y =k 1(x -2),
y 2
=4x,得k 1y 2-4y-8k 1=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线
AC 的方程为y=
y 1
x 1-1
(x-1),联立{
y =
y 1x 1-1
(x -1),
y 2=4x,
得
y 1
4(x 1-1)
y 2-y-
y 1
x 1-1
=0,则y 1y c =-4,故y c =-4
y 1,同理y D =-4y 2
,故
k 2=
y D -y C
x D -x C =
4y D +y C =4-4(y 1+y 2
)y 1y 2
=2k 1,故k 1k 2=1
2.
14.(34,45]∪[43,32) 当0<x<1时,f(x)=
[x]x -a=-a,1≤x<2时,f(x)=[x]x -a=1x
-a,
2≤x<3时,f(x)=[x]x -a=2
x
-a,…. f(x)=
[x]x -a 的图象是把y=[x]x 的图象实行纵向平移而得到的,画出y=[x]
x
的图象,通过数形结合可知a ∈(34,45
]∪[43,3
2
).
15.解:(1)由已知得S △BCD =12
BC ·BD ·sin B=
√3
3
,又BC=2,sin B=
√3
2
,∴BD=23,cos B=12
.
在△BCD 中,由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos B=22+(23
)2-2×2×23×12=289
,∴CD=2√7
3
. .......... 7分 (2)∵CD=AD=
DE sinA =√62sinA ,在△BCD 中,由正弦定理得BC sin ∠BDC =CD sinB
,又∠BDC=2A,得2sin2A =√6
2sinAsinB ,解得cos A=
√2
2
,所以A=π
4
. ...................................................................................................... 14分
16.解:(1)连结AC,如下图.
因为四边形ABCD 是矩形,且Q 为BD 的中点, 所以Q 为AC 的中点.
又因为P 为AE 的中点,所以PQ ∥EC,
又因为PQ ⊄平面BCE,EC ⊂平面BCE,所以PQ ∥平面BCE. .................................................... 7分 (2)因为AB ∥EM,且AB=EM=2√2, 所以四边形ABEM 为平行四边形, 所以AM ∥BE,且AM=BE=2. 在△AMF 中,由AM=AF=2,MF=2√2, 得AM 2+AF 2=MF 2,故AM ⊥AF. 由AD ⊥平面ABEF,得AD ⊥AM,
因为AD ∩AF=A,所以AM ⊥平面ADF. ................................................................................ 14分
17.解:(1)由题意得{2b 2a =8
3
,a 2-b 2a 2=5
9
, 解得{a =3,b =2,
则椭圆T 的方程为x 29+y 24
=1. .............................................................................................. 6分
(2)设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗ , 则2-x 1=λ(x 3-2),1-y 1=λ(y 3-1),
故x 3=
2(1+λ)-x 1
λ,y 3=(1+λ)-y 1λ
. 因为点C 在椭圆上,所以x 329+y 3
2
4=1,则[2(1+λ)-x 1]29λ2+[(1+λ)-y 1]24λ2
=1, 整理得 (1+λ)2(
49+14)-2(1+λ)(2x 19+y 14)+x 129+y 1
2
4
=λ2, 由点A 在椭圆上知x 129+y 12
4
=1, 故(1+λ)2(49+1
4
)-2(1+λ)(
2x 19+y 1
4
)=λ2-1. ① 又AB ∥CD,则BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理可得 (1+λ)2(49+14
)-2(1+λ)(2x 29+y 2
4
)=λ2-1. ② ①-②得 29
(x 2-x 1)+14(y 2-y 1)=0.
由题意可知x 1≠x 2,则直线AB 的斜率为k=
y 2-y 1x 2-x 1
=-8
9
. ............................................................. 14分
18.解:(1)当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用
p=70+0.03×200×(1+2)=88元. .......................................................................................... 4分 (2)①当0<x ≤7时,y=200·x ·1.8+10x+236=370x+236.
②当x>7时,y=200·x ·1.8+236+70+200×0.03×[(x-7)+(x-8)+…+2+1] =3x 2+321x+432.
所以y={370x +236,0<x ≤7且x ∈N *,
3x 2+321x +432,x >7且x ∈N *.
设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元,
则f(x)={370+236
x
,0<x ≤7且x ∈N *,
3x +432x +321,x >7且x ∈N *
.
当0<x ≤7时,f(x)=370+
236
x
,f(x)是(0,7]上的减函数, 当且仅当x=7时,f(x)有最小值28267=4035
7
(元); 当x>7时,f(x)=3x+432x +321=3(x+144
x
)+321≥393, 当且仅当x=
144
x ,即x=12时取等号. 因为393<40357
, 所以当x=12时,f(x)有最小值393元.
答:该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最小. ............................................... 16分 19.解:(1)当k=1时,
f(x)=(x-1)e x -x 2,f'(x)=e x +(x-1)e x -2x=xe x -2x=x(e x -2). 令f'(x)=0,得x 1=0,x 2=ln 2, 当x 变化时,f'(x),f(x)的变化如下表:
x (-∞,0)
0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln 2),递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞). ..................................... 6分 (2)f'(x)=e x +(x-1)e x -2kx=xe x -2kx=x(e x -2k),令f'(x)=0,得x 1=0,x 2=ln(2k), 令g(k)=ln(2k)-k=ln 2+ln k-k,则g'(k)=1
k
-1=
1-k k >0,所以g(k)在(1
2
,1]上递增, 所以g(k)≤ln 2-1=ln 2-ln e<0,从而ln(2k)<k,所以ln(2k)∈[0,k],
所以当x ∈(0,ln(2k))时,f'(x)<0;当x ∈(ln(2k),+∞)时,f'(x)>0,
所以M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)e k -k 3}.
令h(k)=(k-1)e k -k 3+1,则h'(k)=k(e k -3k),令φ(k)=e k -3k,则φ'(k)=e k -3<e-3<0, 所以φ(k)在(12
,1]上递减,而φ(12
)·φ(1)=(√e -32
)(e-3)<0,
所以存有x 0∈(12
,1]使得φ(x 0)=0,且当k ∈(12
,x 0)时,φ(k)>0;当k ∈(x 0,1)时,φ(k)<0,所以φ(k)在(12
,x 0)上单调递增,在(x 0,1)上单调递减.
因为h(1
2
)=-12
√e +78
>0,h(1)=0,所以h(k)≥0在(12
,1]上恒成立,当且仅当k=1时取得“=”.
综上,函数f(x)在[0,k]上的最大值M=(k-1)e k -k 3. ................................................................... 16分 20.解:(1)将已知条件a n+1+a n =3·2n 变形为a n+1-2n+1=-(a n -2n ). .................................................. 1分
因为a 1-2=3-2=1≠0,则a n+1-2n+1
a n -2n
=-1(常数), ........................................................................... 3分 即数列{a n -2n }是以1为首项,公比为-1的等比数列, ................................................................ 4分 所以a n -2n =1·(-1)n-1=(-1)n-1,即a n =2n +(-1)n-1(n ∈N *). ................................................................ 5分 (2)假设在数列{a n }中存有连续三项成等差数列,不妨设连续的三项依次为a k-1,a k ,a k+1(k ≥2,k ∈N *),由题意得2a k =a k-1+a k+1,
将a k =2k +(-1)k-1,a k-1=2k-1+(-1)k-2,a k+1=2k+1+(-1)k ,代入上式得
2[2k +(-1)k-1]=[2k-1+(-1)k-2]+[2k+1+(-1)k ], ................................................................................ 8分 化简得-2k-1=4·(-1)k-2,即2k-1=4·(-1)k-1,得(-2)k-1=4,解得k=3.
所以,存有满足条件的连续三项a 2,a 3,a 4成等差数列............................................................. 10分 (3)若a 1,a r ,a s 成等差数列,则2a r =a 1+a s ,
即2[2r +(-1)r-1]=3+2s +(-1)s-1,变形得2s -2r+1=2·(-1)r-1-(-1)s-1-3.................................................. 11分 因为r,s ∈N *且1<r<s,下面对r 、s 实行讨论:
①若r,s 均为偶数,则2s -2r+1<0,解得s<r+1,与1<r<s 矛盾,舍去; ②若r 为奇数,s 为偶数,则2s -2r+1=0,解得s=r+1;
③若r 为偶数,s 为奇数,则2s -2r+1<0,解得s<r+1,与1<r<s 矛盾,舍去;
④若r,s 均为奇数,则2s -2r+1<0,解得s<r+1,与1<r<s 矛盾,舍去. ............................................. 15分
综合①②③④可知,只有当r 为奇数,s 为偶数时,a 1,a r ,a s 成等差数列,此时满足条件点列(r,s)落在直线y=x+1上. .................................................................................................................... 16分 21.A.证明:由直线CD 与☉O 相切,得∠CEB=∠EAB. 由AB 为☉O 的直径,得AE ⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=π2
; 又EF ⊥AB,得∠FEB+∠EBF=π2
,从而∠FEB=∠EAB.
故∠FEB=∠CEB. ........................................................................................................... 10分 B.解:由已知得[
2b a 1][12]=[10
5
],即{2+2b =10,a +2=5,解得{a =3,b =4,
所以M=[
243
1
],M -1=[-1
102
5
310
-15
]. ..................................................................................... 10分 C.解:由ρ=4cos θ得(x-2)2+y 2=4. 将{
x =1+tcosα,
y =tsinα
代入圆的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,
化简得t 2-2tcos α-3=0,
设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则{
t 1+t 2=2cosα,
t 1t 2=-3,
∴|AB|=|t 1-t 2|=√(t 1+t 2)2-4t 1t 2=√4cos 2α+12=√14, ∴4cos 2α=2,cos α=±
√2
2
,α=π4或
3π4
. ...................................................................................... 10分 D.证明:因为a>0,b>0,c>0, 所以12(12a +12b
)≥
2√ab ≥1a+b
,当a=b 时等号成立; 12(12b +12c )≥2√bc ≥1b+c
,当b=c 时等号成立; 12(12c +12a )≥12√ca ≥1c+a
,当a=c 时等号成立. 三式相加,整理得12a +12b +12c ≥
1b+c +1c+a +1
a+b
,当且仅当a=b=c 时等号成立. .................................. 10分 22.解:(1)若员工甲在一个月内所得奖金为400元,则他完成了三项指标中的两项,所以他获得400元奖
金的概率为C 32(1
2)2
(12)=38
. ................................................................................................... 4分
(2)设员工甲在一个月内所得奖金为X 元,由题意可知X 的可能取值为-80,160,400,800.
∵P (X=160)=C 31(12)(12)2=38;P(X=400)=C 32(12)2
(12)=38;P(X=800)=C 33(12)3=18;P(X=-80)=C 30(12)3=1
8
. ∴X 的分布列为
X
-80
160
400
800
P 18
38 38 18 数学期望为E(X)=-80×18+160×38
+400×38+800×18=300元. ...................................................... 10分
23.解:(1)存有数列{c n }的创新数列为等比数列.设数列的创新数列为{e n },
因为e m 为前m 个自然数中最大的一个,所以e m =m.若{e n }为等比数列,
设公比为q,因为e k+1≥e k (k=1,2,…,m-1),所以q ≥1.
当q=1时,{e n }为常数列满足条件,即为数列m,m,…,m.
当q>1时,{e n }为增数列,符合条件的数列只能是1,2,…,m,
又1,2,…,m 不满足等比数列.
综上,符合条件的创新数列只有一个. ................................................................................... 4分
(2)存有数列{c n },使它的创新数列为等差数列.
设数列{c n }的创新数列为{e n },因为e m 为前m 个自然数中最大的一个,
所以e m =m.若{e n }为等差数列,设公差为d,
因为e k+1≥e k (k=1,2,…,m-1),所以d ≥0,且d ∈N *.
当d=0时,{e n }为常数列满足条件,即为数列m,m,…,m(或写通项公式e n =m(n=1,2,…,m)),
此时数列{c n }是首项为m 的任意一个排列,共有A m -1m -1个数列; 当d=1时,符合条件的数列{e n }只能是1,2,…,m,此时数列{c n }是1,2,…,m,有1个;
当d ≥2时, ∵e m =e 1+(m-1)d ≥e 1+2(m-1)=e 1+m+m-2,又m>3,
∴m -2>0,∴e m >m,这与e n =m 矛盾,所以此时{e n }不存有.
综上,满足条件的数列的个数为A m -1m -1+1个(或回答(m-1)!+1个).
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