高一下期期中_圆周运动中的圆锥摆模型习题归纳

习题归纳
——圆周运动中的圆锥摆模型
济源一中 刘雨雷
一 基础模型
1.长为L 的细线，拴一质量为m 的小球，一端固定于O 点。

让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。

当摆线L 与竖直方向的夹角是α时，求： (1) 线的拉力F ；(2) 小球运动的角速度；
答案 (1)F=mg/cos α (2) ω=
α
cos L g
[变式训练]（2008年广东高考）有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图14所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。

转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ,不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
[解析] 设座椅的质量为m ，当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳对它的拉力T 及其自身重力的合力提供向心力，则有mg T =θcos ①. 座椅到中心轴的距离：θsin L r R +=②.
由于转动时钢绳与转轴在同一竖直平面内，故座椅的角速度与转盘的角速度相同，则有
)sin (sin 2
θωθL r m T +=③
由①②③式解得θ
θωsin tan L r g +=
【答案】θ
θωsin tan L r g +=
二 能力进阶
1.如图所示，长为l 的绳子下端连着质量为m 的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角为60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上.问:
(1)当球以多大角速度作圆锥摆运动时，桌面受到压力N 为零? (2)当球以
L
g =
ω作圆锥摆运动时，绳子张力T 为多
大?桌面受到压力N 为多大? (3)当球以L
4g =ω作圆锥摆运动时，绳子张力及桌面受到压力各为多大?
2．图14-A-12滑的圆锥顶端，用长为L=2m 的细绳悬一质量为m=1kg 的小球，圆锥顶角为2θ=74º，求：①当小球以ω=1rad/s 的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力；②当小球以ω=5rad/s 的角速度随圆锥体做匀速圆周运动时，细绳上的拉力。

3. 如图所示，直角架ABC 的AB 在竖直方向上，B 点和C 点各系一根细绳，两绳共吊着一个质量为1kg 的小球D ，且BD 垂直CD ，θ=300，BD=40cm ，当直角架以ω=10rad/s 的角速度绕AB 转动时，绳BD 和CD 的张力各为多大？
4.（2009中山市四校联考）如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。

则：
（1）当B 处绳子刚好被拉直时，小球的线速度v 多大？ （2）为不拉断细绳，转轴转动的最大角速度ω多大？
（3）若先剪断B 处绳子，让转轴带动小球转动，使绳子与转轴的夹角从45°开始，直至小球能在最高位置作匀速圆周运动，则在这一过程中，小球机械能的变化为多大？ [解析] （1）B 处绳被拉直时，绳与杆夹角θ＝45°，
mg T A =θcos ，
L
v
m
T A 2
sin =θ，
解得gL v =
（2）此时，B 绳拉力为T B ＝2mg ，A 绳拉力不变，
mg T A =θcos ，
L
m T T B A 2
sin ωθ=+
解得 L
g 3=
ω
（3）小球在最高位置运动时，
mg T A 2'
=，
mg
T A =αcos '
，
α＝60°，
α
αsin 2sin 2
'
L v m
T t
A
=，
得： 2
23gL v t =
则
)
2
12
1(
)cos (cos 22
2
mv mv L mg E t -
+-=∆αθ [规律总结] 处理临界问题的解题思路是：确定临界位置，分析向心力的来源，由向心力的极值得出速度的极值，或反过来由速度的极值得出向心力的极值
A
『教师参考书 补充习题b 组』AB 为竖直转轴，细绳AC,BC 的结点C 处系一质量为m 的小球，两绳能承担的最大拉力均为2mg,当AC,BC 均拉直时，角ABC=90度，角ACB=53度，BC=1m 。

ABC 能绕竖直轴AB 匀速转动，而C 球在水平面内做匀速圆周运动，求： （1）当质量为m 的小球的线速度增大时，AC,BC 哪条绳先断？
（2）一条绳被拉断后，m 的速率继续增大，整个运动状态会发生什么变化？
5. 如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB 两处，上面绳长l=2m ，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?
［解析］
设两细线都拉直时，A 、B 绳的拉力分别为
A T 、
B T ，小球的质量为m ，A 线与竖直方
向的夹角为︒=30θ，B 线与竖直方向的夹角为︒=45α，受力分析，由牛顿第二定律得：
当B 线中恰无拉力时，
θωθsin sin 2
1l m T A = ①
mg
T A =θcos ②
由①、②解得33
101
=
ωrad/s
当A 线中恰无拉力时，
θ
ωαsin sin 2
2l m T B =
③
mg T B =αcos ④ （3分）
由③、④解得3102=
ωrad/s
所以，两绳始终有张力，角速度的范围是
3
310
rad/s 310<<ω rad/s
［题后反思］本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。

比如正交分解法、临界分析法等。

综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度。

体现了对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查。

解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围介于这两个值之间时两绳始终有张力。

三模型拓展
1. 半径为R的光滑圆环上套有一个质量为m的小环，当圆环以角速度ω绕着过环心的竖直轴旋转时，求小环偏离圆环最低点的高度。

2. 沿半径为R的半球形碗底的光滑内表面，质量为m的小球正以角速度ω在一水平面内做匀速圆周运动，试求此时小球离碗底的高度.。