江苏省盐城中学高二数学暑假作业17：解析几何综合(教师版)

t
ab2 1 e2
a. a2b2e2
解得
因为 | t |
1e22
a, 又 0e1,因此e21,解得2 e 1.
0 e
2
因此当 2 时，不存在直线l，使得 BO//AN ；
2
e 1
当2时，存在直线l 使得 BO//AN.12 分
20.在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、 OC 分别在 x 轴和 y 轴上（如图），且
OC=1，OA=a+1( a>1) ，点 D 在边 OA 上，知足 OD =a. 分别以 OD 、OC 为长、短半轴的
椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线 l ： y=－ x+b 与椭圆弧相切，与AB 交于点 E.（1）求证： b2 a 2 1 ；
（2）设直线 l 将矩形 OABC 分红面积相等的两部分，求
直线 l 的方程；
（3）在（ 2）的条件下，设圆 M 在矩形及其内部，
且与 l 和线段 EA 都相切，求面积最大的圆M
的方程．
【解】题设椭圆的方程为x2
y21. a2
x2
y 21,
消去 y 得(1 a2) x22a2bx a2 (b2
由 a21) 0.
y x b
因为直线 l与椭圆相切，故△＝ (－ 2a2b)2－ 4a2(1+a2) (b2－ 1)＝ 0，化简得 b 2a2 1.①
（2）由题意知A（a+1， 0），B（ a+1， 1）， C（ 0，1），
于是 OB 的中点为
a 11
2, 2 .
因为 l 将矩形 OABC 分红面积相等的两部分，因此l 过点a 1
,1 ，22
即1
(a1) b ，亦即2b a2.②
2
2
6
由①②解得 a 4
, b
5
，故直线 l 的方程为 y x
5
. 333
（3）由（2）知E 5
,0, A
7
,0.
33
因为圆 M 与线段 EA 相切，因此可设其方程为(x x0)2( y r )2r 2 (r 0) .
0r≤1 , 2
因为圆 M 在矩形及其内部，因此x0 5 ,④
3 x0r ≤7 . 3
圆 M 与 l 相切，且圆 M 在 l 上方，因此3( x
r ) 5r ，即3(x0r ) 5 3 2r .
32
0r≤1 , 2
代入④得 5 3( 2 1)r 5 ,即 0r ≤ 2 .
333
5 32r ≤ 7 ,
33
因此圆 M 面积最大时， r2，这时， x07 2 .
33
22
故圆 M 面积最大时的方程为x72y2 2 .
339
7。