2020-2021备战中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案

2020-2021备战中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案
一、一元二次方程
1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2
﹣（2k +1）x +4（k ﹣
1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】
分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()2
14421402k k ⎛⎫-++-
= ⎪⎝⎭
解得：5
2
k = 当5
2
k =
时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；
当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣1
2
）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝
32
， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基
础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1
%2
a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2
%23
a ，求a 的值.
【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】
（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A 品牌的建材x 件.
根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得
()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
令%a y =，整理这个方程，得2
1030y y -=，
解这个方程，得1230,10
y y ==
， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
3．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？
【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1
2
×PB×QE，有P、Q点的移动速
度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝1
2
•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意，1
2
•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．
4．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【答案】（1）k＞3
4
；（215
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=522
m n
，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞3
4
；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形的对角线长为：()2
22215
m n m n mn
+=+-=.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
5．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：
【答案】
【解析】
由韦达定理，有，．于是，对正整数，有
原式=
6．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利
960元，求x 的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=⎧
⎨
+++=⎩
解之得：10
8
a b =⎧⎨
=⎩
答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.
7．关于x 的一元二次方程()2
2
210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值. 【答案】(1) k ＜1
4
;(2) k=0. 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值． 【详解】
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0， 解得：k ＜
14
， 即实数k 的取值范围是k ＜
14
； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，
∵x1+x2+x1x2-1=0，
∴1-2k+k2-1=0，
∴k2-2k=0
∴k=0或2，
∵由（1）知当k=2方程没有实数根，
∴k=2不合题意，舍去，
∴k=0．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．
8．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，
∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
9．关于x的一元二次方程．
（1）.求证：方程总有两个实数根；
（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）-1.
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.
【详解】
(1)证明：依题意，得
．
，
∴．
∴方程总有两个实数根．
由．
可化为：
得，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴．
∴．
∴的最小值为．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2
（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
11．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长。

【答案】（1）见详解；（2）410或4＋2.
【解析】
【分析】
（1）根据关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判别式的符号来证明结论.
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，②当该直角三角形的直角边和斜边分别是2、3时，由勾股定理求出得该直角三角形的另一边，再根据三角形的周长公式进行计算.
【详解】
解：（1）证明：∵△=（m＋2）2－4（2m－1）=（m－2）2＋4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m－2）2+4≥4＞0，即△＞0.
∴关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有两个不相等的实数根.
（2）∵此方程的一个根是1，
∴12－1×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2，
则方程的另一根为：m＋2－1=2+1=3.
①当该直角三角形的两直角边是1、3
形的周长为1＋3=4
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直
角边为1＋3＋=4＋
12．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．
【解析】
【详解】
解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
13．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．
()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有
多少名员工参加旅游？ 【答案】（1）2280；（2）15 【解析】 【分析】
对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；
对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值. 【详解】 （1）2280
()2因为1020020002625⨯=<．
因此参加人比10人多， 设在10人基础上再增加x 人，
由题意得：()()1020052625x x +-=． 解得 15x = 225x =， ∵2005150x -≥， ∴010x <≤，
经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．
1010515x +=+=
答：该单位共有15名员工参加旅游． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.
14．已知：关于x 的一元二次方程221
(1)204
x m x m +++-=.
（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足2
2211221184
x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，2
12124
x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】
解：（1）∵2
21(1)204
x m x m +++-=有两个实数根，
∴2
2
1(1)41(2)04
m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92
m ≥-
； ∴m 的最小整数值为：4m =-；
（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，2
12124
x x m =-， 由2
2
2
12121184
x x x x m ++=-
得： ()22211121844m m m ⎛⎫
⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭
∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-； ∵9
2
m ≥-
， ∴3m =. 【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则
12b
x x a +=-
，12c x x a
=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
15．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0． (1)若该方程的一个根为1，求k 的值；
(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值； （2）求出根的判别式是非负数即可. 【详解】
(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：
==-+=
a b k c k
1,(3),3
24
Q
∆=-
b ac
∴△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
所以不论k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.。