黑龙江省齐齐哈尔市2018届高考第二次模拟数学(理)试题含答案

齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试
数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
1M x x =<，{}
2
0N x x x =-<，则（ ）
A ．M N ⊆
B ．N M ⊆
C ．{}
1M N x x =< D ．{}
0M N x x =>
2.设(2)(3)3(5)i xi y i +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则x yi +等于（ ）
A ．5
B ．．2
3.某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.530，，样本数据分组为[]17.520，，[]2022.5，，[]22.525，，
[]2527.5，
，[]27.530，.根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（ ）
A ．68
B ．72
C ．76
D ．80 4.521(1)(1)x x
-
+的展开式中2
x 的系数为（ ） A ．15 B ．-15 C.5 D ．-5
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=><F ，过点F 与x 轴垂直的
直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若O
M N ∆的面积为20，其中O 是坐标原点，
则该双曲线的标准方程为（ ）
A ．
22128x y -= B ．22148x y -= C.22182x y -= D ．22
184
x y -= 6.某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．4+2π
B ．2+6π C.4+π D ．2+4π 7.执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）
A ．3.2
B ．3.6 C. 3.9 D ．4.9
8.等比例数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若6359,62S S S ==则，1a =（ ）
A ．．3 9.已知函数()cos(2.)0,2f x x πωωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，
将其图象向右平移6
π
个单位后得函数()cos 2.g x x =的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线23x π=对称 B ．关于直线6
x π
=对称 C.关于点2-
03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 D ．关于点5-012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称 10.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥
平面,5,12,13ABC AB BC AC ===,则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ ）
A
．
52 B
．52
C.26
．26
11.已知椭圆22
22=1
0)x y a b a a
+>>（的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆
，点P 为椭圆上的任意一点，则1211+PF PF 的取值范围为（ ）
A ．[]12， B
．
C.⎤⎦
D ．[]14，
12.已知对任意21,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
不等式2x
a e x >恒成立（其中 2.71828...e =，是自然对数的底数），
则实数a 的取值范围是（ ）
A ．02e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
， B ．0e （，） C.(,2)e -∞- D ．24(,
)e
-∞ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数,x y 满足条件40,220,0,0,x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
的最小值为-8,则实数=a ．
14.若函数()f x 是偶函数0x ≥时,()1(1)f x g x =+,则满足(21)1f x +<的实数x 取值范围是．
15. 已知平行四边形ABCD 中,2AD =,120BAD ∠=
,点E 是CD 中点，1AE BD ∙=
,
则BD BE ∙=
．
16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24a =,4=30S ,2n ≥时,112(1)n n n a a a +-+=+,则
{}n a 的通项公式n a =．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，已知sin 1
2sin sin 2cos B A C C
*
=- (I)求角B 的大小；
(Ⅱ)若1,a b =求ABC ∆的面积.
18.在四棱锥A DBCE -中，底面DBCE 是等腰梯形,2BC DE =,,BD DE CE ADE ==∆是等边三角形，点F 在AC 上.且3AC AF =. （I ）证明://AD 平面BEF ;
(Ⅱ)若平面ADE ⊥平面BCED ,求二面角A BE F --的余弦值.
19.近年来,随着科学技术迅猛发展,国内有实力的企业纷纷进行海外布局,如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默拓展海外市场,在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工,得到数据如下表:
(Ⅰ)根据调查的数据,判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”,并说明理由;
(Ⅱ)该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名,组成80后组,在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组
①求这12 人中,80后组90后组愿意接受外派的人数各有多少?
②为方便交流,在80后组、90后组中各选出3人进行交流,记在80后组中选到愿意接受外派的人数为x ,在90 后组中选到愿意接受外派的人数为y ,求x y <的概率. 参考数据:
参考公式:2
(2=()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -++++）
，其中n a b c d =+++
20. 设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F 在y 轴的正半轴上,点A 是抛物线上的一点，以A 为
圆心,2为半径的圆与y 轴相切,切点为F . (I)求抛物线的标准方程:
(Ⅱ)设直线m 在y 轴上的截距为6,且与抛物线交于P ,Q 两点,连接QF 并延长交抛物线的准线于点R ,当直线PR 恰与抛物线相切时,求直线m 的方程. 21.已知函数-1
()1x f x k nx x
=-
,且曲线()y f x =在点1(1))f （，处的切线与y 轴垂直. (I)求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)若对任意(0,1)(1,)x e ∈ (其中e 为自然对数的底数),都有()11
(0)1f x a x x a
+>>-恒成立,求a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=sin cos ρθθ+，点P 的曲线C 上运动.
(I)若点Q 在射线OP 上,且4OP OQ ∙=,求点Q 的轨迹的直角坐标方程;
(Ⅱ)设34,
4
M π⎛⎫
⎪⎝
⎭
,求MOP ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲
设0,0a b >>，且22
2a b ab +=，求证：
（Ⅰ）33
2a b +≥；
（Ⅱ）55
()()4a b a b ++≥
齐齐哈尔市2018届高三第二次模拟考试
数学试卷（理科）
一、选择题
1.B {}{}
2
001N x x x x x M =-<=<<⊆
2.A 2)(3)3(5)i xi y i +-=++（，6(32)3(5)x x i y i ++-=++，4,5y x yi =+=
3.B 3200.02+0.07 2.5=72⨯
⨯（）. 4.C 2
4555
C C -=.
5.A
由c a =2
2222225,5,4b c a a b a a
=+==，∴渐近线方程为2y x =±，则(,2)M c c -，-,2)N c c -（，∴
14202OMN
S C C ∆=⨯⨯=,210,c ∴=22
2,8a b ==，∴双曲线方程为22128
x y -=. 6.D 该几何体是一个三棱柱与一个圆柱的组合体，体积=22+12=2+4V ππ⨯⨯.
7.C 21,122k S ==+
=；282,2=33k S ==+；8219
=3=+=346k S ，；1921074,6530k S ==+=；1072117
=5=
+==3.930630
k S ，.输出=3.9S . 8.B 显然1q ≠±，由639S S =得3
1+9q =，38,2q q ∴==，又5151(12)
=62212
a S a -=
=-，. 9.D ()cos(2)3
f x x π
=+
.
10.C 由222
+AB BC AC =知AB BC ⊥,设球半径为1,R AA x =,则由1AA ⊥平面ABC 知
22213(2)x R +=，又24194R ππ=，5x ∴=，从而11AB C ∆
的面积为，又1ABB ∆面
积为
252，设点B 到平面11AB C 的距离为d
，则1125
=12335⨯⨯⨯
，d ∴=，
113BC =,∴直线1BC 与平面11AB C
所成角正弦值为
1d BC =
11.D 由22222,b a b c ==+
，
12()22
a c
b -=
2,1,a b c == 1212111122(4)a a
PF PF PF PF PF PF ∴
+==-,
又1PF ≤≤12
11
1+4PF PF ∴≤
≤. 12.A 由2
x a
e x >得
12121,x nx nx a a x >>，令21()nx f x x
=，则2
2(11)
'()0,0nx f x x e x -=
><<， ()f x ∴在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
是增函数，在2
,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，12()f e a e >=，02e a ∴<<. 二、填空题
13.-2 作出约束条件40,
220,0,0x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩表示的可行域,(0,0),(0,1),(2,2),(4,0)OABC O A B C ,
y ax z =-+，平移直线y ax =-至点40（，）时，min 4z a =，由48a =-，得2a =-. 14.
-54（，）-9219,54x x <+<-<< 15.13 由1AE BD ∙=
,得1(+)()12
AD AB AD AB ∙-= ,
设AB m = ，所以2
114+122
m m -=，解得3m =，
所以22
131319()+4+23+13222222
BD BE AD AB AD AD AB AB ∙=-=-∙=⨯⨯⨯= .
16.2
n 由112(1)n n n a a a +-+=+得112n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为2的
等差数列，
又3122(1)10a a a +=+=，412344=1430S a a a a a +++=+=，416a ∴=， 又4232(1)a a a +=+，39a ∴=，11a ∴=，213a a ∴-=， 所以132(2)21n n a a n n --=+-=-， 累加法得2n ≥时，
2112211()()...()(21)(23)...1n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=-+-++=，
又11a =，所以2n a n =. 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由
sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=-及sin sin()A B C =+得
2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin B C B C C B C C C =+-=+-，
2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC ∆KH ,sin 0C ≠，1cos 2B ∴=
，0<<,3
B B ππ∴= (Ⅱ)在AB
C ∆中，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-
21,,713
a b B c c π
===
∴=+-
260c c ∴--=0c > ，3c ∴=，
ABC ∴∆的面积1sin 2S ac B =
=
18.解：（Ⅰ）连接DC ,交BE 于点G ，连接FG .
∵在等腰梯形DBCE D 中，,2BD DE CE BE DE ===,
//BC DE ∴,2CG BC DG DE ∴
==, 3AC AF = ,2CF
AF
∴=,
CF CG AF DG
∴=,//AD FG ∴, 又AD ⊄平面BEF ，FG ⊂平面BEF ,所以//AD 平面BEF . （Ⅱ）取DE 中点O ，取BC 中点H ,连接,AO OH ,显然AO DE ⊥,
又平面ADE ⊥平面BCED ,平面ADE 平面BCED DE =,所以，AO ⊥平面BCED . 由于O H 、分别为DE 、BC 中点，且在等腰梯形DBCE 中，2BC DE =,
则OH DE ⊥,故以O 为原点，以OD 方向为x 轴，OH 方向为y 轴，以OA 方向为z 轴，建立下图所示空间直角坐标系.
设=2(0)BC a a >，可求各点坐标分别为
,0,0,0,000,02a B a C a E A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、、，
可得3,,,0,,,0222222a a AB a a a AE a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
、、BE=
224++(2,0,0),-,333BF BC CF BC CA a a a ⎛⎫⎛⎫
===-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设平面ABE 的一个法向量为111(,,)u x y z =，由00AB u AE u ∙=∙=
、
可得111110220
22
ax az a x az ⎧+-=⎪⎪⎨
⎪--=⎪⎩， 令11z =
可得1x =13y =
，则(u =.
设平面FBE 的一个法向量为222(,,)v x y z =，由00BE v BF v ∙=∙=
、
可得2
22223-0,240,
3
a x ax ⎧=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩
令2y =
221,3x z =-=-
则，()3
v =--.
从而11cos ,13
u v u v u v ∙=
===∙， 则二面角A BE F --的余弦值为
1113
. 19.解：（Ⅰ）由2
2
()=()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -++++可得其观测值
2100(20204020)400400100 2.778 2.706604060405760000
k ⨯⨯-⨯⨯⨯==≈≥⨯⨯⨯
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”. （Ⅱ）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3， 90后组中，愿意接受外派人数为4，
②“x y <”包含“0,1x y ==”“0,2x y ==”“0,3x y ==”“1,2x y ==”“1,3x y ==”
“2,3x y ==”六个互斥事件.
且031213342(0,1)3310066C C C C P x y C C ===⨯=，0321
33342
0,2)3310066C C C C
P x y C C ====⨯=（, 0330133420,3)3310066C C C C P x y C C ====⨯=（，122127
3342=1,2)3310066C C C C
P x y C C ===⨯=（，
123093342=1,3)3310066C C C C P x y C C ===⨯=（，213093342
=2,3)3310066
C C C C
P x y C C ===⨯=（，
所以13127991
()1002
P x y +++++<=
=.
20.解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为22(0)x py p =>，由以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ，所以=2p ，即该抛物线的标准方程为2
4x y =.
（Ⅱ）由题知，直线m 的斜率存在，不妨设直线1122:6,(,),(,)m y kx P x y Q x y =+， 由2
64y kx x y =+⎧⎨
=⎩，消y 得2
4240x kx --=，即1212424
x x k x x +=⎧⎨∙=-⎩. 抛物线在点12
1(,)4x P x 处的切线方程为112
1()42x x y x x -=-，令1y =-，得1
2
4
12x x x -=，所以2
4
1,1)21
x R
x --（，而,,Q F R 三点共线，所以QF FR k k =,及01F
（，），得2
1
221
1142412x x x x ---=-，即1222
(4)(4)16012
x x x x --+=，整理得22
12121212)4()216160x x x x x x x x ⎡⎤-+-++=⎣⎦（,
将*（）式代入得214k =，即12k =±，故所求直线m 的方程为162y x =+或162
y x =-+. 21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，因为2211'()k kx f x x x x
-=-=， 由题意知，'(1)=0f ，211,'()x k f x x -∴== ，所以由'()0f x >得1x >，由'()0f x <01x <<，
()f x ∴的单调减区间为
01（，），单调增区间为(1,)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）知1()11f x nx x =-+，()111111111(1)1f x nx nx x x x x x x x x ∴+=-++=-----， 法一：设1()1nx m x x =-，则211'()(1)
x x nx m x x x --=-， 令()11n x x x nx =--，则'()1111n x nx nx =--=-，
1x ∴>时，'()0n x <，()n x ∴在[)1+∞，上递减，()(1)0n x n ∴≤=，
(]1,x e ∴∈时，'()0m x <，()m x ∴在(]1e ，上是减函数，
(]1,x e ∴∈时，1()()1m x m e e >=-由题意知，111
a e ≤-，又0,1a a e >∴≥-， 下证1,01a e x ≥-<<时，111nx x a
>-成立， 即证11a nx x <-成立，
令)11x a nx x ϕ=-+（，则'()1a a x x x x
ϕ-=-=， 由1,1a e x x ≥-<<，'()0,()x x ϕϕ∴>∴在(]01，是增函数，
(0,1)x ∴∈时，()(1)0x ϕϕ<=，
11a nx x ∴<-成立，即111nx x a
>-成立，∴正数a 的取值范围是[)1,e -+∞. 法二：①当(0,1)x ∈时，11(0)1nx a x a
>>-可化为110(0)a nx x a -+<>， 令()11(0)g x a nx x a =-+>，则问题转化为验证()0g x <对任意(0,1)x ∈恒成立. '()1(0)a a x g x a x x
-=-=>，令'()0g x >，得0x a <<，令'()0g x <，得x a >， 所以函数()g x 在(0,)a 上单调递增，在,)a +∞（上单调递减.
()i 当01a <<时，下面验证()110((0,1))g a a na a a =-+>∈.
设()11(01)T x x nx x x =-+<<，则'()11110(01)T x nx nx x =+-=<<<.
所以()T x 在01（，）上单调递减，所以()(1)0T x T >=.即()0((0,1)g a a >∈.
故此时不满足()0g x <对任意(0,1)x ∈恒成立；
)ii （当1a ≥时，函数()g x 在01)（，上单调递增.
故()(1)0g x g <=对任意(0,1)x ∈恒成立，故1a ≥符合题意,
综合()i )ii （得1a ≥.
②当(1,)x e ∈时，11(0)1nx a x a
>>-，则问题转化为验证()0h x >对任意(1,)x e ∈恒成立. '()1(0)a a x h x a x x
-=-=>， 令'()0h x >得 0x a <<; 令'()0h x <，得x a >，
所以函数()h x 在(0,)a 上单调递增，在,)a +∞（上单调递减.
()i 当a e ≥时，()h x 在1,)e （上是增函数，所以()(1)0h x h >=
)ii （当1a e <<时，()h x 在1,)a （上单调递增，在(,)a e 上单调递减，
所以只需()0h e ≥，即1a e ≥-
()iii 当11a <≤时，()h x 在
1,)e （上单调递减，则需()0h e ≥. 因为()0h e a e =+-<不符合题意.
综合()i )ii （()iii ，得1a e ≥-.
综合①②，得正数a 的取值范围是[)1,+e -∞
22.解：（Ⅰ）设(,),(1,)(>0,10)Q P ρθρθρρ>,则1=sin cos ρθθ+， 又4OP OQ ∙=,14ρρ∴=,14
ρρ∴=,4
sin cos θθρ∴=+，
cos sin 4ρθρθ∴+=
将cos ,sin x y ρθρθ==代入得，点Q 轨迹方程为4x y +=
（Ⅱ）设(,)(>0)P ρθρ则3=cos sin ,4,4M πρθθ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
，
MOP ∴∆的面积134sin 224S πρθρθθ⎛⎫=⨯-=+ ⎪⎝⎭
2cos sin )sin 2)θθθ+=+≤
当且仅当sin 21θ=时，取“=”，取=4π
θ即可，
MOP ∴∆面积的最大值为（用直角坐标方程求解，参照给分）
23. 解：（Ⅰ）220,0,2a b a b ab >>+= ，
33332222)2()()a b a b a b ab a a b b b a ∴+-=+--=-+-（
222=)()()()0a b a b a b a b --=-+≥（，
332a b ∴+≥.
（Ⅱ）5566553323355()()()2a b a b a b a b ab a b a b a ab ++=+++=+-++ 3324224332222=()(2)()()a b ab a a b b a b ab a b ++-+=++-， 330,0,2,a b a b >>+≥ 552)(2=4a b a b ∴++≥（.。