第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理

第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理
一、等价鞅测度的基本涵义
1、鞅的定义：
随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件： （1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。

（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{01 2、等价鞅测度的定义
随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件： （1）S （t ）在t φ信息结构下已知。

（2）+∞<|)(|t S E
（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。

即∑===k
i t i t S S P T S E 1)(*}|)({*φ
式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条件概率。

则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。

根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。

为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。

假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。

假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。

由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。

若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。

为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。

在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。

这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。

实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定：
100*)]1(90*110[5.01.0=-+⨯-P P e P*=
根据风险中性定价原理，我们就可以算出该期权的价值：
5975.3)2436.007564.05(5.01.0=⨯+⨯=⨯-e f
二、从实例考察等价鞅测度的存在性和唯一性
参阅《金融工程原理》P,108-P112 例1. 通过等价鞅概率求期望值 （1）先求各状态下该奇异期权的价值
奇异期权：合约结构不标准而且很复杂，而不是说很罕见、很少交易或高风险的期权。

可分为三种类型：合同条件变更型期权（改变期权的某些条件）、路径依赖型期权（最终结算根据基础资产价格在一段时间内的变化路径来决定）、多因素期权（最终结算根据两种或两种以上基础资产的价格来决定）。

[](){}
1212max 2(2)(2)142min (),(),0x s s s t s t =+-+⎡⎤⎣⎦
所以1()max{[2149142min(10,11,14,10,9,9)],0}x ω=⨯+--
=28+9-14-18=5
同理可求得92,1),(1 =i x ω，如以下图示：
（2）求出所有的等价鞅测度 由等价鞅测度的条件3可知：
)(}/)({*s s t S S E ξξ=Φ
所以：10)0()/)1((*101==ΦS S E 10)0()/)1((*202==ΦS S E 如果记)/(*01Φ=B P p )/(*02Φ=B P q
则一定有1-p-q=)/(*03ΦB P
由上两式可知：
⎩
⎨⎧=--++=--++10)1(1110910)1(81111q p q p q p q p 解此方程组可得唯一解：p=q=1/3
同理可求得：)/(*1j B P ω i=1,2,…9 j=1,2,3
因为所有解都可求出，而且是唯一的，所以由无套利均衡第二基本定理可知该模型是有生存性的，所有的衍生证券均可通过无套利均衡来定价。

（3）求奇异买权的价格
∑====∏9
1
2167.1)(*)()(*ˆi i i P x x E ωω
例2. 首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：
10)0()/)1((*101==ΦS S E
记)/(*01Φ=B P p 则1-p 20*(/)P B =Φ 可得方程组：
⎩
⎨⎧=--++=--++10)1(1110910)1(81111q p q p q p q p 即⎩⎨⎧==122
3p p
所以此方程组无解，故不存在等价鞅测度，该模型无生存性，不是一个均衡模型。

例3. 首先求等价鞅测度P*，由等价鞅测度的条件3可知：
10)0()/)1((*101==ΦS S E
记)/(*01Φ=B P p q )/(*02Φ=B P 则一定有1-p-q=)/(*03Φ=B P
11p+10q+8(1-p-q)=10 即3p+2q=2
显然，上面这个方程有无数组解。

同理，由11)1()/)2((*111==S B S E 也可以解得无数个解，所以等价鞅测度有无数个，从而该模型有生存性，但是并非所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价。

因为衍生证券的价格x 要保证为一个常数才有意义，所以应该有一定的限制条件。

我们虽然得不到唯一的等价鞅测度，但由等价鞅测度的条件3我们可以得到以下关系式：
10201121425273833*(/)2*(/)2
2*(/)2*(/)12*(/)2*(/)13*(/)2*(/)2
P B P B P B P B P B P B P B P B ωωωωωωΦ+Φ=⎧⎪-=-⎪⎨-=-⎪⎪-=⎩ （*） 我们需要保证：∑==9
1)(*)()(*i i i P x x E ωω是一个常数.
)/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(*)()/(*)/(**)()/(*)/(*)()(*033990338803377022660225502244011330112201111Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ=B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P x B P B P P x B P B P x x E ωωωωωωωωωωωωωωωωωω（书上的表达方式不太准确）
由上式和方程组（*）经过推导可得：
⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=---+-----+---=---=---=--23
)()]()(3/2)([)]()([2/1)
()]()(3/2)([)]()([212/3)]()(/[)]()([1
)]()(/[)]()([1)]()(/[)]()([997664997331989765643231ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x (**) （**）方程组就是使我们寻找的限制条件，在这一条件下E *（x ）在任何等价鞅测度下都为一常数。

由方程组（*）可求得两个等价鞅测度P*和Q*（书111页），从而算得
∑∑=====9
1
9
1
)(*)()(*)(*)()(*i i i i i i Q x x E P x x E ωωωω
总结：
（1）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数大于事件树每个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场中一定存在套利机会。

（如例2）
（2）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数等于事件树每
（**）
个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场中所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价，或者说，对每种衍生证券来说，市场都是完全的。

（如例1）
（3）如果一个市场中价格变化过程各自独立的证券种数小于事件树每个父辈节点的分叉数（即状态数）时，则该市场并非所有的衍生证券都可通过无套利均衡定价。

市场只对其期末价值满足一定比例关系式的衍生证券才是完全的。

（如例3）
三、用鞅方法推导B ～S 模型
（1）鞅：对于{X t t ≤T}，EX T =X t 称X t 是鞅。

（2）资产S ，服从几何布朗运动： dz dt s
ds
σμ+= 在风险中性世界，且无“股利”支付时： dz rdt s
ds
σ+= 解上面方程得：
)
())(2
2
(t Z t Z t T r e
S S t T -+--
=σσ （上式积分求解）
∵ES T =S t e r(T-t) (上式两边求期望)
∴{S t , t ≤T}本身不是鞅
但折现之后就变为鞅，即e -r(T-t)S t 是鞅。

因为： e -r(T-t) ES t = S t e r(T-t)e -r(T-t)
Ee -r(T-t)S T =S t
（3）下面用期望折现，即鞅方法定价，（为期权定价）
根据欧式期权定义：C T =max(S T -x ，0), 因为e -r(T-t)S T 是鞅，所以e -r(T-t)C T 也是鞅， 则Ee -r(T-t)C T =C t C t =e -r(T-t)EC T
∴+-----=-=)(}0),{max ()()
(x S E e x S E e
C T t T r T t T r t =+---
---)[()()
)(2
()
(2
X e e
S E e
t T Z Z t T r t t T r σσ
=⎰⎰⋅-∞
+∞--+---
--t T t T Z Z Z Z t T r t t T r dx x X e e
S e )()()()
)(2
()
(2σσ
令t
T Z Z y t T --=
则y ～N （0，1）
∴上式 =
dy e
X e S e e y y
t T t t T r t T r 2
)
)(2
()
(2
221)(-
+
⨯-∞
+∞---
---⎰π
σ
σ
求临界值y i ，即等于0时的y 值
由X e e
S y
t T t T r t =⨯---
σ
σ)
)(2
(2
解出12))(2(ln y t
T t T r S X y =----=
σσ 故
dy e
e e S e C y y y
t T t T r t t T r t 2
)
)(2
()
(2
1221-
∞
+⨯---
--⎰=π
σ
σ
dy e
X
e
S y y t T r t 2
)
(21
21-∞
+--⎰-π
(进行配方)
)](1[211)(2
2)(2
1
22
y N Xe dy e
e
S t t r y y
t T y t T t --⎰
=--∞+⨯---
--
σσπ
)](1[211)(2
)
()(2)
(2
1
2222
y N Xe dy e
e
S t T r y t T t T y t T y t T t --=--∞
+---+---
--
⎰
σσσσπ
)]
(1[211)()(2
1
)(2
1)
(2
1
22
2
y N Xe dy
e
e
e
S t t r y t T y t T t T t --=--∞
+------
⎰
σσσπ
(令m=t T y --σ)
)](1[1)(2
)(2
1)
(2
122
2
y N e X dm e
e
e
S t T r t
T y m t T t T t --=--∞
+------⎰
σσσ
∴ =)()(2)
(1d N Xe
d N S t T r t ---
其中：t T t T r S X t T y d -----=---=σσσ)])(2([ln )(211+t
T t T r X S t T --++=-σσσ))(2(ln 2 12d d =-t T -σ。