【学海导航】高考数学第一轮总复习-5.5解斜三角形及其应用举例(第1课时)课程案例-理-(广西专)

(2)由题意得 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，
即 sinBcosA＝2sinAcosA.
当 cosA＝0 时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.
当 cosA≠0 时，得 sinB＝2sinA.
由正弦定理得 b＝2a，联立方程组ba＝ 2＋2ba2－ab＝4 ，
解得 a＝233，b＝433.
4.用向量的数量积求三角形内角时，需 通过向量的方向判断向量的夹角与三角形 内角是相等还是互补.
在△ABC中，角A、B、C所对的边长别为a、 b、c.若C=120°，c=a，则( A )
A. a>b
B. a<b
C. a=b
D. a与b的大小关系不能确定
解：因为c2=a2+b2-2ab•cosC，c=a，
所以2a2=a2+b2-2ab•cosC， 所以a2=b2-2ab•cos120°=b2-2ab•(12- )=b2+ab， 所以a2-b2=ab，所以a2>b2，即a>b，故选A.
想 这是高考的热点.
1. 三角形的内角和等于180°.
2.三角形中任意两边之和大于第三边，任 意两边之差小于第三边.
3.三角形中大边对大角，小边对小角. 4.正弦定理 sinaAsinbBsincC=① __2_R__(R__为__△_A_B__C_的__外__接__圆__半__径__)____. 5.勾股定理c2=a2+b2(其中c为直角三角形的 斜边).
A<B=
，2
故A=
4
.
6
题型2 利用余弦定理解三角形
2. (原创)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、 C的对边，且满足b2=a2+c2+ac.
(1)求角B的度数；
(2)若b= 1 9，a+c=5(a>c)，求cosA的值.
解：(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及条件
可得:-2accosB=ac,即cosB=-
解：由已知sinB+cosB= 2 ， 两 边 平 方 整 理 得 1+sin2B=2 ， 即 sin2B=1 ，
又 B 为 三 角 形 的 内 角 ， 故 2B= ， 即
B= .
据4 正弦定理可得 =
解得sinA=
.
a sin A
，即 =2 ，
b
22
sin B
sin A sin
又 由 于 a<b ，1 据 大 角 对 大 边 原 则 ，4 即
(1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ ABC 的面积．
解：(1)由余弦定理及已知条件，得 a2＋b2－ab＝4. 又因为△ABC 的面积等于 3， 所以12absinC＝ 3，得 ab＝4. 联立方程组aa2b＋＝b42－ab＝4 ，解得 a＝2，b＝2.
所以△ABC
的面积
S＝12absinC＝2
3
3 .
1. 根据所给条件确定三角形的形状，主 要有两种途径：
(1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实 施边角转换.
2. 用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适 当应用向量数量积求三角形的内角或应用向 量的模求三角形边长等.
3.在判断三角形形状或解斜三角形时， 一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含 条件.
所以 b s i n B s i n A 3 .
c
2
点评：已知三个独立的条件(至少有一 个是边的条件)来解斜三角形，关键是正 确选用正弦定理(或余弦定理)及对定理公 式的应用.若涉及面积问题时，还需用到 面积公式：
S 1absinC 1acsinB 1bcsinA.
2
2
2
在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边 长分别是 a，b，c，已知 c＝2，C＝3π.
2bc 2bc 2
(2)解法1:在△ABC中,由正弦定理得 s i n B b s i n A .
a
因为b2=ac，A=60°，
所以 bsinBb2sin60sin60 3.
c
ca
2
解法2:在△ABC中，由面积公式得
1bcsinA1acsinB.
2
2
因为b2=ac,A=60°,所以bcsinA=b2sinB，
题型3
解斜三角形
3. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、
C的对边.已知a、b、c成等比数列，且a2-
c2=ac-bc，求:
(1)A的大小；(2) b s in B的值.
c
解：(1)因为a，b，c成等比数列，
所以b2=ac，又a2-c2=ac-bc，
所以b2+c2-a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得 cosAb2c2-a2bc1， 所以A=60°.
3.△ABC中,已知 s in A :s in B :s in C 1 :1 :,2 且
S△ABC =
1 2
，则
A B B C B C C A C A A B 的值是(
C)
A. 2
B. 2
C. -2
D. - 2
解：△ABC中，已知 s in A :s in B :s in C 1 :1 :2
解法1：sinA>sinB
sin(ABA-B)-sin(AB-A-B)0
22
22
2cosABsinA-B0.
2
2
在△ABC中， 0AB,-A-B,
所以sinA>sinB 2sinA-2B202 AB故.2选C.
2
解法2：在△ABC中，sinA>sinB a b
2R 2R
a b A B .故选C.
6.余弦定理c2=②__a_2_+_b_2_-_2_a_b_c_o_sC__;cosC=③ ____a_2__b_2 _- _c 2_____.
7.三S 2角ab 形12 a的h(面其积中公h是式边: aS上的 12高a)b.sinC.
8.由A+B+C=π，易推出： (1)sinA=sin(B+C)，cosA=-cos(B+C)， tanA=-tan(B+C).
定理求角,二是已知两边及一角求第三边.
在△ABC 中，已知 a、b、c 分别是角 A、 B、C 的对边，若ab＝ccoossBA，试确定△ABC 的形状．
解：由ba＝ccoossAB，得 acosA＝bcosB， 所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
(2)若A=
3
6
6
，则边b=___2_或__1___.
解:
(1)由正弦定理
a sin
A
sincC得,
s
i
n
又a＜c，所以A2
(2)同理由
a sin
A
sincC得,
sin
6
A
a sin C
c
3. 2
得C= 或 2 .
当C=
3
3
时，B=
，可得b=2；
第五章 平面向量
第讲
（第一课时）
●关于三角形边、角的主要关系式 考 ●利用正、余弦定理判断三角形的形 点状
搜 ●利用正、余弦定理及三角形面积公 索 式等解三角形
●正、余弦定理的综合运用
高 高考常以选择题、填空题出现，
考
考查正、余弦定理；也经常以应用 题的形式出现在大题中，考查三角
猜 函数与平面向量知识的综合运用，
b a ,c2 a C ,A B ,
2
4
SABC1 2 1 2a21 2 ab1,c2.
ABBCBCC AC AAB21cos3012cos3-2.
4
4
故选C.
题型1 利用正弦定理解三角形
1. (原创)在△ABC中，角A、B、C所对的边分
别为(1a)、若bC、=c， ，且则a=角1，Ac==_____.3__ __；
1 2
,所以B=120°.
(2)由b2=a2+c2+ac，得b2=(a+c)2-ac，
即19=25-ac，所以ac=6.
由
a a
c c
6
5得,
a
c
3或
2
a 2 c 3(舍去) .
由余弦定理得 cosAb2c2-a2 7 19.
2bc 38
点评：余弦定理的直接应用有两个方面:
一是已知三边(或三边的关系)可用余弦
当C=
2 3 时，B=
2
，可得b=1.
3
故(1)中填
；(2)6 中填2或1.
6
点评：已知两边及其中一边的对角解 三角形时，注意对解的情况进行讨论， 讨论时一是根据所求的正弦值是否大于1， 二是根据两边的大小关系确定解的情况.
(2010•山东卷)在△ABC中，角A，B，C所
对的边分别为a，b，c.若a= 2 ，b=2 ， sinB+cosB= 2 ，则角A的大小为__________．
( 2 ) s i n A c o s B C ,c o s A s i n B C ,t a n A c o t B C . 2 22 22 2
1.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的( C)
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件