2021-2022学年度沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评练习题(精选)

沪科版九年级数学下册第24章圆综合测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是
（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（）
A．AM=BM B．CM=DM C．AC BC
=D．AD BD
=
3、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）
A ．80°
B ．70°
C ．60°
D ．50°
4、已知⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．相交或相切
5、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）
A 3π
B 3π-
C 23π-
D ．23
π 7、计算半径为1，圆心角为60︒的扇形面积为（ ）
A ．3π
B ．6π
C ．2π
D ．π
8、如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上的两点，若130BOC ∠=︒，则ADC ∠=（ ）
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
9、已知⊙O 的半径为4，5OA =，则点A 在（ ）
A ．⊙O 内
B ．⊙O 上
C ．⊙O 外
D ．无法确定 10、如图，直线3
34y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 是x 轴上一动点，以点P 为圆心，以
1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线AB 相切时，点P 的坐标是（ ）
A．
7
(,0)
3
-B．
17
(,0)
3
-
C．
7
(,0)
3
-或
17
(,0)
3
-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在等腰直角ABC
∆中，已知90
ABC︒
∠=，将ABC
∆绕点C逆时针旋转60°，得到∆MNC，连接BM，若2
AB=，则BM=________．
2、圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则全面积为______．
3、一条弧所对的圆心角为120︒，弧长等于6cm
π，则这条弧的半径为________．
4、如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为
________．
5、如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于H ，∠A =30°，OH =1，则⊙O 的半径是______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点D ，E 分别在边CA ，CB 上，CD CE =，连接DE ，AE ，BD ．点F 在线段BD 上，连接CF 交AE 于点H ．
（1）①比较CAE ∠与CBD ∠的大小，并证明；
②若CF AE ⊥，求证：2AE CF =；
（2）将图1中的CDE △绕点C 逆时针旋转()090αα︒<<︒，如图2．若F 是BD 的中点，判断2AE CF =是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.
2、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．
（1）求证：AC 为⊙O 的切线；
（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．
3、如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，75BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，与BA 的延长线相交于点E ．
（1）求证：AD ∥EC ；
（2）若AD ＝6，求线段AE 的长．
4、如图1，BC 是⊙O 的直径，点A ，P 在⊙O 上，且分别位于BC 的两侧（点A 、P 均不与点B 、C 重合），过点A 作AQ ⊥AP ，交PC 的延长线于点Q ，AQ 交⊙O 于点D ，已知AB ＝3，AC ＝4．
（1）求证：△APQ∽△ABC．
（2）如图2，当点C为PD的中点时，求AP的长．
（3）连结AO，OD，当∠PAC与△AOD的一个内角相等时，求所有满足条件的AP的长．
5、如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD∥弦BC．
（1）求证：弧AD=弧CD；
（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【详解】
解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2、B
【分析】
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．
【详解】
解：∵弦AB ⊥CD ，CD 过圆心O ，
∴AM =BM ，AC BC =，AD BD =，
即选项A 、C 、D 选项说法正确，不符合题意，
当根据已知条件得CM 和DM 不一定相等，
故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．
3、A
【分析】
根据三角形旋转得出DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，根据点A ，D ，E 在同一条直线上利用邻补角关系求出18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC =50°，由此即可求解．
【详解】
证明：∵ABC 绕点C 逆时针旋转得到DEC ，
∴DC AC =，130EDC BAC ∠=∠=︒，
∴∠ADC =∠DAC ，
∵点A ，D ，E 在同一条直线上，
∴18050ADC EDC ∠=︒-∠=︒，
∴∠DAC =50°，
∴∠BAD =∠BAC -∠DAC =80°
故选A ．
【点睛】
本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．
4、B
【分析】
圆的半径为,r 圆心O 到直线l 的距离为,d 当d r =时，直线与圆相切，当d r 时，直线与圆相离，
当d r <时，直线与圆相交，根据原理直接作答即可.
【详解】 解： ⊙O 的直径为10cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，
∴ ⊙O 的半径等于圆心O 到直线l 的距离，
∴ 直线l 与⊙O 的位置关系为相切， 故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定，掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关
键.
5、C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C ．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
D ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、A
【分析】
连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12
ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC
中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形
面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603
OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可． 【详解】
解：连结OC ，
∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，
∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，
∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，
∴∠ACD =90°-∠B =60°，
∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，
在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =
在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，
∴OD =OA =1，DC =AC
∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603
OAD S ππ⨯扇形，
S 阴影=1133
AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．
【点睛】
本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积
是解题关键．
7、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】
2260113603606
n r S πππ︒⨯⨯===︒︒扇形 故选：B ．
【点睛】 本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式2360n r S π=︒
扇形
是解题的关键． 8、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC 的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC =130°，
∴∠BDC =12∠BOC =65°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB =90°，
∴∠ADC =90°-65°=25°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9、C
【分析】
根据⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5知d>r，据此可得答案．
【详解】
解：∵⊙O的半径r=4，且点A到圆心O的距离d=5，
∴d>r，
∴点A在⊙O外，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d=r；③点P在圆内⇔d＜r．
10、C
【分析】
由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵直线
3
3
4
y x
=--交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD ⊥AB ，PD =1，
∵∠ADP =∠AOB =90°，∠PAD =∠BAO ，
∴△APD ∽△ABO ， ∴PD AP OB AB
=， ∴1
35
AP =， ∴AP = 5
3，
∴OP = 7
3或OP = 173
， ∴P 7(,0)3
-或P 17(,0)3-， 故选：C ．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．
二、填空题
1【分析】
如图连接BN 并延长，过点M 作MD BN ⊥交于点D ，90MDN ∠=︒，由题意可知BCN △为等边三角
形，60BNC ∠=︒，30MND ∠=︒，在Rt MND △中2sin 301cos30MN DN MN ND MN ==︒==︒，，
在Rt BDM 中BM
【详解】
解：如图连接BN 并延长，过点M 作MD BN ⊥交于点D ，90MDN ∠=︒
由题意可知60BCN ∠=︒，BC CN AB MN ===，BCN △为等边三角形
60BNC BN BC CN ∠=︒==，
90CNM ∠=︒ 30MND ∠=︒
在Rt MND △中2sin 301cos30MN DN MN ND MN ==︒==︒=，，
在Rt BDM 中BM ==
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形，勾股定理，含30︒的直角三角形等知识．解题的关键在于做辅助线构造直角三角形．
2、2r rl ππ+
【分析】 根据圆锥的展开图为扇形，结合弧长公式、圆周长的求解公式、面积的求解公式，圆锥侧面积的求解公式可得出答案．
【详解】
解：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥的底面圆周
长，
故可得，这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π， 圆锥的侧面积为122
S r l rl ππ=⋅⋅=侧； 圆锥的全面积为圆锥的底面积+侧面积：2S S S r rl ππ=+=+侧全底．
故答案为：2r rl ππ+．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．
3、9cm
【分析】 由弧长公式180n r l π=
即可求得弧的半径． 【详解】 ∵180
n r l π= ∴18018069(cm)120l r n πππ⨯=
== 故答案为：9cm
【点睛】
本题考查了扇形的弧长公式，善于对弧长公式变形是关键．
4、30︒
【分析】
先根据旋转的性质求得CAB ∠，再运用三角形内角和定理求解即可．
【详解】
解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°
∴∠=∠=︒，
BAC DAE
110
∠=︒，
B
40
∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
C B BAC
1801804011030
故答案是：30°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．5、2
【分析】
连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】
解：连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠COH=2∠A=60°，
∵弦CD⊥AB于H，
∴∠OHC=90°，
∴∠OCH=30°，
∵OH=1，
∴OC =2OH =2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了垂径定理和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
三、解答题
1、（1）①∠CAE =∠CBD ，理由见解析；②证明见解析；（2）AE =2CF 仍然成立，理由见解析
【分析】
（1）①只需要证明△CAE ≌△CBD 即可得到∠CAE =∠CBD ；
②先证明∠CAH =∠BCF ，然后推出∠BDC =∠FCD ，∠CAE =∠CBD =∠BCF ，得到CF =DF ，CF =BF ，则BD =2CF ，再由△CAE ≌△CBD ，即可得到AE =2BD =2CF ；
（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC =CG ，连接BG ，只需要证明△ACE ≌△BCG 得到AE =BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG =2CF ，即可证明AE =2CF ．
【详解】
解：（1）①∠CAE =∠CBD ，理由如下：
在△CAE 和△ CBD 中，
=CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
， ∴△CAE ≌△CBD （SAS ），
∴∠CAE =∠CBD ；
②∵CF ⊥AE ，
∴∠AHC =∠ACB =90°，
∴∠CAH +∠ACH =∠ACH +∠BCF =90°，
∴∠CAH =∠BCF ，
∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD，∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，
∴CF=DF，CF=BF，
∴BD=2CF，
又∵△CAE≌△CBD，
∴AE=2BD=2CF；
（2）AE=2CF仍然成立，理由如下：
如图所示延长DC到G使得，DC=CG，连接BG，
由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，
又∵CE=CD=CG，AC=BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE=BG，
∵F是BD的中点，CD=CG，
∴CF是△BDG的中位线，
∴BG=2CF，
∴AE=2CF．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；
（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sin D＝OB
OD
＝
AC
AD
，代入数值即可求得答案
【详解】
解：（1）连接OB，
∵AB 是⊙O 的切线，
∴OB ⊥AB ，
即∠ABO ＝90°，
∵BC 是弦，OA ⊥BC ，
∴CE ＝BE ，
∴AC ＝AB ，
在△AOB 和△AOC 中，
AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），
∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，
即AC ⊥OC ，
∴AC 是⊙O 的切线；
（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，
BD
∵sin D ＝
OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴2
4
解得AC ＝
∴AD ＝BD +AB ＝
【点睛】
本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
3、（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）连接OC ，根据CE 是⊙O 的切线，可得∠OCE ＝90︒，根据圆周角定理，可得∠AOC =90︒，从而得到∠AOC +∠OCE ＝180︒，即可求证；
（2）过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，由∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，可得∠OAC ＝45︒，从而得到∠BAD ＝30，再由AD ∥EC ，可得30E ∠=︒，然后证得四边形OAFC 是正方形，可得AF OA =，从而得到AF =3，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】
证明：（1）连接OC ，
∵CE 是⊙O 的切线，
∴∠OCE ＝90︒，
∵∠ABC ＝45︒，
∴∠AOC ＝2∠ABC ＝90︒，
∵∠AOC +∠OCE ＝180︒，
∴AD ∥EC ；
（2）解：过点A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，
∵∠AOC ＝90︒，OA ＝OC ，
∴∠OAC ＝45︒，
∵∠BAC ＝75︒，
∴∠BAD ＝754530BAC OAC ∠-∠=︒-︒=︒，
∵AD ∥EC ，
∴30E BAD ∠=∠=︒，
∵∠OCE ＝90︒，∠AOC ＝90︒，∠AFC =90°，
∴四边形OAFC 是矩形，
∵OA ＝OC ，
∴四边形OAFC 是正方形，
∴AF OA =，
∵6AD =， ∴132
AF AD ==， 在Rt △AFE 中，30E ∠=︒，
∴AE =2AF =6．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
4、（1）见解析；（2）AP =（3）当=PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠时，AP ==PAC AOD ∠∠时，=4AP ．
【分析】
（1）通过证=PAQ BAC ∠∠，=B P ∠∠，即可得APQ ABC ∽；
（2）先证PCD 是等腰直角三角形，求sin 4522DC PC AP AP ==⋅︒=⋅
=C CDQ AB △△∽，得CQ CD AC AB
=，求CQ 长，即可求PQ 得长，通过APQ ABC ∽，即可得AP PQ AB BC ，即可求AP ．
（3）分类讨论， =PAC ADO ∠∠，=PAC OAD ∠∠，=PAC AOD ∠∠，三种情况讨论，再通过勾股定理和相似即可求解．
【详解】
证明：（1）∵AQ ⊥AP
∴=90PAQ ∠︒
∵BC 是⊙O 的直径
∴=90BAC ∠︒
∴=PAQ BAC ∠∠
∵=B P ∠∠ ∴APQ ABC ∽
（2）如图，连接CD ，PD
∵BC 是⊙O 的直径
∴=90BAC ∠︒
∵AB ＝3，AC ＝4
∴利用勾股定理得：5BC =,即直径为5
∵=90PAQ ∠︒
∴180=90PCD PAQ ∠=︒-∠︒
∴DP 是⊙O 的直径，且DP =BC =5
∵点C 为PD 的中点
∴CD =PC
∵=90PCD ∠︒
∴=45PDC ∠︒
∴PCD 是等腰直角三角形
∴利用勾股定理得：222
2522DP DC PC ===,则2DC PC == ∵==DCQ PCD PAQ ∠∠∠，=Q Q ∠∠
∴CDQ APQ △∽△
∵APQ ABC ∽
∴C CDQ AB △△∽
∴CQ CD AC AB =，即：243
CQ =
∴3
CQ =
∴PQ CQ PC =+∵APQ ABC ∽
∴AP PQ AB BC ，即：635
AP =
∴AP = （3）连接AO ,OD ，OP ，CD ，OD 交AC 于点M
∵=90PCD ∠︒（已证）
∴OD ,OP 共线，为⊙O 的直径
情况一：当=PAC ADO ∠∠时
∵=PAC ADO ∠∠，=ADO ACP ∠∠
∴=PAC ACP ∠∠
∴AP =PC
∵=90PAQ ∠︒
∴=90ADO APD ∠+∠︒
∴=90PAC APD ∠+∠︒
∴=90AMP ∠︒即AC PD ⊥
∵AP =PC ∴122
AM AC ==
∴在Rt AOM 中，32OM == ∴1354222
PM OM OP OM BC =+=+=+=
∴在Rt APM中，AP=
情况二：当=
∠∠时，
PAC OAD
=
∵OA OD
∴=
∠∠
OAD ADO
∴=
∠∠
PAC ADO
同情况一：AP=
情况三：当=
∠∠时
PAC AOD
∵=
PAC AOD
∠∠
∠∠，=
ADO ACP
∴DAO CPA
△∽△
∴APC OAD
∠=∠，
∵OA=OD
∠=∠
∴ADO OAD
∴=
∠∠
ACP APC
∴==4
AP AC
综上所述，当=
PAC AOD
∠∠时，=4
∠∠时，AP==
∠∠，=
PAC ADO
PAC OAD
AP．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，是圆的综合题。

解答此题的关键是，通过圆的性质，找到角与角、边与边之间的关系．
5、（1）见解析；（2）CD=EF=1．
【分析】
∠=∠；根据平行线的（1）连接OC，根据圆的性质，得到OB=OC；根据等腰三角形的性质，得到B C
性质，得到1B
∠=∠；在同圆和等圆中，根据相等的圆心解所对的弧等即得证．
（2）根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB=90°，根据平行线的性质求得∠AEO=∠ACB=90°，利用勾股定理求出AC=8，根据垂径定理求得EC=AE=4，根据中位线定理求出OE，在Rt△CDE中，根据OD BC，所以△EDF∽△BCF，最后根据似的性质，列方程求解即可．
勾股定理求出CD，因为∥
【详解】
（1）解：连结OC．
OD BC
∵∥
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∵OB =OC
∴∠B=∠C
∴∠1=∠2
∴弧AD=弧CD
（2）∵AB是O的直径
∴∠ACB=90°
OD BC
∵∥
∴∠AEO=∠ACB=90°
Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵BC=6，AB=10
∴AC =8
∵半径OD ⊥AC 于E
∴EC =AE =4
OE =132
BC =
∴ED =2
由勾股定理得，CD =∵∥OD BC
∴△EDF ∽△CBF ∴EF ED FC BC = 设EF =x ，则FC =4-x
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x x =- ∴EF =1，经检验符合题意.
【点睛】
本题考查了圆的综合题，圆的有关性质：圆的半径相等；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧等；直径所对的圆周角是直角；垂径定理；平行线的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质等知识，正确理解圆的相关性质是解题的关键．。