(通用版)高考数学大一轮复习 第24讲 正弦定理和余弦定理的应用学案 理 新人教A版-新人教A版高三

第24讲正弦定理和余弦定理的应用
1.仰角和俯角:与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角,目标视线在水
平视线的叫仰角,目标视线在水平视线的叫俯角,如图3-24-1(a)所示.
(a) (b)
(c) (d)
图3-24-1
2.方位角:指从顺时针转到目标方向线的水平角,如图3-24-1(b)中B点的方位角
为α.
3.方向角:相对于某正方向的,如北偏东α,即由正北方向顺时针旋转α到达目标
方向(如图3-24-1(c)),其他方向角类似.
4.坡角:坡面与所成的二面角的度数(如图3-24-1(d)所示,坡角为θ).
坡比:坡面的铅直高度与之比(如图3-24-1(d)所示,i为坡比).
题组一常识题
1.[教材改编]海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5√3海里,从A岛望C和B成45°视角,从B
岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是海里.
2.[教材改编]某人向正东方向走了x km后,向右转150°,然后沿新方向走了3 km,结果他
离出发点恰好√3 km,那么x的值为.
3.[教材改编]如图3-24-2所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤
足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则tan α
等于.
图3-24-2
图3-24-3
4.[教材改编]如图3-24-3所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C处测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB= .
题组二常错题
◆索引:仰角、俯角概念不清;方向角概念不清;方位角概念不清;不能将空间问题转化为解三角形问题.
5.在某次测量中,在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°,C点的俯角是70°,则∠BAC= .
图3-24-4
6.如图3-24-4所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°的方向,灯塔B在观察站南偏东60°的方向,则灯塔A相对于灯塔B的方向角是.
7.已知点A在点B南偏西20°的方向,若以点B为基点,则点A的方位角是.
8.某起重装置的示意图如图3-24-5所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5√19 m,则起吊的货物与岸的距离AD为m.
图3-24-5
探究点一测量距离问题
例1[2018·南京师大附中月考]如图3-24-6所示,A,B,C三个警亭有直道相通,已知A在B 的正北方向6千米处,C在B的正东方向6√3千米处.
(1)若警员甲从C出发,沿CA行至点P处,此时∠CBP=45°,求P,B两点间的距离.
(2)若警员甲从C出发沿CA前往A,警员乙从A出发沿AB前往B,两人同时出发,甲的速度为3千米/时,乙的速度为6千米/时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达B后原地等待,直到甲到达A时任务结束.若对讲机的有效通话距离最大为9千米,试求两人通过对讲机能保持联系的总时长.
图3-24-6
[总结反思] 求距离即是求一条线段的长度,把该线段看作某个三角形的边,根据已知条件求出该三角形的部分元素后,即可使用正弦定理或者余弦定理求该边的长度.
变式题 [2018·青岛二模]如图3-24-7所示,A,B两点在河的两岸,一名测量者在A的同侧河岸边选定一点C,测出A,C两点的距离为50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点间的距离为()
图3-24-7
A.50√2 m
B.50√3 m
C.25√2 m
m
D.25√2
2
探究点二测量高度问题
例2[2018·衡水中学月考]如图3-24-8所示,在山顶有一座信号塔CD(CD所在的直线与地平面垂直),在山脚A处测得塔尖C的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B 处,测得C的仰角为β.
图3-24-8
(1)求BC的长;
(2)若l=24,α=45°,β=75°,θ=30°,求信号塔CD的高度.
[总结反思] 高度也是两点之间的距离,其解法同求解水平面上两点间距离的方法是类似的,基本思想是把要求解的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中,使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.
变式题如图3-24-9所示,为了测量一棵树的高度,在地上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60 m,则树的高度为()
图3-24-9
A.(30+30√3) m
B.(30+15√3) m
C.(15+30√3) m
D.(15+3√3) m
探究点三测量角度问题
例3 如图3-24-10所示,某渔船在航行中不幸遇险,发出呼救信号,某舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为40°,距离为15海里的C处,并测得渔船正沿方位角为100°的方向,以15海里/时的速度航行,该舰艇立即以15√3海里/时的速度沿直线前去营救,若舰艇与渔船恰好在B处相遇,求舰艇与渔船相遇所需的时间和舰艇的航向.
图3-24-10
[总结反思] 测量“角度”即是求一个角的大小,把该角看作某个三角形的内角,根据已知条件求出该三角形的一些元素后,使用正弦定理或者余弦定理解三角形即得.
变式题如图3-24-11所示,在坡角为θ的山坡上的一点A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°,向山顶前进10米后到达点B,又从点B测得C对于山坡的斜度为α,建筑物的高CD为5米.
图3-24-11
(1)若α=30°,求AC的长;
(2)若α=45°,求此山坡的坡角θ的余弦值.
第24讲正弦定理和余弦定理的应用
考试说明能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
【课前双基巩固】
知识聚焦
1.水平视线上方下方
2.正北方向
3.水平角
4.水平面水平长度
对点演练
1.5√2 [解析] 由题可知∠ACB=60°,由正弦定理得
AA sin∠AAA =AA sin∠AAA ,即5√3sin60°=AA
sin45°
,得
BC=5√2.
2.2√3或√3 [解析] 如图所示,应有两种情况.由正弦定理,得
AA sin30°=AA
sin A
,∴sin A=3×
1
2
√3=√3
2,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,AB=2√3;当A=120°时,AB=√3.
3.
√231
5
[解析] 由题意可得,在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且α+∠ACB=π.
由余弦定理可得AB 2
=AC 2
+BC 2
-2AC ·BC ·cos ∠ACB ,即
3.52
=1.42
+2.82
-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得cos α=5
16
,所以sin α=
√231
16
, 所以tan α=sin A cos A =√231
5
. 4.
A ·tan A sin A
sin(A +A )
[解析] 在△BCD 中,∠CBD=π-α-β.由正弦定理得AA sin∠AAA =AA
sin∠AAA ,所
以BC=
AA sin∠AAA sin∠AAA
=A ·sin A
sin(A +A ).在
Rt △ABC 中,AB=BC tan ∠ACB=
A ·tan A sin A
sin(A +A )
.
5.130° [解析] 60°+70°=130°.
6.南偏西80° [解析] 由条件及图可知,∠A=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°的方向.
7.200° [解析] 根据方位角的概念可得.
8.15√32
[解析] 在△ABC 中,cos ∠ABC=
2√19)2
2
2×10×5√19
=2√19,所以sin ∠ABC=√3
2√19,所以在△ABD
中,AD=AB ·sin ∠ABC=5√19×√32√19
=
15√32
(m).
【课堂考点探究】
例1 [思路点拨] (1)先求出∠APB ,再由正弦定理可得BP ;(2)设甲、乙之间的距离为f (t ),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f (t )≤9,然后分0≤t ≤1和1<t ≤4两种情况讨论,分别求得对应的时长,再求和即得到结论.
解:(1)在△ABC 中,AB=6,BC=6√3,AB ⊥BC ,所以A=60°,C=30°,又∠CBP=45°,所以∠
APB=75°,
由正弦定理得,AA
sin∠AAA =AA
sin A ,
即BP=
6×
√32√2+√64
=√3
√6+√2=
12√3(√6-√2)
4
=9√2-3√6, 故PB 的距离是(9√2-3√6)千米.
(2)由题知,AC=12千米,则甲从C 到A 需要4小时,乙从A 到B 需要1小时. 设甲、乙之间的距离为f (t ),若两人通过对讲机能保持联系,则需要f (t )≤9.
①当0≤t ≤1时,
f (t )=√(6A )2+(12-3A )2
-2·6A ·(12-3A )cos60°=3√7A 2-16A +16,由f (t )≤9,
得7t 2
-16t+7≤0,解得8-√157
≤t ≤
8+√157
,又t ∈[0,1],
所以
8-√157
≤t ≤1,此时通过对讲机保持联系的时长为1-
8-√157
=√15-1
7(小时). ②当1<t ≤4时,
f (t )=√36+(12-3A )2
-2×6×(12-3A )cos60°=3√A 2-6A +12,由f (t )≤9,
得t 2
-6t+3≤0,解得3-√6≤t ≤3+√6,又t ∈(1,4], 所以1<t ≤4,此时通过对讲机保持联系的时长为3小时. 综上,两人通过对讲机能保持联系的总时长为3+
√15-17
=√15+20
7(小时). 变式题 A [解析] 在△ABC 中,AC=50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,所以∠ABC=30°, 则由正弦定理AA sin∠AAA =AA
sin∠AAA
,
得
AB=AA ·sin∠AAA sin∠AAA =50×√2
2
12
=50√2(m).故选A .
例2 [思路点拨] (1)在△ABC 中,由正弦定理可得BC ;(2)结合(1),在△BDC 中,利用正弦定理化简求解即可.
解:(1)在△ABC 中,AB=l ,∠CAB=α-θ,∠ABC=180°-(β-θ),∠ACB=β-α.由正弦定理
AA sin∠AAA =AA
sin∠AAA
,得BC=sin(A -A )
sin(A -A )l.
(2)由(1)及条件知,BC=sin(A -A )
sin(A -A )l=sin15°
sin30°×24=12(√6-√2).因为∠BCD=90°-β=15°,∠
CBD=β-θ=45°,所以∠BDC=120°.
由正弦定理得CD=sin45°
sin120°·BC=24-8√3.
变式题 A [解析] 设树高为x m,则BP=√2x m .
在△ABP 中,AB=60,BP=√2x ,A=30°,∠APB=15°, 由正弦定理AA sin15°=AA sin30°,得60
sin15°=√2A
sin30°, 解得x=30+30√3.故选A .
例3 [思路点拨] 设所需时间为t 小时,利用余弦定理列出含有t 的方程,再解方程得到t 的值,然后求出∠CAB 的值,即可求得舰艇航行的方位角. 解:设所需时间为t 小时,
则AB=15√3t ,CB=15t.由题可知,∠ACB=120°.
在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2
=AC 2
+BC 2
-2AC×BC×cos ∠ACB , 可得(15√3t )2
=152
+(15t )2
-2×15×15t cos 120°, 整理得2t 2
-t-1=0, 解得t=1或t=-1
2(舍去), 即舰艇与渔船相遇需要1小时.
在△ABC 中,AB=15√3,BC=15,AC=15,∠ACB=120°, 所以∠CAB=30°,所以舰艇航行的方位角为70°.
变式题 解:(1)当α=30°时,∠ABC=150°,∠ACB=∠BAC=15°,
所以BC=AB=10,由余弦定理得AC 2
=102
+102
-2×10×10×cos 150°=200+100√3, 故AC=5√6+5√2.
(2)当α=45°时,∠ACB=30°,在△ABC 中,由正弦定理得
BC=
AA ·sin∠AAA sin∠AAA =20×√6-√2
4
=5(√6-√2).
在△BCD 中,由正弦定理得
sin ∠BDC=AA ·sin∠AAA AA =5(√6-√2)×√2
2
5
=√3-1,
所以cos θ=cos(∠ADC-90°)=sin ∠ADC=√3-1.
【备选理由】 例1是距离问题,体现了正、余弦定理在解三角形方面的实际应用,考查学生综合运用知识解决实际问题的能力;例2是角度问题.
例1 [配合例1使用] 如图所示,某小区准备将一块闲置的直角三角形地开发成公共绿地,图中AB=a ,B=π
2,BC=√3a.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道MN ,且两边是两个关于走道MN 对称的三角形(△AMN 和△A'MN ).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点M 与点A ,B 均不重合,A'落在边BC 上且不与端点B ,C 重合,设∠AMN=θ.
(1)若θ=π
3,求此时公共绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求AN ,A'N 的长度最短,求此时绿地公共走道MN 的长度. 解:(1)设公共绿地的面积为S ,由图得∠BMA'=π-2θ=π
3
,∴BM=1
2
A'M=1
2
AM ,
又BM+AM=AB=a ,∴32
AM=a ,∴AM=2
3
a.
又∵AB=a ,BC=√3a ,B=π2,∴A=π3,∴△AMN 为等边三角形,∴MN=AM=2
3a ,
∴S=2S △AMN =2×12×AM·MN ·sin π3=4
9a 2·√32=
2√39
a 2
. (2)由题知AM+A'M ·cos(π-2θ)=AB=a 且AM=A'M ,
∴AM=A'M=A 1+cos(π-2A )=A 1-cos2A =A
2sin 2A .
在△AMN 中,由正弦定理可得
AA sin A =AA
sin (π-π3
-A )
, ∴AN=
AA ·sin A
sin (2π
3
-A )
=
A
2sin A sin (2π
3
-A ),
记t=2sin θsin (
2π3
-A ),则t=2sin θ·sin
2π3cos θ-cos 2π3
sin θ=√3sin θcos
θ+sin 2θ=√3
2sin 2θ-1
2cos 2θ+1
2=sin (2A -π
6)+1
2,
又θ∈(π
4,π
2),∴2θ-π
6∈(π
3
,
5π6
),
∴当2θ-π6=π
2,即θ=π
3时,t 取得最大值,此时AN 取得最小值,则此时MN=AM=2
3a.
例2 [配合例3使用] 如图所示,当甲船位于A 处时获悉,在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待救援,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°方向,相距10海里的C 处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B 处救援,则sin θ的值为 ( )
A .√217
B .√22
C .√32
D .5√714
[解析] D 由题意知,在三角形ABC 中,AC=10,AB=20,∠CAB=120°.由余弦定理可得BC=√AA 2+AA 2-2·AA ·AA ·cos∠AAA =10√7.又由正弦定理AA sin∠AAA =AA sin∠AAA ,得20sin∠AAA =10√7sin120°,即sin ∠ACB=√217,又因为∠ACB ∈(0°,60°),所以cos ∠ACB=2√77,故sin θ=sin (∠AAA +30°)=√217×√32+2√77×12=5√714.。