2021高考数学 复习第十三章 导数(理)北师大版2

第十三章 导数
1．f(x)=ax 2
+bx+c 的图象开口向上，且顶点在第二象限，那么y=f′〔x 〕的图象大概是：〔 〕
1
2．f 0
A ．0 D ．8 2．解答：h
]
）0f （h ）0f （[]）0f （h ）30f （[h h ）f （h ）3f （lim 0h lim
h ----+=--→→
= h 3]）0f （h ）30f （[3lim 0h -+→+h
）0f （h ）0f （lim 0h ---→-
=3f′〔0〕+f′〔0〕
=8 选D
评析：此题考察极限及其运算律，要求考生有良好的变形能力。

3、曲线x x y 2212-=
在点(1 ，2
3
-)处切线的倾斜角为( ) A.1- B.︒45 C. ︒-45 D.︒135
3、D 2'-=x y ， 1|'1-==x y ，即切线倾斜角︒135
4.n x x x x x f )1()1()1()1(1)(32++⋯+++++++= ，那么)0('f 等于( )
A.n
B.1-n
C.!n
D.
2
1
n 〔n ＋1〕 4.D 令221032)1()1()1()1(1)(x a x a a x x x x x f n ++=++⋯+++++++=
n n x a +⋯+ ，1232132)('-+⋯+++=n n x na x a x a a x f ，1)0('a f = ，又a 1=1＋2＋3＋…＋n=
2
1
n 〔n ＋1〕 5．假设对任意的x ∈R ，3
f (x)=4x ,f(1)=-1,那么f(x)是 〔 〕
A ．f(x)＝x 4
B ．f(x)＝x 4
-2 C ．f(x)＝4x 3
-5 D ．f(x)＝x 4
+2 5、B
【思路分析】：∵3
f (x)=4x ，∴f(x)＝x 4
+c ，又f(1)=-1，∴1＋c ＝-1，∴c=-2
【命题分析】：考察导数的概念，导数的逆用
6、〔理〕曲线)50)...(2)(1(---=x x x x y 在原点外的切线，方程为 〔 〕
A 、x y 1275=
B 、x y 2
50= C 、x y 100= D 、x y !50=
6、〔理〕〔分析：此题考查导数的运算，x x y )50)...(2()1( (51)
--⋅-++=
50...5150'+=x y
B C
D
∴!500
1
==x x y ∴在原点外的切线方程为x y !50=，应选D 项〕
7、〔文〕曲线23x x y -=，在),(00y x M )0(>x 外切线斜率为8，那么此切线方程是 〔 〕
A 、0208=--y x
B 、0128=+-y x
C 、0248=+-y x
D 、0128=--y x
7、〔文〕〔分析：此题考查导数的根本概念，x x y 2321-= ∴曲线23x x y -=在
),(00y x M )0(0>x 处切线斜率为8 ∴020238x x -= ∴0823020=--x x ∴
舍）(3
4
0-=x 或20=x ∵M 在曲线上 ∴40=y
∴切线方程为)2(84-=-x y 即0128=--y x 应选〔D 〕 8．函数)(x f y =，其导函数)(x f y '=的图象如右图，那么
)(x f y =：
A ．在(-∞，0)上为减函数
B ．在x=0处取得最大值
C ．在〔4，+∞〕上为减函数
D ．在x=2处取得最小值
8．C [思路分析]：由导函数的性质知，)(,0)(x f x f >'递增，)(,0)(x f x f <'递减。

从图像上知，当x>4时，0)(<'x f ，∴)(x f 在〔4，+∞〕上递减。

[命题分析]：考查导数的性质，函数的极值与最值，及观察图像的能力
9．设f (x ),g (x )在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f’ (x ).>g ’ (x )，那么当a<x<b 时有〔 〕
A 、f (x )>g (x )
B 、f (x )<g (x )
C 、f (x )+g (a )> g (x )+ f (a )
D 、f (x )+g (b )> g (x )+ f (b ) 9C
10．设函数f (x )在定义域内可导， y =f (x )的图象如图1所示，
那么导函数y =f '(x )的图象可能为〔 〕
10D 11．〔理〕函
数
x x x f ln 2)(2-=的单调减区间是〔 〕
A ．]1,0(
B ．),1[∞+
C ．]1,(--∞及]1,0(
D ．]1,0()0,1[及-
x
y
O
A
x
y
O
B x
y
O
C y
O
D
x
x
y O 图1
11．理A 【思路分析】：首先考虑定义域0)
1(222)(),,0(2≥-=-='∞+x
x x x x f 由及0>x 知
10≤<x ，应选A.
【命题分析】：考查利用导数求函数的单调区间，注意考虑定义域. 12．〔文〕函数13
1)(23
+++=x ax ax x f 有极值的充要条件是〔 〕 A ．01≤≥a a 或
B ．01<>a a 或
C ．01<≥a a 或
D ．10<<a
12文B 【思路分析】：012)(2=++='ax ax x f 有两个不等实根.
,0
440
2
⎩⎨⎧>-=∆≠a a a 即1>a 或0<a ，应选B.
【命题分析】：考查函数有极值的条件，等价转换的思想.
13．当k 时，32()
f x x kx 在]2,0[上是减函数．
13、(
,3]
【思路分析】：'2
2
()3(32)f x x kx x x k ，
由题意知2(0,)3
k
是函数的单调减区间，因此
22,33
k
k
即.
【命题分析】：考察利用导数来判断函数的单调性
14．f 〔x 〕= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时tan x = 14．解答：f′〔X 〕=3cosx －4sinx=0 tanx=4
3 f(X)在tanx=4
3
时取得最大值与最小值 即填
4
3 评析：此题考察导数应用与三角函数值问题
15．设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，
,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且0)2
1
(=-g 那么不等式0)()(<x g x f 的解集是
_________
__________= 15．)2
1
,0()21,( --∞
16．过点A 〔2，－1〕作曲线y=x 3
+x 2
－2x 的切线，求切线的方程。

16．解析：设切线的切点为P 〔t ，t 3+t 2
－2t 〕那么：
f′〔t 〕=3t 2
+2t －2
K AP =2
t 1t 2t t 23-+-+
解K AP =f′〔t 〕得：t 1=－1，t 2=
2
1
，t 3=3
f′〔－1〕=-1, f′〔
21〕=－4
1
, f′〔3〕=31 过切点〔－1，2〕的切线方程为x+y －1=0 过切点〔
21，－8
5
〕的切线方程为x+4y+2=0 过切点〔3，31〕的切线方程为31x －y －63=0
即所求切线方程为x+y=0或x+4y+2=0或31x －y －63=0
评析：考察考生对导数的应用能力，区分点不一定是切点的关系，并考察考生对简单三次方
程求解，试根法。

17．(此题总分值12分)32
f x
ax bx cx d 是定义在R 上的函数，其图象交x 轴
于A ，B ，C 三点，假设点B 的坐标为〔2，0〕，且()x f 在]0,1[-和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
〔1〕求c 的值；
〔2〕在函数()x f 的图象上是否存在一点M 〔x 0，y 0〕，使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由； 〔3〕求AC 的取值范围．
17、【思路分析】：⑴ ∵()x f 在[]0,1-和[]2,0上有相反单调性，
∴ x =0是()x f 的一个极值点，故()0'=x f ，
即0232=++c bx ax 有一个解为x =0，∴c=0……………………………3’
⑵ ∵()x f 交x 轴于点B 〔2，0〕 ∴()a b d d b a 24,048+-==++即
令()0'=x f ，那么a
b
x x bx ax 32,0,023212-
===+ ∵()x f 在[]2,0和[]5,4上有相反的单调性
∴4322≤-≤a b ， ∴36-≤≤-a
b
……………………………………5’
假设存在点M 〔x 0，y 0〕，使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ，那么()b x f 30'=
即 0323020=-+b bx ax
∵ △=()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=-⨯⨯-94364334222
a b ab ab b b a b
又36-≤≤-a
b
， ∴△＜0
∴不存在点M 〔x 0，y 0〕，使得()x f 在点M 的切线斜率为3b ．…………………7’
⑶ 依题意可令
∵36-≤≤-a b ，∴当6-=a b
时，34max =AC ；
当3-=a
b
时，3min =AC 故343≤≤AC ……………………………………12’ 18、〔此题总分值14分〕函数13
)(23
++-=
x ax x a x f 在21x x x x ==及外有极值，且512
1
≤<
x x
〔1〕求a 的取值范围；〔2〕当a 取最大值时，存在R t ∈，使[])1(,1>∈m m x 时
5
4
556)(-≤
-'x x t f 恒成立，试求m 的最大值。

18、解：〔1〕由题得知12)(2+-='a ax x f 二根为21,x x ，且a
x x x x 1
,22121=
=+ ∵511
2
≤<
x x ∴21,x x 同号，又0221>=+x x ∴21,x x 同为正数，由511
2
≤<
x x 得1215x x x ≤< 又∵122x x -= ∴11152x x x ≤-< 整理得13
1
1<≤x ∵211x x a = ∴1)1()2()2(12
112111+--=--=-=x x x x x a 由)1,31(1-x 得1195<≤a ∴5
91≤<a 〔2〕当59=a 时，151859)(2+-
='x x x f ∴1)(518
)(59)(2+---=-'x t x t x t f ∵54536)(-≤-x x t f 即5
45361)(518)(592-≤+---x x t x t 整理得012)1(222≤+-++-t t x t x 该式在(]m x ,1∈上恒成立 把m x x ==,1代入上式得
)1()1(20
)1()1(212
2
22≤-++-≤-++-t m t m
t t ∴40≤≤t
∴ t t m t t 2121++≤≤-+ 当4=t 时m 有最大值9
〔此题主要利用导数的运用作为载体，考查二次函数的知识以及不等式知识的综合运用，
是一道立意在知识网络交叉点处的综合性较强的试题。

〕
19．函数f(x)=x 3+bx 2
+cx+d 满足以下3个条件： 〔12′〕
①在-∞(，0]上为增函数 ②在[0，2]上为减函数 ③f (2)=0 1〕求c 的值； 2〕求f(1)的范围。

19．[思路分析]：①由条件①②知，x=0为y=f(x)的极值点……………2′
又c bx x x f ++='23)(2
∴0)0(=='c f ………………………………………………………4′
②由于c=0 那么f(x)=x 3+bx 2
+d 从而f(1)=1+b+d
又知：f(2)=8+4b+d=0⇒d=-8-4b ……………………………………6′ 那么f(1)=-3b-7
由②知，304120)2(-≤⇒≤+⇒≤'b b f …………………………10′ ∴f(1)≥(-3)×(-3)-7=2
故f(1)≥2……………………………………………………………12′ [命题分析]：此题考查导数、极值，不等式知识，以及思维能力。

{
20．〔本小题总分值12分〕
d cx bx ax x f +++=23)(是定义在R 上的函数，其图象与x 轴交于C B A ,,三点，
假设B 点的坐标为),0,2(且)(x f 在]0,1[-和]5,4[上有相同的单调性，在]2,0[和]5,4[上有 相反的单调性。

（1） 求c 的值；
（2） 在函数)(x f 的图象上是否存在一点),(00y x M ，使得)(x f 在点M 的切线斜率 为b 3？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，说明理由。

（3） 求||AC 的取值范围。

20．解：〔1〕 )(x f 在]0,1[-和]2,0[上有相反的单调性，
∴
()0232/=++=c bx ax x f 有一个解0=x
∴ 0=c 3分
〔2〕令()0232
/=+=bx ax x f 得 a
b x x 32,021-==
)(x f 在]2,0[和]5,4[上有相反的单调性，
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-4
32232a
b a
b ∴ 36-≤≤-a b 5分
假设存在一点),(00y x M ，使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3，即b x f 3)(0/=
而36-≤≤
-a
b
，∴ 0<∆ 故不存在一点),(00y x M ，使得)(x f 在点M 的切线斜率为b 3 8分
〔3〕(理科做) )0,2(B 为)(x f 图象上的点
∴ 048=++d b a 即 )2(4b a b +-= ∴令 ))(2)(()(βα---=x x x a x f
那么⎩⎨⎧-=++-=αββαa d a b 2)2( ∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-
=--=+a d a
b 22αββα 11分
36-≤≤
-a
b
∴ 34||3≤≤AC 14分 21．〔12分〕).c (b, )1(2
1
31)(23为常数已知函数cx x b x x f +-+=
(1)假设f (x )在x =1和x =3处取得极值,试求b,c 的值;
(2)假设f (x )在x ∈(-∞,x 1),(x 2,+∞)上单调递增且x ∈(x 1,x 2)上单调递减,又满足:x 2-x 1>1,求证:b 2>2(b +2c );
(3)在(2)的条件下,假设t <x 1,试比拟t 2+bt+c 和x 1的大小,并加以证明.
21. (1)f '(x )=x 2+(b -1)x +c 依题意:1和3是方程: x 2+(b-1)x +c=0的两根,得b= -3,c=3; …………4分
(2) 依题意:x 1和x 2是方程: x 2+(b-1)x+c=0的两根,那么x 1+x 2=1-b,x 1x 2=c,
∵b 2-2(b+2c)=( x 1+x 2)2-4x 1x 2-1=(x 1-x 2)2-1, ∵x 1-x 2>1, ∴(x 1-x 2)2-1>0, ∴b 2>2(b+2c); …………8分
(3)由上题知: x 2+(b-1)x+c=(x-x 1)(x-x 2),即:x 2+bx+c=(x-x 1)(x-x 2)+x.
所以, t 2+bt+c-x 1=(t-x 1)(t-x 2)+t-x 1=(t-x 1)(t+1-x 2).∵x 2>1+x 1>1+t,t+1-x 2<0.又0<t<x 1,
∴t-x 1<0∴(t-x 1)(t+1-x 2)>0, ∴
t 2+bt+c>x 1. …………12分
22、〔文〕函数ax bx ax x f +--=233
1
)(在2=x 时取得极值.
〔1〕求b a ,满足的关系式； 〔2〕求函数)(x f 的单调递增区间. 22．文【思路分析】：
〔1〕当0=a 时，)(x f 在2=x 处不能取得极值，∵0≠a .
〔2分〕
当0≠a 时，a bx ax x f +--='2)(2，∴)(x f 在2=x 处取得极值，且)(x f 在R x ∈上
均可导，故0)2(='f ，即：043=+b a .
〔5分〕 ∴b a ,应满足：0≠a 且043=+b a .
〔6分〕
〔2〕由043=+b a 得a b 43-=，∴a a ax x f ++-='23
)(2.
)233(2
2---=x x a
〔7分〕
当0<a 时，
〔14分〕
【命题分析】：考查抽象函数单调性的判定，求数列的通项，及恒成立问题，着重考查考生的应用意识和转化能力. 23．[文]函数f (x) =
13ax 3 -12
ax 2
+ x + 1，其中a ∈R. 〔Ⅰ〕是否存在实数a ，使得f (x)在x =1
2
处取极值？证明你的结论；
〔Ⅱ〕假设f (x)在[-1,
2
1
]上是增函数，求实数a 的取值范围. 23．[文]、【思路分析】
〔Ⅰ〕f ′(x) = ax 2
– ax + 1
假设存在实数a ，使f (x)在x =
2
1
处取极值，那么 f ′(2
1
) = –
4
a
+ 1 = 0， ∴a = 4 ……………………………………………… 3分 此时，f ′(x) =2(21)x - 当x <21时，f ′(x) > 0；当21
<x<1时，f ′(x) > 0. ∴x =
2
1
不是f (x)的极值点， 故不存在实数a ，使f (x)在x =2
1
处极值 ……………………………… 6分 〔Ⅱ〕依题意知：当x ∈[-1,
2
1]时，f ′(x) = ax 2 – ax + 1≥0恒成立， 〔1〕当a = 0时，f ′(x) = 1>0成立； 〔2〕当a>0时，f ′(x) = a (x 21-)2 + 14a -在] 2
1
, 1[-上递减，那么 g (x)min = g (
21) = 14
a
-≥0 ∴0<a ≤4 …………………………… 9分 〔3〕当a<0时，f ′(x) = a (x 21-
)2 + 14a -在] 2
1
, 1[-上递增，那么 g (x)min = g (-1) = 2a + 1≥0 ∴0>a ≥2
1
- 综上，2
1
-
≤a ≤4为所求 …………………………………… 12分 24、〔13分〕[理]设整数k ≠0, 1. 过点P 〔1，0〕作曲线C ：(0)k
y x x =>的切线，切点
为Q 1，设点Q 1在x 轴上的射影是点P 1；又过点P 1作曲线C 的切线，切点为Q 2，设点Q 2在x 轴上的射影是点P 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点Q 1，Q 2，…. 设点Q n 〔n=1，2，…〕的横坐标构成数列{}n a . 〔Ⅰ〕证明{}n a 是等比数列；
〔Ⅱ〕设2
(1)
112(1)
n n n n b k k -=+
+--，当3n ≥时，试比拟n a 与n b 的大小. 24[理]、【思路分析】
(Ⅰ) ∵y ′= kx k – 1 , ∴ y ′| x = a n
= ka n
k – 1
∴以Q n (a n , a n k ) 为切点的切线方程为y – a n k = ka n k – 1
(x – a n )
当n = 1时，切线过点P (1 , 0)，∴0 – a 1k
= ka 1
k – 1
(1 – a 1)⇒a 1 =
1k k
- 当n ≥2时，切线过点P n – 1
(a n – 1 , 0)，∴0 – a n k = ka n k – 1
(a n – 1 – a n )⇒a n =
1
k k -a n
– 1
∵整数k ≠0 , 1 ∴a 1 =
1
k k
-≠0 ∴{a n }是等比数列. …………………………………………………………… 5分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，a n = (
1k k -)n = (1+1
k 1-)n
令t =
1
k 1- , 那么a n = (1 + t)n , b n =2
2n 1n 0n t C t C C ++ 〔1〕假设k ≥2 (k ∈Z), 那么t >0
∵n ≥3，∴a n =n 2
2n 1n 0n n n n 22n 1n 0n b t C t C C t C t C t C C =++>++++ ………… 7分
〔2〕假设k ≤-1(k ∈Z)，那么-1<1
k 1
-<0 , -1<t<0 ∵n ≥3，
∴ a 3 =322313033332231303b t C t C C t C t C t C C =++<+++
a 4 =43
44443342241404b )t 4(t b t C t C t C t C C <++=++++
猜测a n < b n (n ≥3). ………………………………… 9分
下面用数学归纳法证明：
〔i 〕当n = 3时，已证成立；
〔ii 〕假设当n = m (m ≥3)时，a m < b m 成立，即 (1 + t) m <2
2m 1m 0m t C t C C ++
∵-1<t<0，0 <1+t<1
∴a m + 1 = a m (1 + t) < (2
2m 1m 0m t C t C C ++) (1 + t)
=3
2m 22m 1m 1m 0m 0m t C t c c t )C C (C +++++）（
=3
2m 221m 11m 01m t c t C t C C ++++++< b m + 1
∴当n = m + 1时，不等式也成立.
根据 (i)、(ii)，当n ≥3时总有a n < b n
综上，当n ≥3时，假设整数k ≥2，那么a n >b n ；假设整数k ≤-1，那么a n < b n . ……13分
【命题分析】此题以坐标为依托，考查曲线的切线，等比数列，二项式定理以及不等式的证明等知识方法，考查考生通过特殊猜测、归纳论证等发现问题与探究问题的能力，着重突出对考生的理性思维和综合能力的考查.
25、〔12分〕[理]函数f (x) = ax 2 + 2ln (1-x )，其中a ∈R.
〔Ⅰ〕是否存在实数a ，使得f (x)在x =1
2
处取极值？证明你的结论； 〔Ⅱ〕假设f (x)在[-1,2
1
]上是减函数，求实数a 的取值范围. 25[理]、【思路分析】
〔Ⅰ〕f (x)定义域为{x | x<1}，f ′(x) = 2ax –
x
12
- 假设存在实数a ，使f (x)在x =
2
1
处取极值，那么 f ′(
2
1
) = a – 4 = 0， ∴a = 4 …………………………………………………… 3分
此时，f ′(x) = 8x –x 12
-=x
1)1x 2( 22---
当x <21时，f ′(x) < 0；当21
<x<1时，f ′(x) < 0. ∴x =
2
1
不是f (x)的极值点， 故不存在实数a ，使f (x)在x =
2
1
处极值 …………………………………… 6分 〔Ⅱ〕解法一：依题意知：当x ∈[-1,
2
1
]时，f ′(x) ≤0恒成立， f ′(x)≤0⇔2ax –
x 12-≤0⇔ax ≤x
11
- 〔1〕当x = 0时，不等式显然成立； 〔2〕当-1≤x<0时，a ≥
)
x 1( x 1
-
∵-1≤x<0 ∴ x (1 – x) = – (x –21)2 + 4
1
∈) 0 , 2[- ∴
)x 1( x 1-≤21- ∴a ≥2
1
- ………………………………………………… 9分
〔3〕当0<x ≤
2
1
时，a ≤)x 1( x 1-
∵x ∈) 0 , 2[-，∴x (1 – x) = – (x –21)2 + 41∈] 4
1 , 0( ∴
)
x 1( x 1
-≥4 ∴a ≤4
综上可知，2
1-≤a ≤4为所求 ……………………………………………… 12分 解法二：依题意知：当x ∈[-1,
21]时，f ′(x) ≤0恒成立， f ′(x) ≤0⇔2ax – x 12-≤0x
11ax ax 2-+-⇔≥0⇔ax 2 – ax + 1≥0 令g (x) = ax 2 – ax + 1 = a (x 21-)2 + 14a -, x ∈] 2
1 , 1[- 〔1〕当a = 0时，g (x) = 1>0成立；
〔2〕当a>0时，g (x)在] 2
1 , 1[-上递减，那么 g (x)min = g (21) = 14
a -≥0 ∴0<a ≤4 …………………………………… 9分 〔3〕当a<0时，g (x)在] 2
1 , 1[-上递增，那么 g (x)min = g (-1) = 2a + 1≥0 ∴0>a ≥21-
综上，2
1-≤a ≤4为所求 ……………………………………………… 12分 【命题分析】此题主要考查运用导数研究函数性质的方法，分类讨论的数学思想和分析推理能力.
26．〔12分〕〔理〕设函数1323
1)(23+-+-=ax ax x x f ，其中10<<a . 〔1〕求函数)(x f 的极值；
〔2〕假设当]2,1[++∈a a x 时，恒有()'≤f x a ，试确定实数a 的取值范围.
26．理：【思路分析】：
〔1〕0)3)((34)(22=---=-+-='a x a x a ax x x f ，得a x =1，a x 32=.
〔2分〕 ∵0a >，∴3a a >. 列表如下：
∴)(x f 极小值=13
4)(3+-=a a f ；)(x f 极大值=1)3(=a f 〔6分〕 〔2〕2222)2(34)(a a x a ax x x f +--=---='，∵10<<a ，∵12+<a a .
即)(x f '在]2,1[++a a 上单调递减，即当]2,1[++∈a a x 时. )2()()1(+'≥'≥+'a f x f a f 从而：44)(12-≥'≥-a x f a . 〔9分〕
a x f ≤')(恒成立，故154101244<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-≤-a a a a a a . 〔12分〕
【命题分析】：考查求导公式，求极值，解绝对值不等式，恒成立问题，高次函数单调性，要求考生会合理转化.。