湖南省岳阳市达标名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷含解析

湖南省岳阳市达标名校2025届高三第三次模拟考试数学试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）
A ．
3
7
B ．
47
C ．
57
D ．
67
2．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}
1B x x =<，则集合A B =（ ）
A ．()2,+∞
B ．[)2,+∞
C ．(],2-∞
D ．(],1-∞
3．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( ) A ．22y x =
B ．24y x =
C ．28y x =
D ．210y x =
4．在复平面内，复数z =i 对应的点为Z ，将向量OZ 绕原点O 按逆时针方向旋转6
π
，所得向量对应的复数是（ ）
A ．1322
i -
+ B ．3122
i -
+ C ．1322
i -
- D ．3122
i -
- 5．已知向量()3,2AB =，()5,1AC =-，则向量AB 与BC 的夹角为（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．90︒
D ．120︒
6．若，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数ln(1),0()11,02
x x f x x x +>⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩，若m n <,且 ()()f m f n =，则n m -的取值范围为（ ）
A ．[32ln 2,2)-
B ．[32ln 2,2]-
C ．[1,2)e -
D ．[1,2]e -
8．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）
A ．21250元
B ．28000元
C ．29750元
D ．85000元
9．已知3sin 2cos 1,(,
)2παααπ-=∈，则
1tan
21tan 2α
α-=+（ ） A ．1
2
-
B ．2-
C ．12
D ．2
10．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为3
2
，
则2C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y ±=
B ．20x y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
11．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝3
2
，那么原△ABC 的面积是( )
A 3
B ．2
C 3
D 3
12．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
14．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2cos 23b A c a =+，则B ∠=________.
15．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12F F 、，过2(1,0)F 且斜率为1的直线交椭圆于A
B 、，若三角形1F AB 的面积等于22b ，则该椭圆的离心率为________.
16． “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 上，4
CAD π
∠=
，72AC =
，2
cos 10
ADB ∠=-
.
（1）求sin C 的值；
（2）若5BD =，求AB 的长.
18．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y α
α=⎧⎨
=⎩
（α为参数），在以平
面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：
sin()16
π
ρθ-=.
（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；
（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标. 19．（12分）已知函数()()sin 0,0,2
2f x A x A π
πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>-<<
⎪⎝
⎭
的最小正周期是π，且当6
x π
=
时，()
f x 取得最大值2．
（1）求()f x 的解析式；
（2）作出()f x 在[]0,π上的图象（要列表）．
20．（12分）设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-. （1）求p 的值及该圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.
21．（12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>24y x =的焦点F .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为4
5
-，求证：MON △的面积为定值.
22．（10分）等差数列{}()
*
N n a n ∈中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数
不在下表的同一列.
（1）请选择一个可能的{}123,,a a a 组合，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记（1）中您选择的{}n a 的前n 项和为n S ，判断是否存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，若有，请求出k 的值；若没有，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】
由题,窗花的面积为21241140-⨯=,其中小正方形的面积为5420⨯=, 所以所求概率140206
1407
P -==,
故选:D 【点睛】
本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 2、C 【解析】
∵集合{}02A x x =<≤，{}
1B x x =<， ∴A B ⋃= (]
,2-∞
点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集. 3、B 【解析】
利用抛物线的定义可得,12||||||22
p p
AB AF BF x x =+=+++,把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值,然后可得出抛物线的方程. 【详解】
设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,设点()()1122,,,A x y B x y ，
由抛物线的定义可知()1212||||||22
p p
AB AF BF x x x x p =+=+
++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =， 所以抛物线方程为24y x =. 故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 4、A 【解析】
由复数z 求得点Z 的坐标，得到向量OZ 的坐标，逆时针旋转6
π
，得到向量OB 的坐标，则对应的复数可求. 【详解】
解：∵复数z =i （i 为虚数单位）在复平面中对应点Z （0，1）， ∴OZ ＝(0，1)，将OZ 绕原点O 逆时针旋转6
π
得到OB ， 设OB ＝(a ，b )，0,0a b <>，
则cos
6OZ OB b OZ OB π⋅===
，
即b =
又221a b +=，
解得：1,2a b =-
=
，
∴12OB ⎛=- ⎝⎭
，
对应复数为122
-+. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 5、C 【解析】
求出()2,3BC AC AB =-=-，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=,即能求出向量夹角. 【详解】
解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-= 所以AB BC ⊥，则向量AB 与BC 的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式cos ,a b a b a b
⋅= 进行计算.
6、B 【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得
，所以
.
故选B 【点睛】
本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题. 7、A 【解析】
分析：作出函数()f x 的图象，利用消元法转化为关于n 的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.
详解：作出函数()f x 的图象，如图所示，若m n <，且()()f m f n =， 则当ln(1)1x +=时，得1x e +=，即1x e =-， 则满足01,20n e m <<--<≤，
则1
ln(1)12
n m +=
+，即ln(1)2m n =+-，则22ln(1)n m n n -=+-+， 设()22ln(1),01h n n n n e =+-+<≤-，则()21111
n h n n n -=+=++'， 当()0h n '>，解得11n e <≤-，当()0h n '<，解得01n <<， 当1n =时，函数()h n 取得最小值()1122ln(11)32ln 2h =+-+=-，
当0n =时，()022ln12h =-=；
当1n e =-时，()1122ln(11)12h e e e e -=-+--+=-<，
所以32ln 2()2h n -<<，即n m -的取值范围是[32ln 2,2)-，故选A.
点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 8、A 【解析】
根据 2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 得到就医费用8000010%8000⨯=，再根据2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，得到2019年的就医费用，然后由2019年的就医费用占总收人15%，得到2019年的家庭总收人再根据储畜费用占总收人25%求解. 【详解】
因为2018年的家庭总收人为80000元，且就医费用占10% 所以就医费用8000010%8000⨯=
因为2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元， 所以2019年的就医费用12750元， 而2019年的就医费用占总收人15%
所以2019年的家庭总收人为127501585000÷%= 而储畜费用占总收人25%
所以储畜费用：850002521250⨯%= 故选：A 【点睛】
本题主要考查统计中的折线图和条形图的应用，还考查了建模解模的能力，属于基础题. 9、B 【解析】
结合22sin cos 1αα+=求得sin ,cos αα的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值. 【详解】 由22
sin 2cos 1sin cos 1
αααα-=⎧⎨
+=⎩，以及3(,)2παπ∈，解得34
sin ,cos 55αα=-=-. 1tan 21tan 2α
α-=+2
22sin
2
1cos sin cos cos sin 12cos sin 2222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin 2222222221cos
2
αααα
αα
αααααααααααα-
⎛⎫--- ⎪
⎝⎭===
⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+3
11sin 524cos 5
αα+
-==
=--. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题. 10、A 【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C
即可得,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程. 【详解】
椭圆1C 的方程22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，
则椭圆离心率1e a =
，双曲线的离心率2e a
= 由1C 和2C
即12
e e ==，
解得
b a =
所以渐近线方程为2
y x =±，
化简可得0x =， 故选：A. 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题. 11、A 【解析】
先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积. 【详解】
由题图可知原△ABC 的高为AO
∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12
× A 【点睛】
本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 12、B 【解析】
利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】
从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为51
0.5102
==. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、
116
【解析】
初始条件1,1,3n T n ==<成立方 ；
运行第一次：1
013
11,2,322
T xdx n n =+=+
==<⎰
成立； 运行第二次：1
2033111,3,32236
T x dx n n =+=+==<⎰不成立； 输出T 的值：
11
.6结束 所以答案应填：11
.6
考点：1、程序框图；2、定积分. 14、150︒ 【解析】
利用正弦定理边化角可得2sin cos 0A B A =
，从而可得cos B =，进而求解. 【详解】
由2cos 2b A c =，
由正弦定理可得2sin cos 2sin B A C A =， 即(
)2sin cos 2sin B A A B A =+，
整理可得2sin cos 0A B A =， 又因为sin 0A ≠
，所以cos B =， 因为0180B <<， 所以150B =， 故答案为：150︒ 【点睛】
本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题. 15
1 【解析】
由题得直线AB 的方程为1x y =+，代入椭圆方程得：()
2222222
20a b y b y b a b +++-=，
设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222
121222
222，b b a b y y y y a b a b
--+==++，由
1212121
22
F AB S F F y y b ∆=⨯⨯-=，且221a b -=解出a ，进而求解出离心率.
【详解】
由题知，直线AB 的方程为1x y =+，代入22
221x y a b
+=消x 得：
()2
22222220a
b y b y b a b +++-=，
设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222
121222
222，b b a b y y y y a b a b
--+==++， ()
2
2
222222
121212222222
221
44b b a b ab a b y y y y y y a b a b a b ⎛⎫--+-∴-=
+-=-⋅= ⎪+++⎝⎭
， 而1
222
121222
11212222F AB
ab a b S F F y y b
a b ∆+-=⨯⨯-=⨯⨯=+，又221a b -=， 解得：31
2
a +=
，所以离心率1
31
31
2
c e a
=
==-+. 故答案为：31- 【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力 16、
23
【解析】
用树状图法列举出所有情况，得出甲不输的结果数，再计算即得. 【详解】
由题得，甲、乙两人玩一次该游戏，共有9种情况，其中甲不输有6种可能，故概率为
6293
=.
故答案为：23
【点睛】
本题考查随机事件的概率，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 45
；（2
）AB =【解析】
（1）由两角差的正弦公式计算；
（2）由正弦定理求得AD ，再由余弦定理求得AB ． 【详解】
（1
）因为cos 10ADB ∠=-
，所以sin 10ADB ∠==. 因为4CAD π∠=，所以4
C ADB π
∠=∠-，
所以sin sin sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ⎛⎫
=∠-
=∠⋅-∠⋅ ⎪
⎝
⎭41021025
=+=. （2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC
C ADC
=∠
，得74
sin sin AC C AD ADC ⨯
⋅=
==∠， 在ABD ∆中，由余弦定理可得
2
2
2
2cos AB BD AD BD AD ADB =+-⋅
∠(
2
2
5253710⎛⎫
=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
所以AB =. 【点睛】
本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题． 18、（1）224x y +=
， 20x +=;（2）22,3
A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,
6
C π
⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【解析】
(1)把曲线1C 的参数方程与曲线2C 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角. 【详解】
解：（1）由22x cos y sin α
α
=⎧⎨=⎩消去参数α得224x y +=，
即曲线1C 的普通方程为224x y +=，
又由sin 16πρθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭得sin cos cos sin 166ππρθθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
即为320x y -+=，即曲线2C 的平面直角坐标方程为320x y -+=
（2）∵圆心O 到曲线2C ：320x y -+=的距离
()
2
2
2
1
1213d r =
==
+
，
如图所示，所以直线340x y -+=与圆的切点A 以及直线30x y -=与圆的两个交点B ，C 即为所求．
∵OA BC ⊥，则3OA k =-OA l 的倾斜角为23
π， 即A 点的极角为
23π，所以B 点的极角为2326πππ-=，C 点的极角为27326
πππ
+=，
所以三个点的极坐标为22,3
A π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，72,
6
C π
⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可.
19、（1）()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭；
（2）见解析. 【解析】
（1）根据函数()y f x =的最小正周期可求出ω的值，由该函数的最大值可得出A 的值，再由26f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，由此可得出函数()y f x =的解析式； （2）由[]0,x π∈计算出26
x π
+的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象. 【详解】
（1）因为函数()y f x =的最小正周期是π，所以22π
ωπ
==．
又因为当6
x π
=
时，函数()y f x =取得最大值2，所以2A =，
同时()226
2
k k π
π
ϕπ⨯+=+
∈Z ，得()26
k k π
ϕπ=+∈Z ，
因为2
2
π
π
ϕ-
<<
，所以6π=
ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；
（2）因为[]0,x π∈，所以132,666x π
ππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
， 列表如下：
26
x π
+
6
π 2
π π
32
π 2π
136
π
x
6
π 512
π 23π 1112
π
π
()f x
1 2
2-
1
描点、连线得图象：
【点睛】
本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题. 20、（1）2p =，圆的方程为：22(1)4x y -+=.（2）答案见解析 【解析】
（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；
（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01
y k k +=
，化简解得2y k
=，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出FM ，FN ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥. 【详解】
解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
，
所以(1)2
p
p =
--，解得2p =. 又圆的圆心为()1,0F ，
所以圆的方程为22(1)4x y -+=.
（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0， 设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，
代入C 的方程，得()2
0440ky y y h -++=.
令()016160k y k =-+=△，得01y k k
+=
， 所以()222
044
440k y ky ky y y A k -+-++=
=，解得2y k
=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k
=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭.
所以()02,FM y =-，21
21,FN k
k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
02222212
220FM FN y k k k k k k
⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭.
故MF FN ⊥.
【点睛】
本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.
21、（1）22
154
x y +=；
（2）见解析 【解析】
（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；
（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()
55,0x t t t =-<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通
过OM 、ON 斜率之积为4
5
-
列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为4
5
-可得
22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解.
【详解】
（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，
1c ∴=，
55e =
，c a ∴=， 5a ∴=，2b =，
∴椭圆方程为22
154
x y +=；
（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN
的方程为：()
0x t t t =<<≠
代入22
154x y +=
得：,M t ⎛ ⎝
，,N t ⎛- ⎝，
2122
455t k k t
-∴⋅==-⋅ 22454
55
t t -∴-⋅=-，
解得：2
5
2
t =
，
12MON
S t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+
由()
22222
4510520015
4y kx m
k x kmx m x y =+⎧⎪
⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①
1221045km x x k +=-+，2122
520
45m x x k
-⋅=+ 4
·5
OM ON k k =-，
12124
5
y y x x ∴
⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()
()2
2
121254550k x x mk x x m +⋅+++=
()22
222
52010545504545m km k mk m k k -⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭
整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠
MN =
=
=
O 到MN
的距离d =
1
2
MON S MN d ∴=
△
=
=
=综上：MON S △. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题. 22、（1）见解析，44n a n =+或2n a n =；（2）存在，6k =.
【解析】
（1）满足题意有两种组合：①18a =，212a =，316a =，②12a =，24a =，36a =，分别计算即可；
（2）由（1）分别讨论两种情况，假设存在正整数k ，使得1a ，k a ，+2k S 成等比数列，即2
12k k a a S +=⋅，解方程是否存在正整数解即可. 【详解】
（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①18a =，212a =，316a =，此时等差数列{}n a ，18a =，4d =， 所以其通项公式为44n a n =+.
②12a =，24a =，36a =，此时等差数列{}n a ，12a =，2d =， 所以其通项公式为2n a n =. （2）若选择①，2
26n S n n =+.
则()()2
2
2226221420k S k k k k +=+++=++.
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
44821420k k k +=++，整理，得2221710k k k k ++=++，即59k =-，
此方程无正整数解，故不存在正整数k ，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 若选则②，2n S n n =+，
则()()2
2
22256k S k k k k +=+++=++，
若1a ，k a ，2k S +成等比数列，则2
12k k a a S +=⋅，
即()()
2
2
2256k k k =++，整理得2560k k --=，因为k 为正整数，所以6k =.
故存在正整数6k =，使1a ，k a ，2k S +成等比数列. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及前n 项和，涉及到等比数列的性质，是一道中档题.。