安徽省阜阳第一中学高中数学数列的概念练习题百度文库

一、数列的概念选择题
1．已知在数列{}n a 中，112,1
n n n
a a a n +==+，则2020a 的值为（ ） A ．
1
2020
B ．
1
2019
C ．
11010
D ．
11009
2．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
3．已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-，则10a ＝（ ）
A ．35
B ．40
C ．45
D ．50
4．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5．数列{}n a 满足11
1n n
a a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．
13
D ．13
-
6．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()
*
21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）
A ．4-
B ．5-
C ．4
D ．5
7．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，
1
1
12()n
n
n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）
A ．210
B ．211
C ．224
D ．225
8．设数列{},{}n n a b 满足*172
700,,105
n n n n n a b a a b n N ++==+∈若6400=a ，则（ ） A ．43a a >
B ．43<b b
C ．33>a b
D ．44<a b
9．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.
10．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，
12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被
4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24
B ．26
C ．28
D ．30
11．在数列{}n a 中，已知13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则2020a =( ) A ．-6 B ．6 C ．-3
D ．3
12．数列{}n a 满足1
111,(2)2
n n n a a a n a --==≥+，则5a 的值为（ ）
A ．
18
B ．
17 C ．
131
D ．
16
13．数列1111
,,,
57911
--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32
n n --+
B ．(1)32
n n -+
C ．1(1)23
n n --+
D ．(1)23
n
n -+
14．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648
B ．722
C ．800
D ．882
15．已知数列{}n a
满足112n a +=+112
a =，则该数列前2016项的和为（ ） A ．2015 B ．2016 C ．1512 D ．
3025
2
16．数列1
2，16，112，120
，…的一个通项公式是（ ） A ．()1
1n a n n =-
B ．()1
221n a n n =
-
C ．111
n a n n =
-+ D ．11n a n
=-
17．已知数列{}n a 满足1N a *
∈，1,2+3,n
n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数
，若{}n a 为周期数列，则1a 的
可能取到的数值有（ ） A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
18．在数列{}n a 中，11a =，()*
1
22,21
n n a n n N a -=≥∈-，则3
a =（ ）
A ．6
B ．2
C ．
23 D ．
211
19．已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+，且133a =，则n
a n
的最小值为（ ） A ．21
B ．10
C ．
212 D ．
172
20．若数列{a n }满足1112,1n
n n
a a a a ++==-，则2020a 的值为（ ） A ．2
B ．－3
C ．12
-
D ．
13
二、多选题
21．已知数列0,2,0,2,0,2,
，则前六项适合的通项公式为（ ）
A ．1(1)n
n a =+-
B ．2cos
2
n n a π= C ．(1)2sin
2
n n a π
+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
22．若不等式1(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
23．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2
3
n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为
（ ） A ．2
B ．5
C ．3
D ．4
24．(多选)在数列{}n a 中，若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．
(){}1n
- 是等方差数列
C ．{}2
n
是等方差数列.
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．1
2
d =
B ．12
d =-
C ．918S =
D ．936S =
26．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正
A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则（ ）
A ．80a <
B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值
C ．49S S =
D ．满足0n S >的n 的最大值为12
28．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减
D ．数列{}n S 有最大值
29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911
111
a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <
30．在数列{}n a 中，若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
31．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310
S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
32．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）
A ．{}n a 为等差数列
B ．0n a >
C ．n S 最小值为214
-
D ．{}n a 为单调递增数列
33．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）
A ．2
n S n =
B ．2
23n S n n =-
C ．21n a n =-
D ．35n a n =-
34．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中
A ．若100S =，则280S S +=；
B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15
C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大
D ．若78S S <，则89S S <
35．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥
时，)
2
11n a =
-，则关于数列
{}n a 说法正确的是（ ）
A ．28a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．数列{}n a 为周期数列
D ．2
2n a n n =+
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=，即可求出. 【详解】
11n n n a a n +=
+，即11n n
a n a n +=+， 12
321123
21123
21
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⨯--2n
=， 202021
20201010
a ∴=
=. 故选：C.
2．B
解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-⨯+=-
故选：B.
【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
3．A
解析：A 【分析】
利用()n n n a S S n 12－＝－，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时，1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n ）=-----=45n
1n = 时满足11a S ＝ ∴ =45n a n ，∴ 10a ＝35
故选：A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S ＝求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用()n n n a S S n 12－＝－便可求出当n 2
≥时n a 的表达式．
(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合n 2≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与n 2≥两段来写． ．
4．A
解析：A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，
充分性：
1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，
0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，
10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；
若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；
必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.
所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.
因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．
5．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为11
1n n a a +=-，12a =，所以21111112
a a =
==---， 故选：B. 【点睛】
本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
根据已知递推条件(
)*
21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5
a
【详解】
由(
)*
21n n n a a a n N
++=-∈知：
3214a a a 4321a a a 5
43
5a a a
故选：B 【点睛】
本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题
7．D
解析：D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，
得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．
8．C
解析：C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ，即可求34,a a ，进而可得34,b b ，即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知：13
28010
n n a a +=
+，6400=a ， ∴345400a a a ===，而700n n a b +=， ∴34300b b ==， 故选：C 【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小，属于简单题.
9．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
10．B
解析：B 【分析】
先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】
由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，
则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.
11．C
解析：C 【分析】
根据题设条件，得到数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中
1234560a a a a a a +++++=，再由2020336644a a a ⨯+==，即可求解.
【详解】
由题意，数列{}n a 中，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-， 可得
3214325436547653,3,6,3,3,
a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=，
可得数列{}n a 是以6项为周期的数列，其中1234560a a a a a a +++++=， 所以20203366443a a a ⨯+===-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式，以及数列的周期性的应用，其中解答中得出数列的周期性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12．C
解析：C 【分析】
根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1
111,(2)2
n n n a a a n a --==
≥+，
所以211
123a =
=+，31131723a ==+，4117
11527a ==+，51
115131215
a ==+ 故选：C 13．D
解析：D 【分析】
根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】
因为数列1111
,,,
, (57911)
--可写成 ()()()()234
2322311111,1,1,12,..24.333
-⨯
-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213
n
n
n a n n -=-=
++⨯. 故选：D.
14．C
解析：C 【分析】
由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：2
22n a n =，即可得
出． 【详解】
由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：2
22n a n =．
则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C
15．C
解析：C 【分析】
通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论． 【详解】
依题意，
11 2
a=，
2
11
1
22
a=，
3
111
222
a=+=，
⋯
从而数列{}n a是以2为周期的周期数列，
于是所求值为
20161
(1)1512
22
⨯+=，
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是联想到数列的周期性并找到数列的周期.
16．C
解析：C
【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案.
【详解】
选项A. ()
1
1
n
a
n n
=
-,当
1
n=时，无意义.所以A不正确.
选项B. ()
1
221
n
a
n n
=
-,当
2
n=时，()
2
111
22221126
a==≠
⨯⨯⨯-，故B不正确.
选项C.
11
1
22
=-，
1111
62323
==-
⨯
，
1111
123434
==-
⨯
，
1111
204545
==-
⨯
所以
11
1
n
a
n n
=-
+
满足.故C正确.
选项D.
1
1
n
a
n
=-,当1
n=时,
1
11
10
12
a=-=≠,故D不正确.
故选：C
17．B
解析：B
【分析】
讨论出当1a分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a为周期数列，然后说明当19
a≥时，分1a为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a不是周期数列，即可得解.
【详解】
已知数列{}n a满足1N
a*
∈，
1
,
2
+3,
n
n
n
n n
a
a
a
a a
+
⎧
⎪
=⎨
⎪⎩
为偶数
为奇数
.
①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
③若13a =，则26a =，33a =，46a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，
，以此类推，可知对任意的
n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；
⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意
的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，
，以此类推，可知对任意的n *∈N ，
2n n a a +=，
此时，{}n a 为周期数列；
⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2
n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.
下面说明，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
（1）当(
34
12,2a ⎤∈⎦
且1N a *
∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列； （2）假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦
且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
⎤∈≥∈⎦
时. 若1a 为正偶数，则(11
22,22
k k a a +⎤=
∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列； 若1a 为正奇数，则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，
由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述，当19a ≥且1N a *
∈时，数列{}n a 不是周期数列.
因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．
18．C
解析：C 【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】
()*
1
22,21
n n a n n N a -=
≥∈-，1
1a =，212221
a a ∴=
=-，3222
213a a =
=-. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.
19．C
解析：C 【分析】
由累加法求出2
33n a n n =+-，所以
331n a n n n
，设33
()1f n n n
=
+-，由此能导出5n =或6时()f n 有最小值，借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解：()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+
22[12(1)]3333n n n =++⋯+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f
n n n
=
+-，由对勾函数的性质可知， ()
f n 在(上单调递减，在
)
+∞上单调递减，
又因为n ∈+N ，所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为56536321,55662
a a ===， 所以
n a n
的最小值为62162a =.
故选：C. 【点睛】
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
解析：D 【分析】
分别求出23456,,,,a a a a a ，得到数列{}n a 是周期为4的数列，利用周期性即可得出结果. 【详解】
由题意知，212312a +==--，3131132a -==-+，41
1121312a -
==+，5
1132113
a +
==-，612312
a +==--，…，
因此数列{}n a 是周期为4的周期数列， ∴20205054413
a a a ⨯===. 故选D. 【点睛】
本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.
二、多选题 21．AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，
解析：AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】
对于选项A ，1(1)n
n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；
对于选项B ，2cos 2
n n a π
=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；
22．ABC 【分析】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有恒成立，当n 为偶数时有恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：恒成立， 由递减
解析：ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n
-<恒成立，当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：1
2+a n
-<恒成立，
由12+
n 递减，且1
223n
<+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-， 当n 为偶数时有：1
2a n
<-恒成立， 由12n -
第增，且31
222n ≤-<， 所以3
2
a <
， 综上可得：322
a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题.
23．BD 【分析】
利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】
∴时，， 化为：，
由于数列单调递减， 可得：时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】 本
解析：BD 【分析】
利用递推关系可得12
11
n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案． 【详解】 解：∵2
3
n n n S a +=
， ∴2n ≥时，1121
33
n n n n n n n a S S a a --++=-=
-， 化为：112
111
n n a n a n n -+==+--， 由于数列21n ⎧⎫
⎨
⎬-⎩⎭
单调递减， 可得：2n =时，
2
1
n -取得最大值2． ∴1
n n a a -的最大值为3． 故选：BD ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故
解析：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故
{}n
a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方
差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2
n
中，()(
)
2
2
221
112
234n n n n n a
a ----=-=⨯不是常数，{}
2n
∴不是等方差
数列，故C 错误； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数
列，()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，
故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
25．BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．
因为，，所以公差． 故选：BD
解析：BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()199998
3622
a a S +⨯=
==． 因为35a =，73a =，所以公差731
732
a a d -=
=--．
故选：BD
26．BD 【分析】
由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB 选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列是递增数列，则，A 选项错误
解析：BD 【分析】
由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；
753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；
()()()22
171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤
--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.
n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.
故选：BD.
27．ACD 【分析】
由题可得，，，求出可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出可判断C ；令，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列的公差为，则，解得， ，，且，
对于A ，，故A 正确； 对于B ，的对称
解析：ACD 【分析】
由题可得16a d =-，0d <，21322
n d d
S n n =
-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022
n d d
S n n =->，解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，
10a >，0d ∴<，且()21113+
222
n n n d d
S na d n n -==-， 对于A ，
81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；
对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为13
2
n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；
对于C ，4131648261822d d S d d d =
⨯-⨯=-=-，9138191822
d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；
对于D ，令213022
n d d
S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：由于等差数列()2111+
222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫==+- ⎪⎝
⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.
28．ABD 【分析】
由可判断AB ，再由a1＞0，d ＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A 正确； 由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B 正
解析：ABD 【分析】
由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】
根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；
由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.
29．AC 【分析】
将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由，可得，令， ，
所以是奇函数，且在上单调递减，所以， 所以当数列为等差数列时，；
解析：AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为320191111
01212
a a e e -+-≤++，构造函数()11
12
x f x e =
-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由
3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()11
12
x f x e =-+， ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，
所以()1112
x
f x e =
-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()
320192*********
a a S +=
≥；
当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021
202110110T a =>.
故选：AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题
30．BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，
则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数， 是等方差数
解析：BCD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，
则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}
n a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，
{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；
对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，
数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，
，
()(
)()()
2222222212132221k k k k k k k k a
a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()
22
222
2221
2
1
3
2
221k k
k k k k k k a
a a a a a a a kp +++++--+-+-+
+-=，222k k a a kp ∴-=，
()
221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列，
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
31．AD 【分析】
由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】 由已知得：,
结合等差数列的性质可知，,该等差
解析：AD 【分析】
由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】
由已知得：780,0a a ><,
结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，
310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,
这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.
32．AD 【分析】
利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断 【详解】 解：当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以，
由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列， 因
解析：AD 【分析】
利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对
25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断
【详解】
解：当1n =时，11154a S ==-=-，
当2n ≥时，22
15[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，
当1n =时，14a =-满足上式， 所以26n a n =-，
由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于2
2
525
5()2
4
n S n n n =-=--
，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误， 故选：AD 【点睛】
此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题
33．AC 【分析】
利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与． 【详解】
等差数列的前项和为．，， ， 解得，， ．
故选：AC ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公
解析：AC 【分析】
利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ． 【详解】
等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，
∴31413239237
S a d a a d ⨯⎧
=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，
1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．
()21212
n
n n S n +-==
故选：AC ． 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
34．BC 【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】 A 选项，若，则， 那么.故A 不正确；
B 选项，若，则，
又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为
解析：BC 【分析】
根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案. 【详解】
A 选项，若101109
1002
S a d ⨯=+
=，则1290a d +=， 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++
++=+=，
又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负， 因为()
()116168916802
a a S a a +=
=+=， 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确； C 选项，若()115158151502
a a S a +=
=>，()
()116168916802a a S a a +=
=+<， 则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；
D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC . 【点睛】
本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.
35．ABD 【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
解析：ABD 【分析】
由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项
可得结果.
【详解】
)
2
11n a =
-得)
2
11n a +=
，
1=，
即数列
2=，公差为1的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
∴2
2n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，
所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.。