黑龙江省大庆市杜蒙县高三数学上学期第一次月考试题

2016-2017学年度第一学期第一次阶段性考试
高三数学学科试题
一、选择题（共12题，每题5分，共计60分。

）
1．已知集合2
{|10}A x x =-=，则下列式子表示不正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．{1}A -∈ C ．A ∅⊆ D ．{1,1}A -⊆
2．z 是z 的共轭复数，若()
2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i - 3．在等差数列{}n a 中，5225,3S a ==，则=7a （ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
4．已知函数x x x f 12)(3
-=，若)(x f 在区间)1,2(+m m 上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．11≤≤-m
B ．11≤<-m
C ．11<<-m
D ．11<≤-m 5．函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，則()17012
f f π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．23-
B ．23+
C ．31-
D ．31+ 6．设曲线1
1
x y x +=
-在点()2,3处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12 B ．1
2
- C ．2- D ．2
7．将函数)6
2sin(π
-
=x y 的图象向左平移
4π
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A.3π=x B.6π=x C.12π=x D.12π-
=x
8．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
12 D ．12-
9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22
3a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =
（ ）
A ．30︒
B ．0
60 C ．0
45 D ．0
150
10．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ） A ．30尺 B ．90尺 C ．150尺 D ．180尺 11．已知,为同一平面内的两个向量，且a b 2
1
2,1(==2+与-2垂直，则与的夹角为（ ） A ．0 B ．
4π C ．3
2π D ．π 12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x ≥时，()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪
=⎨⎪--∈+∞⎩ ,则关于x 的函数
()(),10y f x a a =--<<的所有零点之和为（ ）
A ．21a
- B ．-2
1a
- C ．12a -- D ．12a -
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每题5分，满分20分) （理科）13.
()2
3
2
2x
dx -+=⎰ ．
（文科）13.在等差数列{a n }中，40,19552==+S a a ，则=10a ________.
14．已知向量 a (2,1), b (3, m ) 。

若 (a 2 b ) //(3 b a ) ，则实数 m 的值是__________
15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，
c ，若3
cos cos 5
a B
b A
c -=，
则tan tan A B 的值为 ．
16．正项等比数列{}n a 满足：1232a a a +=，若存在n m a a ,，使得2
164·a a a n m =，则
n
m 9
1+的最小值为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.)
17．（本小题满分10分）已知函数()1
cos sin cos 2,64
f x x x x x R π⎛
⎫
=+--∈ ⎪⎝
⎭. （1）求()f x 单调递增区间； （2）求()f x 在,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值.
18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.
（1）求A 的大小；
（2）求sin sin B C +的最大值.
(文科)19.（本小题满分12分））随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机
调查了 n 个人，其中男性占调查人数的 52
，已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而
女性只有3
1
的人的休闲方式是运动。

动
（Ⅰ）完成下列 2×2 列联表：
运动
非运动
总计
男性
女性
总计
n
（Ⅱ）若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的人数至少有多少？
（Ⅲ）根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？
参考公式：K 2
＝ n (ad －bc )2
，其中 n ＝a ＋b ＋c ＋d .
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋
d )
参考数据：
P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001
k 0
3.841
6.635
10.828
（理科）19．（本小题满分12分）在某省举办的娱乐节目“快乐向前冲”的海选过程中设置了几名导师，负责对每批初选合格的选手进行考核并评分，并将其得分作为该选手的成绩，成绩大于等于
60分的选手定为合格选手，直接参加第二轮比赛，不超过40分的选手将直接被淘汰，成绩在()
40,60内的选手可以参加“待定”赛，如果通过，也可以参加第二轮比赛．
（1）已知成绩合格的200名参赛选手成绩的频率分布直方图如图，估计这200名参赛选手的成绩平均数和中位数；
（2）根据已有的经验，参加“待定”赛的选手能够进入第二轮比赛的概率如下表：
参赛选手成绩所在区间(]
40,50
()
50,60
每名选手能够进入第二轮的概率
1
2
2
3
假设每名选手能否通过“待定”赛相互独立，现有4名选手的成绩分别为（单位：分）43，45，52，58，记这4名选手在“待定”赛中通过的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
（文科）20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱
111
ABC A B C
-中，侧棱
1
AA⊥底面ABC，BC
AB⊥，D为AC的中点，
1
2
AA AB
==.
D
C
B
A
C1
B1
A1
（Ⅰ）求证：1
AB
//平面1
BC D
；（Ⅱ）设3
BC=，求四棱锥
11
B DAA C
-的体积.
（理科）20.（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．
（I ）求证：B 1C∥平面A 1BD ；
（Ⅱ）若AC 1⊥平面A 1BD ，求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1； （Ⅲ）在（II ）的条件下，求二面角B ﹣A 1C 1﹣D 的大小．
21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点(1,0)F ，过点F 且与坐标
轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60︒． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)T t ，使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅u u u r u u r u u u r u u u r
？若存在，求出实
数t 的取值范围；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）已知曲线()2
ln f x ax bx x =+在点()()
1,1f 处的切线是21y x =-.
（1）求实数,a b 的值；
（2）若()()2
1f x kx k ≥+-恒成立, 求实数k 的最大值.
参考答案
1．B 2．D 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．B 10．D 11．D 12．B 13．8
14．23π 15．1n
16．①②
17．（1）0
120A =；（2）1．
解：（1）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++
即222a b c bc =++，由余弦定理得222
2cos a b c bc A =+- 故1cos 2
A =-
，0
120A = （2）由（1）得：
001
sin sin sin sin(60)cos sin sin(60)22
B C B B B B B +=+-=
+=+ 故当0
30B =时，sin sin B C +取得最大值1.
18．解：（1）当1n =时，
113
132S a =
+-，可得14a =，
由
332n n S a n =
+-得113
132n n S a n ++=++-，
两式相减，得1133
122n n n a a a ++=
-+，即132n n a a +=-，
可得
()
1131n n a a +-=-，而
113
a -=，
所以数列
{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，
所以存在实数1λ=-，使得数列{}1n
a -为等比数列．
（2）由（1）得11333n n
n a --=⋅=， 即31,3n n
n n a na n n =+=⋅+，
所以()()
1231323333123n n T n n =⨯+⨯+⨯++⨯+++++L L ，
令1231323333n
n V n =⨯+⨯+⨯++⨯L ， 则
2341
31323333n n V n +=⨯+⨯+⨯++⨯L ，
两式相减得()2
3
1
1131313233333
3313
22n n
n n n n V n n n +++-⎛⎫
-=++++-⨯=
-⨯=-⋅- ⎪-⎝⎭
L ，
所以()11113133,T 32442442n n n n n n n n V +++⎛⎫⎛⎫
=-⋅+=-⋅++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
19．解：（1）因为()100.010.020.031a ⨯+++=， 所以0.04a =
平均数()()()()10650.01750.04850.02950.0382x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 由图可知前两个矩形面积之和为0．5，则中位数为80 （2）根据题意知成绩在(]()40,50,50,60内选手各有2名， 则随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，
()()11
2211111
0223336
1111112111223322336
P X P X C C ==⨯⨯⨯=
==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=
()12
2211111122111213222332233223336P X C C ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=
， ()11
221112112213223322333P X C C ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，
()11221
422339
P X ==⨯⨯⨯=．
所以X 的分布列为：
X
0 1 2 3 4
P 136
16
1336
13
19
所以1170123436636393
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 20．解：（1）取AB 中点H ，连接HG EH ,，H G F E ,,,分别是AB CD PD PA ,,,中点//EF ⇒AD ，
//AD GH //EF ⇒GH ,,,,H G F E ⇒四点共面又H E ,分别为AB PA ,的中点//EH ⇒PB ，而
⊂EH 平面EFG ，所以//PB 平面EFG .
（2）在线段AB 上取AQ DQ a ==‘
，则211121=⨯⨯=
∆AEF S ，2
121'a
a S S EFQ EFQ =⨯⨯==∆∆ 由3
4
54231121315431312=⇒⨯⨯=+⋅⨯⇒⋅=⋅⇒=∆∆--a a a S HE S V V EFQ AEF EFQ A AEF Q 即存在一
点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离为5
4
，此时34=DQ .
21．（1）22143x y +=（2）
1
(0,)4t ∈ 解：（1）由题意知1c =，又tan 603b
c ==o 2
3b =，
222
4a b c =+=，所以椭圆的方程为：22
143x y += ；
（2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22
1
43x y +=，得：
2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，
则
2120002
243,(1)23434x x k k
x y k x k k +===-=-++ ，
由QP TP PQ TQ ⋅=⋅u u u r u u r u u u r u u u r 得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u r u u u r u u r
，
所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，
直线TR 的方程为：
2
22
314()3434k k y x k k k +=--++ ， 令0y =得：T 点的横坐标22
213344k t k k ==
++，
因为2
(0,)k ∈+∞， 所以234(4,)k +∈+∞，所以1
(0,)4t ∈．
所以线段OF 上存在点(,0)T t 使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅u u u r u u r u u u r u u u r ，其中
1(0,)
4t ∈． 22．（1）1a b ==；（2）1.
解：（1）()'2ln f x a bx x bx =++,则()()11,'121f a f a b b ===+=⇒=. （2）由题[]2ln 1x x x kx k x +≥+-g 恒成立, 即2ln 1
x x
k x +≤+恒成立.
令()()()()()()
22
ln 112ln 2ln ln 1,'111x x x x x x
x x g x g x x x x ++--++-=
==+++,显然ln 1y x x =+-单增, 且有唯一零点1x =()g x ∴在()0,1 上单减, 在()1,+∞ 上单增,()()min 11,1g x g k ∴==∴≤, 故k 的最大值为1.。