最新2019年苏教版高中数学选修2课下能力提升十五离散型随机变量的均值

课下能力提升(十五) 离散型随机变量的均值
一、填空题
1．已知随机变量X 的概率分布为
则E (X )＝________．
2．若随机变量X ～B (n ，0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________．
3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧1，能够承受600度高温，0，不能够承受600度高温，则X 的均值为________． 4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 5. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值
E (X )＝________．
二、解答题
6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？
7．一接待中心有A ，B ，C ，D 四部热线电话，已知某一时刻电话A ，B 占线的概率均为0.5，电话C ，D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X 部电话占线，试求随机变量X 的概率分布和它的均值．
8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m 处击中目标的概率为1
2，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独
立的．
(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率； (2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．
答案
1．解析：由随机变量分布列的性质得，14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝1
6，
于是，X 的概率分布为
所以E (X )＝(－2)×4＋(－1)×3＋0×5＋1×6＋2×20＝－30.
答案：－17
30
2．解析：∵X ～B (n ，0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.
∴P (X ＝1)＝C 1
5×0.6×(1－0.6)4
＝3×0.44
＝0.076 8. 答案：0.076 8
3．解析：依题意X 服从两点分布，其概率分布为
所以X 的均值是E (X )＝0.7. 答案：0.7
4．解析：设取得次品数为X (X ＝0，1，2)， 则P (X ＝0)＝C 03C 2
7C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 1
7C 210＝7
15，
P (X ＝2)＝C 2
3C 210＝1
15
，
∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝3
5.
答案：3
5
5．解析：X 的取值为0，1，2，3且P (X ＝0)＝27
125
，
P (X ＝1)＝
54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8
125
， 故E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝6
5.
答案：6
5
6．解：设这次射击比赛中战士甲得X 分，战士乙得Y 分，则它们的概率分布如下：
根据均值公式，得
E (X )＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1， E (Y )＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.
∵E (Y )＞E (X )，
∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．
7．解：P (X ＝0)＝0.52×0.62
＝0.09，
P (X ＝1)＝C 12×0.52×0.62＋C 12×0.52
×0.4×0.6＝0.3，
P (X ＝2)＝C 22×0.52×0.62＋C 12C 12×0.52×0.4×0.6＋C 22×0.52×0.42＝0.37， P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2，
P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是得到X 的概率分布列为
所以E (X )＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
8．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A ，B ，C ，三次都未击中目标为事件D ，依题意P (A )＝12
，
设在x m 处击中目标的概率为P (x )，
则P (x )＝k x 2，且12＝k
100
2，
∴k ＝5 000，即P (x )＝5 000
x
2，
∴P (B )＝5 000150＝2
9
，
P (C )＝
5 0002002＝18， P (D )＝12×79
×78＝
49
144
. 由于各次射击都是相互独立的， ∴该射手在三次射击中击中目标的概率
P ＝P (A )＋P (A －·B )＋P (A －·B －
·C )
＝P (A )＋P (A －)·P (B )＋P (A －)·P (B －
)·P (C ) ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·29＋⎝
⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－29·18＝95144.
(2)依题意，设射手甲得分为X ，则P (X ＝3)＝1
2
，
P (X ＝2)＝12×29＝19，P (X ＝1)＝12×79×18＝7
144
，
P (X ＝0)＝
49144
.
所以E (X )＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝85
48
.。