重庆市云阳江口中学校2021届高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

重庆市云阳江口中学高2021级第2次月考试题
数学试题卷2020．10
命题人： 审题人：
一、单选题（本大题共8小题，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求）
1. 已知集合{}
2
320A x x x =+-≤，(){}
2|log 210B x x =-≤，则A
B =（ ）
A. 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦
D. 12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
解不等式确定集合,A B 后，再由交集定义计算． 【详解】{
}
2
2320{|1}3
A x x x x x =+-≤=-≤≤，
(){}21
|log 210{|0211}{|
1}2
B x x x x x x =-≤=<-≤=<≤， ∴12{|
}23
A B x x =<≤． 故选：D ．
2. 函数()log 42a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin 2θ=（ ） A. 513
-
B.
513
C. 1213
-
D.
1213
【答案】C 【解析】 【分析】
令对数的真数等于1，求得x 、y 的值，可得定点A 的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得tan θ，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得sin2θ的值．
【详解】对于函数()a y log x 42(a 0=++>且a 1)≠，令x 41+=，求得x 3=-，y 2=， 可得函数的图象恒过点()A 3,2-，且点A 在角θ的终边上，
y 2tan θx 3∴=
=-，则2222sin θcos θ2tan θ12sin2θsin θcos θtan θ113
===-++， 故选C ．
【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题． 3. 函数2
()ln 1f x x x
=-+的零点所在的大致区间是（ ） A. (1,2) B. (2,)e
C. (,3)e
D. (3,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解.
【详解】因为函数2
()ln 1f x x x
=-
+在()0,∞+上单调递增， 且2(1)ln11101f =-+=-<，2
(2)ln 21ln 202
f =-+=>，
所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A.
【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
4. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51
- 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. (35)π-
B. 51)π
C. 51)π
D. 52)π
【答案】A 【解析】 【分析】
根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．
【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，
则
1
2
αβ=
，又2αβπ+=，解得(3απ=- 故选:A
【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：211
22
S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长．
5. 已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3
π个单位后得到的函
数为奇函数，则函数()f x 的图像（ ）
A. 关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B. 关于直线12
x π
=
对称
C. 关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D. 关于直线512
x π
=
对称 【答案】D 【解析】 【分析】
由最小正周期为π可得
2ω=,平移后的函数为2sin 23
y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
,利用奇偶性得到
()23k k Z πϕπ-+=∈,即可得到3π
ϕ=-,则()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭,进而判断其对称性即可
【详解】由题,因为最小正周期为π,所以22π
ωπ
=
=,
则平移后的图像的解析式为2sin 2sin 233y x x πϕπϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
, 此时函数是奇函数,所以()23
k k Z πϕπ-+=∈, 则()2
3
k k Z ϕππ=
+∈, 因为2
π
ϕ<
,当1k =-时,3
π
ϕ=-
,
所以()sin 23πf x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
, 令()23
x k k Z π
π-=∈,则()6
2k x k Z π
π=+
∈,即对称点为,062k ππ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
； 令()23
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈,则对称轴为()5122
k x k Z ππ
=
+∈, 当0k =时,512
x π=， 故选：D
【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性
6. 已知函数()()2
ln 1e
f x x x =
++，则()
y f x =的
图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数在各区间的函数值的取值范围，利用排除法即可判断．
【详解】解：当12x =-时，可得2
1111ln 1ln 22224f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 因为1
4216
=，
1
14
4
16e >，所以14
1ln 2ln 4
e >=，所以1ln 24-<-，所以012
f ⎛⎫-⎪⎝⎭< 故排除C ，D ．
当0x >时，可得()2
ln 10x x ++>，
∴()()2
0ln 1e
f x x x
=
>++，排除A ． 故选：B ．
7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当[)2,0x ∈-时，()x
f x e =，则
()()()201820212022f f f ++等于（ ）
A.
1e
B. 1e
-
C. e -
D. e
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数满足()()4f x f x +=-，得到函数()f x 的周期是8，再由[)2,0x ∈-时，()x
f x e =，且函数
()f x 是定义在R 上的奇函数，将()()()201820212022f f f ++转化求解.
【详解】因为函数满足()()4f x f x +=-， 所以()()()84f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期是8，
又当[)2,0x ∈-时，()x
f x e =，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
所以()()()201820212022f f f ++，
()()()256f f f =++， ()()()212f f f =--，
()1
1f e
=-=.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，属于基础题.
8. 若函数()sin()(0)6f x x π
ωω=+>在[0,]π上有且仅有3个零点和2个极小值点，
则ω的取值范围为（ ） A. 1710,63⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B. 1023,36⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C. 1710,63⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D. 1023,36⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得做出函数简图，数形结合得[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，由于06x π
ω
=-，故4071043x x T πω+
==，502326x x T πω
=+=，再解不等式即可得答案. 【详解】如图作出简图，
由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ， 因为06x πω
=-， 则40077210443T x x x ππωω+
=+⋅==，500223226x x T x ππωω
=+=+⋅=， 结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236π
πω
<，
解得1023,36ω⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
. 故选：B ．
【点睛】本题考查三角函数的性质，考查数形结合思想与推理运算能力，是中档题.
二、多项选择题：（本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求）．
9. 下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >
B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <
C. ()0,x ∀∈+∞，131log 2x
x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x
x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据在在命题和全称命题的真假进行判断．
【详解】0x >时，22133x
x x ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭，∴23x x <，A 错；
(0,1)x ∈时，lg 0x <，lg3lg 20>>，因此
11lg 2lg 3>，∴lg lg lg 2lg 3
x x <，即23log log x x <，B 正确； 13x =时，1
3112⎛⎫< ⎪⎝⎭，131log 13=，即13
1log 2x
x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，C 错；
10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，112x
⎛⎫< ⎪⎝⎭，11331log log 13x >=，∴13
1log 2x x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，D 错误．
故选：B ．
【点睛】本题考查存在命题与全称命题真假的判断，解题时要注意全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和在在命题为真只要举一例即可． 10. 下列说法正确的是（ ） A. “4
x π
=
”是“tan 1x =”的充分不必要条件
B. 命题P ：“若a b >，则22am bm >”的否定是真命题
C. 命题“0x R ∃∈，001
2x x +
≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x
+≥” D. 将函数()cos2f x x x =+的图像向左平移
4
π
个单位长度得到()g x 的图像，则()g x 的图像关于点
0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义、原命题与否命题真假的关系、特称命题的否定方法、三角函数的性质与奇函数的性质逐一考查所给的命题是否正确即可． 【详解】解：逐一考查所给命题的真假：
A ．若“4
x π
=
”则“tan 1x =”，反之不一定成立，故题中的命题正确，
B ．当0m =时，命题P 为假命题，故其否定是真命题，题中的命题正确，
C ．命题“0x R ∃∈，001
2x x +
≥”的否定形式是“1,2x R x x
∀∈+<”，题中的命题错误， D ．将函数()cos2f x x x =+的图象向左平移
4
π
个单位长度得到的函数为()()cos(2)sin 4244
g x f x x x x x π
π
π
π
=+=+++=-++，
由于函数sin y x x =-+ 为奇函数，其函数图象关于坐标原点对称，故函数()g x 的图象关于点(0,)4
π
对
称，题中的命题正确， 故选：ABD ．
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，三角函数的定义、原命题与否命题真假的关系、特称命题的否定方法、三角函数的性质与奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称
为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数1
()12
=-+x x
e f x e ，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A. ()
g x 偶函数
B. ()f x 是奇函数
C. ()g x 的值域是{}1,0-
D. ()g x 在R 上是增函数 【答案】BC 【解析】 【分析】
利用()()11g g ≠-，()()11g g ≠--可判断A 错误，而()()f x f x -=-，故B 正确，求出()f x 的值域后利用高斯函数可求()g x ，从而可判断C 正确，D 错误.
【详解】根据题意知，e 111
()1e 221e
x x x
f x =-=-++. ∵e 1(1)[(1)]01e 2
g f ⎡⎤==-=⎢
⎥+⎣⎦，11(1)[(1)]112g f e ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦
， ∴()()11g g ≠-，()()11g g ≠--，∴函数()g x 既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；
∵111
()()1212
x x x
e f x f x e e ---=-=-=-++，∴()f x 是奇函数，B 正确； ∵0x e >，∴11x e +>，∴()11
22
f x -<<，∴()()
g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域{}1,0-，C 正确， 由复合函数的单调性知11
()21x
f x e =-+在R 上是增函数，则()()
g x f x =⎡⎤⎣⎦在R 上是增函数错误，D 错
误. 故选：BC .
【点睛】本题考查函数的奇偶性、值域，前者注意利用定义来判断，后者可根据函数的形式决定合适的求值域的方法，本题属于中档题.
12. 设定义在R 上的函数()f x 满足()()2
f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.已知存在
()()()2
20111122x x f x x f x x ⎧
⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭
，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底
数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）
A.
1
2
C.
2
e 【答案】BCD
【解析】
【
分析】
构造函数函数2
1
()()2
T x f x x =-，利用定义可知，()T x 为奇函数，根据导数可知()T x ()T x ∴在R 上单调
递减.结合已知可得0
12
x ，利用导数可知，函数()g x 在12
x 时单调递减，根据函数()x g x e a
=-在1
(,]2-∞有一个零点求出2⎡⎫
+∞
⎪⎢
⎪⎣⎭
，根据四个选项可得答案. 【详解】令函数2
1()()2T x f x x =-，因为
2()()f x f x x -+=，
22211
()()()()()()()022
T x T x
f x x f x x f
x f x x ∴+-=-+---=+--=，
()T x ∴为奇函数，
当0x 时，()()0T x f x x
'='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减.
存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，
∴00()(1)T x T x -，001x x -，即0
1
2
x ， ()x g x e a =-；1
()2
x
， 0x 为函数()y g x =的一个零点；
当1
2
x
时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在1
2
x 时单调递减，
由选项知0a >，取1
2
x =， 又0g e
e ⎛-=> ⎝
，
∴要使()g x 在1
2
x
时有一个零点， 只需使102g a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 解得e
a
， a ∴的取值范围为2⎡⎫
+∞
⎪⎢⎪⎣⎭
，
故选：BCD .
【点睛】本意考查了由定义判断函数的奇偶性，由导数判断函数的单调性，考查了函数单调性的应用，考查了由函数有零点求参数的取值范围，属于中档题.
三、填空题：本大题共4小题．
13. 已知幂函数()f x x α
=（α为常数）的图象经过点(2,16)-，则2log α=_______．
【答案】2 【解析】 【分析】
根据幂函数计算得到4α=，代入计算得到答案.
【详解】根据题意：()(2)216f α
-=-=，故4α=，故2log 2α=. 故答案为：2
.
【点睛】本题考查了幂函数和对数函数，意在考查学生的计算能力.
14. 若幂函数()f x 过点()2,8,则满足不等式(3)(1)f a f a -≤-的实数a 的取值范围是______. 【答案】(,2]-∞ 【解析】 【
分析】
先求得幂函数()f x 的解析式，在根据()f x 的单调性求得不等式(3)(1)f a f a -≤-的解集.
【详解】设()f x x α
=，代入点()2,8，得28,3α
α==，所以()3
f x x =，所以()f x 在R 上递增，所以
(3)(1)31f a f a a a -≤-⇒-≤-，解得2a ≤，所以实数a 的取值范围是(,2]-∞.
故答案为：(,2]-∞
【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的单调性，属于基础题.
15. 函数x
y e mx =-在区间(0,3]上有两个零点，则m 的取值范围是________.
【答案】3,3e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】 【分析】
由0x
e mx -=分离参数得x e m x =，(0,3]x ∈，引入函数()((0,3]x
e f x x x
=∈，用导数研究函数的单调性
极值后可得结论．
【详解】由题意方程0x
e mx -=（(0,3]x ∈）有两个实根，即x
e m x
=在(0,3]x ∈上有两个实根，
设()x e f x x
=，则2
(1)
()x e x f x x -'=，当01x <<时，()0f x '<，()f x 递减，1x >时，()0f x '>，()f x 递增，min
()(1)f x f e ==，又3
(3)3
e f =，而0x →时，()f x →+∞，
∴当33e e m <≤时，()x
e f x x
=的图象与直线y m =在(0,3]上有两个交点，即原函数有两个零点．
故答案为：3,3e e ⎛⎤
⎥⎝⎦
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是问题的转化，函数零点个数常常转化为方程的解的个数，再转化为函数图象与直线交点个数，为此引入新函数，研究函数的单调性，极值，确定函数图象的变化趋势后可得结论．
16. 在ABC 中，()sin sin sin A B C B -=-，则cos A =__________；点D 是BC 上靠近点B 的一个三等分点，记
sin sin ABD
λBAD
∠=∠，则当λ取最大值时，tan ACD ∠=__________．
【答案】 (1). 1
2
(2). 2+【解析】 【分析】
根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出1
cos 2
A =
；设BD x =，BAD θ∠=，π
θ0,
3
，则2DC x =，sin sin B t =θ，根据正弦定理，得到AD x =λ，sin sin
2
3
C
π
λ
θ，求出
cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ，得到222222sin cos sin cos 13B B ⎛⎫
+=++= ⎪⎝⎭
πλθλθ，表示出
2221
sin cos 3=
⎛⎫++ ⎪
⎝⎭
λπθθ，求出最值，即可得出结果.
【详解】因为()sin sin sin A B C B -=-，所以()sin sin sin B C A B =--，
即()()sin sin sin 2cos sin B A B A B A B =+--=， 又因为sin 0B ≠，所以1cos 2
A =； 设BD x =，BAD θ∠=，π
θ
0,
3
， 则2DC x =，sin sin B =λθ， 由正弦定理可得AD x =λ，sin sin sin
2
3
AD DAC
C
DC
π
θλ
，
又3
1
3
sin sin
cos sin cos sin 222
22
3
C B B B
B λ
θπ，
由sin sin 2223B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
λλπθθ，得cos cos 3B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πλθ． 因为2
2
2
2
2
2
sin cos sin cos 13B B ⎛⎫
+=++=
⎪⎝⎭
πλθλθ， 所以
2221
2
2sin cos 1cos 21cos 2
33=
=
⎛⎫
⎛⎫++-+++ ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
λππθθθθ
2
226=
⎛
⎫-- ⎪
⎝
⎭πθ， 因为πθ0,
3，所以2,
662πππθ⎛⎫-∈
- ⎪⎝⎭
， 所以当206
π
θ-
=时，λ
1，
此时
)
sin 1B =
=
， 所以4
B π
=
，tan tan 23
4ACD ⎛
⎫
∠=-
-
= ⎪⎝
⎭
π
ππ 答案为：
1
2
；2+【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.
四、解答题
17. 已知,,2παβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭，且sin 5
α=，()3sin 5αβ-=.
（1）求()cos αβ-的值； （2）求sin β的值.
【答案】（1）45；（2【解析】 【分析】
（1）由已知可求范围(2π
αβ-∈-
，)2
π
，由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解cos()αβ-的值． （2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α的值，又()βααβ=--，利用两角差的正弦函数公式即可计算求解．
【详解】解：（1）因为,,2παβπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
， 所以,2πβπ⎛
⎫-∈-- ⎪⎝
⎭
所以,22ππαβ⎛⎫-∈-
⎪⎝
⎭， 又因为3
sin()5
αβ-=，且22sin ()cos ()1αβαβ-+-=，
所以4cos()5
αβ-==.
（2）因为sin 5
α=
，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α=，
因为()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦sin cos()cos sin()ααβααβ=---，
所以43sin 555525β⎛=
⨯--⨯= ⎝⎭
. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18. 已知集合{
}
2
20A x
x x =-->∣，集合{
}
2
2(25)50,B x x k x k k R =+++<∈∣ （1）求集合B ；
（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）当52k >时，5,2B k ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k =时，B =∅；当52k <时，5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
；（2）1k .
【解析】 【分析】
（1）分类讨论解不等式可得集合B ；
（2）求解集合A ，根据充分不必要条件与集合包含之间的关系可求解． 【详解】（1）22(25)50x k x k +++<，则(25)()0x x k ++<， ∴5
2k >
时，52k x -<<-，52k =时，不等式无实解，当52k <时，52
x k -<<-． ∴当52k >
时，5,2B k ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k =时，B =∅；当52k <时，5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
；
（2）由已知{|1A x x =<-或2}x >
若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则B
A ，
5
2
k ≥
时，显然满足B A ，5
2k <
时，1k -≤-，∴512
k ≤<． 综上1k ．
【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查由充分不必要条件与集合包含之间的关系求参数范围．属于基础题．解含参数的一元二次不等式时注意分类讨论． 19. 已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移
4
π
个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[]0,π上的值域．
【答案】（1）()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=⎪⎭；（2）⎡-⎣． 【解析】 【分析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式． （2）利用三角函数平移变换可求得到函数()g x ，由已知可求范围5[,]444
x π
ππ
+∈，利用正弦函数的性质即可求解函数()g x 在区间[0，]π上的值域．
【详解】解：（1）由图可知，
732882
T πππ
=-=，∴T π=，2ω= ∴32282k ππ
ϕπ⨯
+=+，()24k k Z πϕπ=-∈
∵2
π
ϕ<
，∴4
π
ϕ=-
()
0sin 142f A A π⎛⎫
=-=-=- ⎪⎝⎭
，∴A =
∴()24f x x π⎛
⎫- ⎝
=
⎪⎭
（2）易知()4g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
当[]0,x π∈时，5,444x π
ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
∴()max g x =
()min 1g x =-
∴()g x 在区间[]0,π上的值域为⎡-⎣．
【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值．还考查了正弦函数的图象性质，属于基础题． 20. 已知R a ∈，函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的最大值.
【答案】（1）函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增；（2）2
1
1e -
. 【解析】 【分析】
（1）首先对函数求导，根据函数()1ln f x ax x =--在1x =处取得极值，得到()110f a '=-=，求得1a =，根据导数的符号求得其单调区间；
（2）将不等式转化为1ln 1x b x x +-≥，之后构造新函数()1ln 1x g x x x
=+-，利用导数求得其最小值，进而求得最值，得到结果. 【详解】()11ax f x a x x
-'=-=，由()110f a '=-=得1a =，()1ln =--f x x x ， （1）()1
x f x x
-'=
，由0f x 得1x >，由0f x 得01x <<，
故函数()f x 在0,1上单调递减，在1,上单调递增.
（2）()1ln 21x f x bx b x x
≥-⇒+
-≥， 令()1ln 1x g x x x =+-，则()2
ln 2
x g x x -'=，
由0g x
，得2x e >，由0g x ，得20x e <<，
故()g x 在(
)2
0,e
上递减，在()2
e ,+∞上递增，
∴()()2
2
min 1
e
1e g x g ==-，即2
1
1e b ≤-
， 故实数b 的最大值是2
11e -
. 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据极值点求参数的值，利用导数求函数的单调区间，利用导数求参数的取值范围，属于中档题目.
21. 重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6
π
（即AOB ∠）的小路之
间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长AB =A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6
MAB MBA π
∠=∠=
，设OBA θ∠=.
（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；
（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？ 【答案】（1）43OA θ=；36OB πθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）当632OB OA ==OM 取最大值. 【解析】 【分析】
（1）在OAB 中，利用正弦定理即可将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来； （2）在OMB △中，由余弦定理得出2OM 21632283
πθ⎛⎫
=-++ ⎪⎝
⎭
，结合三角函数的性质，即可得出OM 的最大值，再求出,OA OB 的长度即可.
【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可知sin sin 6
OA AB
πθ
=
， 则43OA θ=；
同理由正弦定理可得sin sin 6
OB AB
OAB
π=
∠， 则43436OB OAB πθ⎛⎫
=∠=+
⎪⎝
⎭
， （2）∵23AB =6
MAB MBA π
∠=∠=，
∴2AM BM ==，
在OMB △中，由余弦定理可知
2222cos 6OM OB BM OB BM πθ⎛
⎫=+-⋅+ ⎪⎝
⎭
248sin 4cos 666πππθθθ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
241cos 24233ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2823cos 228228333πππθθθ⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=-++++=-+
+ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎦， ∵50,
6
πθ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
， ∴2272,333πππθ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
，
∴2sin 21,32πθ⎡
⎛
⎫+=-⎢
⎪⎝
⎭⎣⎭
， 当2sin 213
πθ⎛
⎫
+
=- ⎪
⎝
⎭
时，即512πθ=时， OM
4=+，
此时5sin cos cos sin 124646OA ππ
πππ⎫==+=⎪⎭
5551261212OB πππππ⎛⎫⎛
⎫=+=-== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭
即当OB OA ==
OM 取最大值.
【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的实际应用，涉及了三角函数求值域，属于中档题. 22. 设a ，R b ∈，函数()ln f x x ax =-，()b
g x x
=.
（Ⅰ）若()ln f x x ax =-与()b
g x x
=
有公共点()1,P m ，且在P 点处切线相同，求该切线方程； （Ⅱ）若函数()f x 有极值但无零点，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）当0a >，1b =时，求()()()F x f x g x =-在区间[]1,2的最小值.
【答案】（1）220x y --=（2）1
a e
>
（3）()min F x =11,0ln 22{11ln 22,ln 222a a a a ⎛
⎫--<<+ ⎪
⎝
⎭⎛
⎫--≥+ ⎪
⎝
⎭.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用切线的几何意义求切线的斜率；（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值，只需极小值大于0或极大值小于0即可求出；（3）利用导数判断新函数的单调性及极值，再结合定义域分析函数再区间上的最小值．
试题解析：（Ⅰ）由()()
()()
11{11f g f g '=='得1{a b
a b -=--= 1
2{12
a b =
∴=-
； 在点11,2P ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的切线方程为1122y += ()1x -，即220x y --=． （Ⅱ）当0a ≤时，由()1
0f x a x
'=
->恒成立，可知函数()f x 在定义域()0,∞+单调递增，此时无极值． 当0a >时，由()10f x a x
'=-=得10x a
=>；由()10f x a x '=->得10,x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭；()10f x a x
'=-<得
1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
．
于是，1x a =
为极大值点，且()max 1f x f a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
ln 1a --． 由于函数()f x 无零点，因此()max 1f x f a ⎛⎫
== ⎪⎝⎭ ln 10a --<，解得1a e >
（Ⅲ）不妨设()1ln F x x ax x =--得()211F x a x x =-+' ()
221
ax x x
---=．
设()2
1h x ax x =--，
0a >，140a ∴∆=+>
设()0h x =的两根为1x ，2x ；且12x x <，由1210x x a ⋅=-
<得10x <，20x >
且2x =． ()()()
122
a x x x x F x x
---'∴=
． ∴当()0F x '=时2x x =；
当()0F x '>时，20x x >>；
当()0F x '<时，2x x >．
()F x ∴在(]20,x 递增，[)2,x +∞递减．
①当201x <≤时，即()11{210
a h <≥解得2a ≥时，][)21,2,x ⎡⊆+∞⎣，()F x 在[]1,2递减；
()()min 2F x F ∴== 1ln222
a --． ②当22x ≥时，即()20h ≤解得304
a <≤时，[](]21,20,x ⊆，()F x 在[]1,2递增； ()()min 1F x F ∴= 1a =--．
③当212x <<时，即324
a <<时，()F x 在[]21,x 递增，[]2,2x 递减； ()()21F F ∴-= 1ln2212a a --++ 1ln22
a =+-． （i ）当1ln222
a +≤<时，()()21F F ≤， ()()min 2F x F ∴== 1ln222
a --． （ii ）当31ln242
a <<+时，()()21F F >， ()()min 1F x F ∴== 1a --．
综合①、②、③得()()()F x f x g x =-在区间[]1,2的最小值；
()min F x ∴= 11,(02)2{1122,222a a ln ln a a ln --<<+⎛⎫--≥+ ⎪⎝
⎭． 点睛：本题考查函数的单调性极值及切线问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．。