2021届河北衡中同卷新高考原创预测试卷(二十)理科数学

2021届河北衡中同卷新高考原创预测试卷（二十）
理科数学
★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U =R ,集合[)1,3A =-,()(),14,U C B =-∞+∞,则A
B =（ ）
A. ()1,1-
B. ()1,3-
C. [)1,3
D. []1,4
【答案】C 【解析】 【分析】
先求集合B , 再求A
B 即可.
【详解】解: 已知全集U =R ，集合[)1,3A =-，
()
(),14,U C B =-∞+∞
则[]1,4B =, 所以[)1,3A B =.
故选:C
【点睛】本题考查集合的交并补运算,属于基础题. 2.复数2
2?()i （其中为虚数单位）的虚部等于（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】B 【解析】
试题分析：22
22
2?22()1(1)2i i i i i i i
===----,所以虚部为1-，故应选B. 考点：复数的运算．
点评：本题直接考查复数的运算，我们要熟练掌握复数的运算．属于基础题型． 3.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比q ＝ A. 2 B. 3
C. 4
D. 5
【答案】A 【解析】 【分析】
由于数列为等比数列，将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组可求得q 的值.
【详解】由于数列为等比数列，故135
1
11
64a q a q a q =⎧⎨⋅=⎩，664q =，由于数列各项为正数，故2q ，
选A.
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比
q 是正数.属于基础题.
4.某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表： 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲
80
85
90
则下列结论正确的是（ ）
A. 甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86
B. 在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高
C. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定
D. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 【答案】C 【解析】 【分析】
由表格中数据，利用平均数公式以及方差的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可． 【详解】由表格中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为
908582257
8633
++=<，错误A ；
这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分为85， 丙的成绩平均分最高为
908682
863
++=，∴B 错误；
这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，∴C 正确； 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，∴D 错误． 故选C ．
【点睛】本题考查了平均数公式、方差的定义与性质，是基础题．方差反映了随机变量稳定于均值的程度，12n 1
(++...+)x x x x n =
， 2222121[()()...()]n s x x x x x x n
=-+-++-. 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )
A. 54
B. 27
C. 18
D. 9
【答案】C 【解析】
试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，两边为6,3，棱锥的高为3，所以体积为1
633183
V =
⨯⨯⨯= 考点：三视图
6.已知,2παπ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
且1sin()23πα+=-，则()tan απ+=（ ）
A. 22-
B. 2
C. 2
D.
2【答案】A 【解析】 【分析】
由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解()tan απ+的值即可. 【详解】由题意可得：1cos sin 23
παα⎛⎫
=+
=- ⎪⎝
⎭， 由于,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭，故22sin 1cos 3
αα=-=， 据此可知()sin tan tan 22cos α
απαα
+===-本题选择A 选项.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
7.已知抛物线2
2(0)y px p =>为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>有相同的焦点F ，点A 是两
曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A.
1
B.
1
C.
1
D.
2
【答案】A 【解析】 【分析】
求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求.
【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，双曲线的焦点坐标为(),0c ， 2p c ∴=，
点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，
将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
将A 的坐标代入抛物线方程可得,
4
22222444b pc c a b a
===+，
即4224440a a b b +-=，解得
b
a
= 222
22
2b c a a a -∴==+)
22
231c a
=+=
解得1c
e a
=
=，故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
8.下列命题中真命题的个数是( )
ABC ①中，60B =是ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件； ②若“22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；
6xy ≠③是2x ≠或3y ≠充分不必要条件； lg lg x y >④
>
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
【答案】B 【解析】 【分析】
在①中ABC 中，60B ABC =⇔的三内角A ，B ，C 成等差数列；在②中，当0m =时不成立；在③中，6xy ≠是2x ≠或3y ≠的逆否命题是真命题；在④中，lg lg x y >
是
【详解】ABC ①中，60B ABC =⇔的三内角A ，B ，C 成等差数列，故①正确；
②若“22am bm <，则a b <”的逆命题“若a b <，则22am bm <”，
当0m =时不成立，故若“22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题，故②错误；
6xy ≠③是2x ≠或3y ≠
逆否命题是：
若2x =且3x =，则6xy =，真命题，
62xy x ∴≠⇒≠或3y ≠，
6xy ∴≠是2x ≠或3y ≠充分不必要条件，故③正确；
()lg f x x =④在定义域0x >范围内是单增函数：lg lg x y >可得到0x y >> ()g x =0x ≥>0x y >≥
可见，lg lg x y >>0y =lg lg x y >，
lg0不存在，lg lg x y ∴>>④错误．
故选B ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意充分条件、必要条
件、充要条件和四种命题的合理运用．
9.将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（ ） A. 252种 B. 112种 C. 70种 D. 56种
【答案】B 【解析】 【分析】
因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列．
【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，
一种是：一组2人，另一组5人，有C 72＝21中分法； 另一种是：一组3人，另一组4人，有C 73＝35中分法，
∴共有21+35＝56种分组法．
第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A 22＝2种分配方法， 最后，把两步方法数相乘，共有（C 72+C 73）A 22＝（21+35）×2＝112种方法， 故选B ．
【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题．
10.设2
2
2cos 4a x dx π
π
π-
⎛⎫=
+ ⎪⎝
⎭⎰，则二项式6()a x x -
展开式中含2x 项的系数是（ ） A.
B. 193
C.
D. 7
【答案】A 【解析】
试题分析：由于()2
2
2
22
2
2
2
2cos sin cos sin |24a x dx x x dx xdx x π
π
π
π
ππ
πππ--
--
⎛
⎫=
+=-=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰
则6
()a x x
-
含2x 项的系数为,故选择A.
考点：积分运算、二项式定理 11.已知函数()f x 的定义域为R ，
'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若
(0)1f =，则函数
'()
()
f x f x 的取值范围为（ ） A. [1,0]- B. [2,0]-
C. [0,1]
D. [0,2]
【答案】B 【解析】
分析：根据题意求得函数()f x 的解析式，进而得到()()
'f x f x 的解析式，然后根据函数的特征
求得最值．
详解：由()()'2x
f x f x xe -+=，
得()()'2x
x
e f x e f x x +=，
∴()'
2x e f x x ⎡⎤=⎣⎦
， 设()2
x
e f x x c =+（c 为常数），
∵()01f =， ∴1c =，
∴()21x
x f x e
+=， ∴()()
22221(1)x x
x
x
xe x e x f x e e ---=
=-
'， ∴()
()222'(1)2111
f x x x f x x x -=-=-+++， ∴当x=0时，
()()
'1f x f x =-；
当0x ≠时，()
()
'211f x f x x x
=-+
+， 故当0x >时，12x x
+≥，当1x =时等号成立，此时2
110
1x x -<-+≤+； 当0x <时，12x x
+≤-，当1x =-时等号成立，此时2
211
1x x
-≤-+<-+． 综上可得2
210
1x x
-≤-+≤+， 即函数
()()
'f x f x 的取值范围为[]
2,0-．
故选B ．
点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数
()f x 的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用
不等式的条件，确保等号能成立．
12.已知O 为直角坐标系的坐标原点，双曲线22
22:1(0)x y C b a a b
-=>>
上有一点
)
P
m （m >0），点P 在轴上的射影恰好是双曲线C 的右焦点，过点P 作双曲线C 两条渐
近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B ，若平行四边形PAOB 的面积为1，则双曲线的标准方程是（ ）
A. 2
214
y x -=
B. 22123
x y -=
C. 2
2
16
y x -=
D.
22
1
37
22x y -= 【答案】A 【解析】
设平行线方程为(b
y m x a
-=-
，由({b y x a
b
y m x a
=
=-
，解得A x =
，则
OA=，又点P到直线
b
y x
a
=的距
离
1
d==，化简得：
222
5
1
2
b a m
ab
-
=，又
2
22222
22
5
15,2
m
b a m a b ab
a b
-=⇒-=∴=
，又c=，解得1,2
a b
==，所以方程是
2
21
4
y
x-=，故选A.
【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.设,x y满足约束条件
21
21
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
，则32
z x y
=-的最小值为__________．
【答案】-5
【解析】
分析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【详解】由x，y满足约束条件
21
21,
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
+≥-
⎨
⎪-≤
⎩
作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A，
联立
21
21
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=-
⎩
，解得A（﹣1，1）．
∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．
故答案为﹣5．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14.
()2
2
1cos x dx π
π-
+=⎰ ．
【答案】2π+ 【解析】
试题分析：
()()2
22
2
1cos sin |2x dx x x π
π
πππ--
+=+=+⎰
考点：定积分
15.已知函数()cos()(0,0,0)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><<
的图象过点（0，
12
），最小正周期为
23π ，且最小值为－1.若[,]6x m π∈ ，()f x 的值域是3
[1,2
-- ，则m 的取值范围是_____. 【答案】25,918ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
根据题意易求1A =,3ω=，由图象过（0，
12 ），02
πϕ<<，可得3πϕ=，从而得函数解析
式，由,6x m π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可得533633x m πππ≤+≤+，由余弦函数性质及值域，可得
733
6
m π
π
π≤+
≤
，求解即可. 【详解】由函数最小值为－1，0A >，得1A =，
因为最小正周期为23
π，所以23
23
π
ωπ==，故()cos(3)f x x ϕ=+，
又图象过点（0，12 ）,所以1cos ,2ϕ= 而02π
ϕ<<，所以=3
πϕ，
从而()cos(3)3
f x x π
=+，
由,6x m π⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，可得533633x m πππ≤+≤+．
因为5()cos
6
6f π
π==,
且7cos 1,cos 6ππ=-=， 由余弦函数的图象与性质可知：733
6m π
π
π≤+≤
，解得25918
m ππ≤≤，
故填25[
,]918
ππ
. 【点睛】本题主要考查了余弦型函数的解析式，图象与性质，重点考查了单调性，属于中档题.
16.数列{}n a 是首项10a ≠，公差为d 的等差数列，其前n 和为n S ，存在非零实数t ，对任意
*n N ∈有(1)n n n S a n t a =+-⋅恒成立，则t 的值为__________．
【答案】1或12
【解析】 【分析】
分类讨论0d =和0d ≠两种情况即可求得t 的值.
【详解】当1n =时，()1n n n S a n t a =+-⋅恒成立，当2n ≥时： 当数列的公差0d =时，()1n n n S a n t a =+-⋅即()1111na a n t a =+-⋅， 据此可得()()1111n a n t a -=-⋅⋅，则1t =，
当数列的公差0d ≠时，由题意有：()1n n n S a n t a =+-⋅，()1112n n n S a n t a ---=+-⋅， 两式作差可得：()()1112n n n n n a a a n ta n ta --=-+---，
整理可得：()()()1111n n n n t a a t a ---⋅⋅-=-，即：()111n t
a n d t
-=-⋅-，① 则1n t
a n d t
=⋅
-，② ②-①整理可得：11n n t
a a d d t
--==-恒成立， 由于0d ≠，故
11t
t =-，据此可得：12
t =， 综上可得：t 的值为1或
1
2
. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，数列的前n 项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n S a +=-，且11a =，数列{}n b 中，11b =，59b =，
112(2)n n n b b b n +-=+≥.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项的和n T . 【答案】（1）12n n a ,21n b n =-；（2）()2323n
n T n =-⋅+.
【解析】 【分析】
（1）通过11n n S a +=-，当2n ≥时，可以求出1n S -的表达式，两式相减，得到
12n n a a +=，这样可以判断出数列{}n a 是等比数列，再求出数列{}n a 的通项公式.
（2）观察n n n c a b =⋅，它是一个等差数列乘以一个等比数列，这样可以采用错位相减法为求
{}n c 的前n 项的和n T ．
【详解】（1）由11n n S a +=-得11n n S a -=-（2n ≥）．两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=（2n ≥）．又121S a =-得2122a a ==，所以数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1，
故1
2n n a -=．由()1122n n n b b b n +-=+≥，可知n b 是等差数列，公差51
24
b b d -=
=， 则21n b n =-．
（2）()1
212
n n n n c a b n -=⋅=-⋅，
()0121123252212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ①， ()()12312123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+
+-⋅+-⋅ ②．
①-②得
(
)
()()()12
1
2212222
21212212323212
n
n n
n n
n T n n n ---=+⋅++
+--⋅=+⋅--⋅=---⋅-
故()2323n
n T n =-⋅+．
【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法. 18.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，AD 的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点．
（1）求证：平面MPB ⊥平面PBC ；
（2）若MP MC =，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析（226
【解析】
【详解】试题分析:(1)根据菱形性质得MB ⊥BC ，再根据射影定义得PM ⊥平面ABCD ，即得PM ⊥BC ，由线面垂直判定定理得BC ⊥平面PMB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面PMC 法向量，根据向
量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
试题解析: (1)证明∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.
又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，
∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，
∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，
∴平面MPB⊥平面PBC
(2)解法一过点B作BH⊥MC，连接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，
又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，
∴BH⊥平面PMC，
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，
∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，
在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，
MC＝＝a.
又由(1)知MB⊥BC，
∴在△MBC中，BH＝＝a，
由(1)知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，
∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，
∴sin∠BNH＝＝＝.
法二由(1)知MA，MB，MP两两互相垂直，以M为坐标原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，不妨设MA＝1，
则M (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，，0)，P (0，0，)，C (－2，，0)，
∵N 是PC 的中点，∴N
，
设平面PMC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 又∵＝(0，0，
)，
＝(－2，
，0)，
∴
即
令y 0＝1，则n ＝，|n |＝，
又∵
＝
，|
|＝
，
|cos 〈，n 〉|＝＝.
所以，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为.
19.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是
椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3（1）求椭圆C 的方程；
（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点
1
(0,)8
T ，求直线PQ 的斜率.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）12或32
【解析】
【分析】
（1）由题得到关于a,b,c 的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为
()1y k x =-，线段PQ 的中点为()00,N x y ，根据1TN PQ
k k ⋅=-，得
2
2231
4381443
k k k k k --+⋅=-+，解方程即得直线PQ 的斜率. 【详解】(1)因为椭圆离心率为
1
2
，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △
.
所以222
12122
c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩
，所以21
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.
（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，
当0k ≠时，()1y k x =-代入22
143
x y +=，
得:()
2222
3484120k x k x k +-+-=.
设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，
2
1202
4234x x k x k
+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以
2
2231
4381443
k k k k k --+⋅=-+， 化简得24830k k -+=，解得12
k =或3
2k ，
即直线PQ 的斜率为12或3
2
.
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20.已知函数()2
x
e x
f x a =-.
（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；
（2）若()f x 在()0+∞，
有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析.
(2) 2,4e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
【解析】
【详解】分析：（1）只要求得()f x 在0x ≥时的最小值即可证；
（2）()0f x =在(0,)+∞上有两个不等实根，可转化为2x
e a x =在(0,)+∞上有两个不等实根，
这样只要研究函数2()x
e h x x
=的单调性与极值，由直线y a =与()y h x =的图象有两个交点可
得a 的范围．
详解：（1）证明：当1a =时，函数()2
x
f x e x =-.则()'2x
f x e x =-，
令()2x
g x e x =-，则()'2x
g x e =-，令()'0g x =，得ln2x =.
当()0,ln2∈时，()'0h x <，当()ln2,∈+∞时，()'0h x >
()()(ln 2)22ln 200g x g f x '∴≥=->∴> f x 在[)0,+∞单调递增，()()01f x f ∴≥=
（2）解：()f x 在0,
有两个零点⇔方程20x e ax -=在0,
有两个根，
⇔ 2x
e a x
=在0,
有两个根，
即函数y a =与()2x e
G x x
=的图像在0,
有两个交点．()()3
2'x e x G x x -=
，
当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递增 当()2,x ∈+∞时，()'0G x >，()G x 在2,
递增
所以()G x 最小值为()2
24
e G =，当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，
f x 在0,
有两个零点时，a 的取值范围是2,4e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
．
点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．
21.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为2
3
，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求123,,p p p ；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中
123,,p p p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.
【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p =
==；②1161
77
i i i p p p +-=+，11156n n p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ， 由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法
可求得n p ．
【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意
1()2P A =
，2
()3
P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-， (1)()P X P AB =-=1
21()()(1)233
P A P B ==-⨯
=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232
=
⨯+-⨯-=， 121
(1)()()()(1)236
P X P AB P A P B ====⨯-=，
∴X 的分布列为：
（2）由（1）116
p =
， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117
()2662636
=⨯+⨯+=，
同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则
2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，
2(2)P Y z ==
由此得甲的得分Y 的分布列为：
∴3111111131143()()3362636636636216
p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，
∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=
+， ∴111()6
i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11
()6n
n n p p --=． ∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-111111()()(1)66656
n n n -=+++=-． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．
（二）选考题：共
10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 参数方程为2cos 22sin x y
αα
⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（α为参数），直线2C 的方程为3y x =，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线2
C 与曲线1C 交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的值.
【答案】（Ⅰ）2cos 4sin 30ρθρθ--+=（Ⅱ）3
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程．
（Ⅱ）把直线方程转化为极坐标方程，与曲线1C 的极坐标方程联立，根据根与系数的关系，求得结果．
【详解】（Ⅰ）曲线1C
的
普通 方程为(()22
24x y +-=， 则1C 的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρ
θ--+=
（Ⅱ）设()1P ρθ，，()2Q ρθ，，
将6π
θ=代入2cos ρθ- 4sin 30ρθ-+=，得2530ρρ-+=
所以123ρρ=，所以3OP OQ ⋅=.
【点睛】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根的应用，属于基础题型． 23.已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：
（1）22
95
a b +≥； （2）33814.16a b ab +≤ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】 （1）利用22a b +的几何意义证明，22a b +表示点(,)P A b 到原点O 的距离的平方，距离的最小值是原点到直线23a b +=的距离，由此可证； （2）先求出ab 的范围，然后334a b ab +可化为关于ab 的二次函数形式，再由二次函数的性质可得最大值，从而证明结论．
【详解】证明：（1）22a b +表示点(,)P A b 到原点O 的距离的平方，而原点到直线23a b +=的距离为35d ==，∴22295a b d +≥=；
（2）∵0,0a b >>，∴32a b =+≥908
ab <≤， 332222
4(4)[(2)4](94)94()a b ab ab a b ab a b ab ab ab ab ab +=+=+-=-=-29814()816ab =--+，易知98ab =时，29814()816
ab --+取得最大值8116． ∴3381416
a b ab +≤． 【点睛】本题考查不等式的证明，证明方法与一般证明不等式的方法不同，第（1）小题利用二次式的几何意义，表示两点距离的平方，由此得证法，第（2）小题由已知条件变形后代数式化为关于ab 的二次函数，由二次函数性质证明．这两种方法具有一定的局限性，注意体会．。