高三数学第八篇 立体几何

第八篇立体几何
第1讲空间几何体及其表面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数是________．
解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题
②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行
于圆锥底面的平面截圆锥才行．
答案1
2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个
面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD -A1B1C1D1中，三棱锥D1-DBC满足条件．
答案 ①③④⑤
3．在三棱锥S-ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S-ABC 的表面积是________． 解析 设侧棱长为a ，则2a ＝2，a ＝2，侧面积为3×1
2×a 2＝3，底面积为34
×22＝3，表面积为3＋ 3. 答案 3＋3
4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎨⎧
πrl ＝2π，
πr 2＝π，∴
⎩⎨⎧
r ＝1，
l ＝2.
∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3. ∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝3
3π. 答案
33
π 5．(·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________．
解析 如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝4
3π(3)3＝43π.
答案 43π
6．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为3
2，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×2
2＝26. 答案 2
6
7．(·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2，则正方体的棱长为________．
解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π
2，∴R 3＝278，而R ＝32
. 由于3a 2
＝4R 2
，∴a 2
＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝3，∴a ＝ 3.
答案 3
8．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．
解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝1
2×22×1＝24，∴V ＝V E -ADG ＋V F -BHC ＋V AGD -BHC ＝2V E -ADG ＋V AGD -BHC ＝13×24
×1
2×2＋
2
4×1＝
2
3.
答案
2 3
二、解答题
9．如图，在三棱锥P-ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求点C到平面APB的距离．
(1)证明取AB中点D，连接PD，CD.
因为AP＝BP，所以PD⊥AB，
因为AC＝BC，所以CD⊥AB.
因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，所以PC⊥AB.
(2)解设C到平面APB的距离为h，
则由题意，得AP＝PB＝AB＝AC2＋BC2＝22，
所以PC＝AP2－AC2＝2.
因为CD＝1
2AB＝2，PD＝
3
2PB＝6，
所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.
由(1)得AB⊥平面PCD，于是由V CAPB＝V APDC＋V BPDC，
得1
3·h·S△APB＝
1
3AB·S△PDC，
所以h＝AB·S△PDC
S△APB＝
22×
1
2×2×2
3
4×(22)
2
＝
23
3.
故点C到平面APB的距离为23 3.
10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为
r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为
V＝V 圆锥－V球＝1
3π(3r)
2·3r－
4 3πr 3＝
5
3πr
3，
将球取出后，设容器中水的深度为h，
则水面圆的半径为
3
3h，从而容器内水的体积为
V′＝1
3π⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
3h
2h＝
1
9πh
3，由V＝V′，得h＝
3
15r.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC ＝30°，则棱锥S-ABC的体积为________．
解析由题意知，如图所示，在棱锥S-ABC中，△SAC，
△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝
3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC＝BC＝2，作BD⊥
SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V S－
ABC ＝
1
3×
3
4×(3)
2×4＝ 3.
答案3
2．(·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．
解析如图，当AM＋MC1最小时，BM＝1，所以AM2＝2，C1M2＝8，AC21＝
14，于是由余弦定理，得cos∠AMC1＝AM2＋MC21－AC21
2AM·MC1＝－
1
2，所以sin∠AMC1
＝
3
2，S△AMC1＝
1
2×2×22×
3
2＝ 3.
答案3
3．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm、
高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面
绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
解析根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个
相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，
则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.
答案13
二、解答题
4．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D-ABC的体积．
(1)证明在图中，可得AC＝BC＝22，
从而AC2＋BC2＝AB2，
故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，
∴BC⊥平面ACD.
(2)解由(1)可知，BC为三棱锥B-ACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，∴V B-ACD
＝1
3S△ACD·BC＝
1
3×2×22＝
42
3，由等体积性可知，几何体D-ABC的体积为
42 3.。