浅论抽象函数的对称性及应用

浅论抽象函数的对称性及应用
麻城实验高中 阮 晓 锋 函数是中学数学教学的主线，是整个高中数学的基础。

作为函数的一个性质，对称性充分体现了数学之美。

对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，利用它还往往能使数学问题得到简捷解决。

本文拟从函数自身与两不同函数之间两方面来探究抽象函数的对称性。

一、函数自身的对称性探究
定理1：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a －x) = 2b ， 也可以写成b x a f x a f 2)()(=-++或b x a f x f 2)2()(=++-.. 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，
∵点P(x,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a －x ，2b －y ）也在y = f (x)图像上， ∴ 2b －y = f (2a －x) 即y+ f (2a －x)=2b 故f (x) + f (2a －x) = 2b 。

（充分性）设点P(x 0,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0) ∵ f (x) + f (2a －x) =2b ∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。

故点P ‘（2a －x 0，2b －y 0）也在y = f (x) 图像上
而点P 与点P ‘关于点A (a ,b)对称
∴y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称。

综上知定理得证。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
推广：若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常 数），则函数)(x f y =的图象关于点)2
,2(c b a +对称。

定理2 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是)2()(x a f x f -= 也可以写成 f (a +x) = f (a －x)或 )2()(x a f x f +=-。

证明：先证充分性
设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==
即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称 再证必要性
任取y=f(x)图像上的一点),(11y x ，它关于x=a 对称的点为),2(11y x a - ∵函数y=f(x)的图象关于x=a 对称
∴点),2(11y x a -也在函数y=f(x)的图象上
故有)2()(x a f x f -=恒成立。

综上知定理得证。

推论：函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
推广：若函数 y = f (x)满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2
2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 结论：若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件：)()(x a f x a f -=+， 又若方程
0)(=x f 有n 个根，则此n 个根的和为na 。

二、两个不同函数对称性的探究
定理3：若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f y -=两函数的图象
关于直线2a b x -=
对称（可记作由x b x a -=+解得）。

证明：设P(00,y x )是y=f(a+x)图像上的任意一点，则0y =f(a+0x )=f[b-(b-a-0x )] ∴点P ‘ (b-a-0x ,0y )在函数y=f(b-x)的图像上 而点P(00,y x ）与点P ‘(b-a-0x ,0y )关于直线x=-2b a 对称 同理可证函数y=f(b-x)图像上的任一点关于直线x=
-2b a 的对称点在y=f(a+x)图像上 故定理得证。

推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称
推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称
推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
推论4： 函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。

定理4.若函数)(x f y = 定义域为R ，则函数)(x a f y +=与)(x b f c y --= 的图象关
于点)2
,2(c a b -对称。

证明：设设P(0
0,y x )是y=f(a+x)图像上的任意一点，则0y =f(a+0x )=f [b-(b-a-0x )] ∴c-f [b-(b-a-0x )]=c-0y 即点P`(（b-a-
0x ，（c-0y ）在函数y=c-f(b-x)的图像上 而点P(00,y x )与点P`(（b-a-0x ，（c-0y ）关于点)2
,2(c a b -对称 同理可证y=c-f(b-x)图像上任意一点关于点)2
,2(
c a b -的对称点在y=f(a+x)图像上 故定理得证。

推论1： 函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=图象关于点)0,2(
a b -对称。

推论2： 函数y = f (x)与y = 2b －f (2a －x)的图像关于点 (a ,b)成中心对称。

定理5 ①函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。

②函数y = f (x)与x －a = f (a+y)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。

现证定理5中的②
设点P(x 0 ,y 0)是y = f (x)图像上任一点，则y 0 = f (x 0)。

记点P(x 0 ,y 0 )关于直线x －y = a 的轴对称点为P ‘（x 1， y 1），则x 1= a + y 0, y 1= x 0－a
∴x 0= a + y 1, y 0= x 1－a 代入y 0 = f (x 0)之中得x 1－a = f (a + y 1)
∴点P ‘（x 1， y 1）在函数x －a = f ( a+y)的图像上。

同理可证：函数x －a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x －y = a 的轴对称点也在函 数y = f (x)的图像上。

故定理5中的②成立。

推论1：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称，即互为反函数 的函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称。

定理6：函数y=f(x+m)与y=2a-f(x+m)关于直线a y =对称。

推论：函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称。

三．函数对称性应用举例
题型一、抽象函数的对称轴
1、若函数()2
f x x bx c =++对一切实数都有f (2＋x) = f (2－x)则（ A ） A.f(2)<f(1)<f(4) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f(1) D.f(4)<f(2)<f(1)
2、设函数y= f(x)定义在实数集R 上，则函数y= f (x －1)与y= f (1－x)的图象关于（ D ） 对称。

A.直线y=0
B.直线x=0
C.直线y=1
D.直线 x=1
题型二、抽象函数的对称中心
1、已知定义为R 的函数()x f 满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增. 如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（ A ）
A.恒小于0
B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负
2、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间
（D ）
A,关于直线x ＝5对称 B.关于直线x ＝1对称 C.关于点（5，0）对称 D.关于点（1，0）对称
四。

练习题
1.已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一 定过点（ ）
A. （2，-2）
B. （2，2）
C. （-4，2）
D. （4，-2）
2.若x ∈R ，恒有)21()21(x f x f --=+成立，当1(0,)2x ∈时,()4x f x =,则3()4
f =( )． A.2 B.2- C.-22
D.2- 3.已知函数(1)f x +为奇函数，函数(1)f x -为偶函数，且(0)2f =，则(4)f =（ ）
A. 1-
B. 2-
C. 1
D. 2
4.已知函数f x x ()=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12的图像与函数g x ()的图像关于直线y x =对称，()h x g x ()||=-1，
则关于h x ()有下列命题：（1）h x ()的图像关于原点对称；（2）h x ()为偶函数；（3）h x () 的最小值为0；（4）h x ()在（0，1）上为减函数。

其中正确命题的序号为：____________________。

5.已知定义在R 上的函数y=f(x)满足f(x+32)=-f(x),且函数y=f(x-34
)是奇函数，给出以 下四个命题，其中所有真命题的序号是_________。

①函数f(x)是周期函数 ②函数f(x)的图象关于点（-
34，0）对称 ③函数f(x)是偶函数 ④函数f(x)在R 上是单调函数
提示：1.选D 2.选B. 3.选D 4..填⑵⑶ 5.填①②③。