临猗县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

临猗县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设βα,是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若α⊥l ，βα⊥，则β⊂l B ．若α//l ， βα//，则β⊂l C ．若α⊥l ，βα//，则β⊥l D ．若α//l ，βα⊥，则β⊥l
2． 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪N
B ．M ∩N
C ．∁I M ∪∁I N
D ．∁I M ∩∁I N
3． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）
A ．6
B ．0
C ．2
D ．2
5． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8+2
B ．8+8
C ．12+4
D ．16+4
6． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，
N ，P 的关系（ ）
A ．M P N =⊆
B ．N P M =⊆
C ．M N P =⊆
D ．M P N ==
7． 定义运算：,,a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩
．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．⎡⎢⎣⎦
B ．[]1,1-
C ．⎤⎥⎣⎦
D ．⎡-⎢⎣⎦ 8． 若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z|z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为( )
A5 B4 C3
D2
9． 函数f （x ）=tan （2x+
），则（ ）
A ．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B ．函数最小正周期为
，且在（﹣
，）是减函数
C ．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数
D ．函数最小正周期为
，且在（
，
）是增函数
10．如图，四面体OABC 的三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D 为四面体OABC 外一点．给出下列命题．
①不存在点D ，使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ，使四面体ABCD 是正三棱锥 ③存在点D ，使CD 与AB 垂直并且相等
④存在无数个点D ，使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③
D ．③④
11．若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线
﹣
=1的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣4
D ．4
12．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．120
二、填空题
13．若非零向量，
满足|
+
|=|
﹣
|，则与
所成角的大小为 ．
14．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }
的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=
S n =
，则循环小数0. 的分数形式是 ．
15．长方体1111ABCD A BC D -中，对角线1AC 与棱CB 、CD 、1CC 所成角分别为α、β、， 则2
22sin
sin sin αβγ++= ．
16．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．
17．抛物线y2=8x上一点P到焦点的距离为10，则P点的横坐标为．
18．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为．
三、解答题
19．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为
222
x t y ⎧=+
⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
21
f x =sin x+002
（2）求函数g （x ）=f （x ）+
sin2x 的单调递增区间．
22．设p ：实数x 满足x 2﹣4ax+3a 2＜0，q ：实数x 满足|x ﹣3|＜1． （1）若a=1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；
（2）若其中a ＞0且￢p 是￢q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O
为AD的中点，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．
24．已知在等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中项．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+…+nb n=a n（n∈N*），求{b n}的通项公式b n．
临猗县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C111]
【解析】
考点：线线，线面，面面的位置关系
2．【答案】D
【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，
∴M∪N={1，2，3，6，7，8}，
M∩N={3}；
∁I M∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}；
∁I M∩∁I N={2，7，8}，
故选：D．
3．【答案】B
【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，
其中恰有两个球同色C31C41=12种，
故恰有两个球同色的概率为P==，
故选：B．
【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．
4．【答案】A
解析：解：由作出可行域如图，
由图可得A （a ，﹣a ），B （a ，a ），
由
，得a=2．
∴A （2，﹣2），
化目标函数z=2x ﹣y 为y=2x ﹣z ，
∴当y=2x ﹣z 过A 点时，z 最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A ．
5． 【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA
1=2，AB=2，高为
，
根据三视图得出侧棱长度为=2，
∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16
，
故选：D
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：通过列举可知{}{}2,6
,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.
考点：两个集合相等、子集．1
7．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
8．【答案】C
【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3.
9．【答案】D
【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，
在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，
故选：D．
10．【答案】D
【解析】
【分析】对于①可构造四棱锥CABD与四面体OABC一样进行判定；对于②，使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥；对于③取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD 与AB垂直并且相等，对于④先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r，可判定④的真假．
【解答】解：∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，
∴AC=BC=，AB=
当四棱锥CABD与四面体OABC一样时，即取CD=3，AD=BD=2
此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①不正确
使AB=AD=BD，此时存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥，故②不正确；
取CD=AB，AD=BD，此时CD垂直面ABD，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故③正确；
先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可
∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故④正确
故选D
11．【答案】D
【解析】解：双曲线﹣=1的右焦点为（2，0），
即抛物线y 2=2px 的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D ．
【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．12
1123
m
n n n n n m S C m
---+=
⋅⋅⋅⋅
=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．
二、填空题
13．【答案】 90° ．
【解析】解：∵
∴=
∴
∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°
【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．
14．【答案】 ．
【解析】解：0. = +
+…+=
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
15．【答案】 【解析】
试题分析：以1AC 为斜边构成直角三角形：1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆，由长方体的对角线定理可得：
222
2
2
2
1111
222111sin sin sin BC DC AC AC AC AC αβγ++=++22212
1
2()2AB AD AA AC ++==
.
考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键． 16．【答案】 9 ．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9
17．【答案】 8 ．
【解析】解：∵抛物线y 2
=8x=2px ，
∴p=4，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴
|MF|=x+=x+2=10， ∴x=8， 故答案为：8．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
18．【答案】
．
【解析】解：设大小正方形的边长分别为x ，y ，（x ，y ＞0）．
则+x+y+=3+，
化为：x+y=3．
则x 2+y
2=，当且仅当x=y=时取等号．
∴这两个正方形的面积之和的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）对（+）n ，所有二项式系数和为2n
=512，
解得n=9；
设T r+1为常数项，则：
T r+1=C 9r =C 9r 2r
，
由
﹣r=0，得r=3，
∴常数项为：C 9323
=672； （2）令x=1，得（1+2）9=39
．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
20．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2）． 【解析】
试题分析：（1）由公式cos sin x
y
ρθρθ=⎧⎨
=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．
21．【答案】
【解析】（本题满分12分）
解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2（﹣0）=π．
所以ω==2，由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=．
所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+）=cos2x…6分
（2）g（x）=f（x）+sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2k≤2x+≤2k，k∈Z则得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z
故函数g（x）=f（x）+sin2x的单调递增区间是：，k∈Z…12分
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应用，属于基本知识的考查．
22．【答案】
【解析】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，
若￢p是￢q的充分不必要条件，
则￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，
设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，
又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，
B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，
则0＜a≤2，且3a≥4
∴实数a的取值范围是．
23．【答案】
【解析】满分（13分）．
（Ⅰ）证明：∵∠A1AD=，且AA1=2，AO=1，
∴A1O==，…（2分）
∴+AD2=AA12，
∴A1O⊥AD．…（3分）
又A1O⊥CD，且CD∩AD=D，
∴A1O⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）解：过O作Ox∥AB，以O为原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图），则A（0，﹣1，0），A
（0，0，），…（6分）
1
设P（1，m，0）m∈[﹣1，1]，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），
∵=，=（1，m+1，0），
且
取z=1，得=．…（8分）
又A1O⊥平面ABCD，A1O⊂平面A1ADD1
∴平面A1ADD1⊥平面ABCD．
又CD⊥AD，且平面A1ADD1∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面A1ADD1．
不妨设平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）．…（10分）
由题意得==，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP的长为2时，二面角D﹣A1A﹣P的值为．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a2是a1和a3﹣1的等差中项得：
2a2=a1+a3﹣1，∴，
∴2q=q2，∵q≠0，∴q=2，
∴；
（2）n=1时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n，得b1=a1=1．
n≥2时，由b1+2b2+3b3+…+nb n=a n ①
b1+2b2+3b3+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1②
①﹣②得：．
，
∴．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的递推式，解答的关键是想到错位相减，是基础题．。