(整理)38第三十八讲函数的单调性与导数.

第三十八讲 函数的单调性与导数
一、引言
1.函数单调性是高中阶段刻画函数变化的一个最基本的性质，采用“导数法”求单调区间能简化运算，优化解题思想，也是近年来高考的考查重点内容之一．
2.考纲要求：了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性（对多项式一般不超过三次）．
3.考情分析：预测2010年高考对本专题内容的考查仍有研究导数图象与函数图象的问题，也有导数与解析几何、不等式、平面向量等知识综合的问题．
二、考点梳理
1．函数的单调性与导数：
设函数()y f x =在区间(),a b 内可导，如果()'0f x >，那么函数()y f x =在区间(),a b 上是单调递增函数；如果()'0f x <，那么函数()y f x =在区间(),a b 上是单调递减函数；如果()'0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常数函数．
值得注意的是：应正确理解区间(),a b 的含义，它必是定义域内的区间．
2．用导数法确定函数的单调性的步骤是：
（1）先求出定义域，再求出函数的导函数()'f x ；
（2）求解不等式()'0f x >，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；
求解不等式()'0f x <，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间．
也可以利用数轴，采用“穿轴法”确定函数()y f x =的单调区间：
①确定()y f x =的定义域(),a b ；
②求()y f x =的导数()'f x ；
③求出()'0f x =在(),a b 内的所有实根，再把函数()y f x =的间断点（即()f x 在定义域内的无定义点）和各实数根按照从小到大的顺序排列起来；
④在数轴上把()y f x =的定义域分成若干个小区间；
⑤利用“穿轴法”观察()'f x 在各小区间上的符号，从而判定()f x 在各个小区间上的增减性．
三、典型例题选讲
例1（2009江苏）函数()3215336f x x x x =--+的单调减区间为 ． 分析：显然用单调性的定义解决该题比较困难，所以应采用导数法求出单调增区间． 解：()()()2'330333111f x x x x x =--=-+.
令()'0f x <，解得111x -<<．
所以()f x 的单调减区间为()1,11-．
归纳小结：（1）本题考查利用导数法解决函数的单调区间问题，把问题转化为解不等式问题，考查转化思想，对解决问题的灵活性有一定的要求；
（2）当函数解析式为高次或分式、根式、对数等形式，或画函数图象很困难时，用导数法研究函数的单调性比定义法更为简便，这也是高考命题的热点之一，因此要熟练掌握用导数法求单调区间的方法及步骤．
例2（2007浙江）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
分析：由()'f x 的图象可观察出()'f x 在不同区间的符号，从而判断出()f x 在不同区间的单调性，因此可以根据()'f x 的图象大致得到()f x 的图象．
解：如图A 、B 、C 三个图中两条曲线可分别作为()y f x =和()y f x '=的图象，符合题意．对于D ，若上一条曲线为()y f x '=的图象，则()y f x =为增函数，不符合；若下一条曲线为()y f x '=的图象，则()y f x =为增函数，也不符合．故选D ．
归纳小结：（1）本题从直观的角度考查了可导函数的单调性与其导数的关系，通过对()'f x 的图象提炼函数()f x 的信息，考查数形结合思想和识图、用图的能力，以及分析问题、解决问题的能力．
（2）应用导数信息确定原函数大致图象，是导数应用性问题的常见题型，关键是把握原函数图象在()'f x 的图象与x 轴交点处的切线的斜率为0，()'f x 在不同区间的符号能判断出原函数的单调区间．
例3（2007陕西）()f x 是定义在(0
)+∞，上的非负可导函数，且满足()xf x '()f x +0≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（ ）
A ．()()af a f b ≤
B ．()()bf a af b ≤
C ．()()af b bf a ≤
D ．()()bf b f a ≤
分析：由()xf x '()f x +0≤可以判断函数()f x '的符号，因此可以根据()f x 的单调性解决问题．
解：因为0x >，()0f x ≥，则()()'0f x f x x
≤-≤. 设()f x y x
=，则()()2''0xf x f x y x -=≤. 所以()f x y x
=在(0)+∞，上单调递减函数． 又因为0a b <<，则
()()f a f b a b ≥， 故()()af b bf a ≤.
所以答案为C ．
归纳小结：（1）本题考查了导数的单调性和不等式的基础知识，对公式的变形和灵活运用，知识的迁移能力能力等有一定的要求．
（2）根据()f x '的符号判断()f x 的单调性是高考的考查重点内容之一，同时对不等式应用中简单的放缩法能根据问题的结论观察比较进行．
例4（2009安徽）已知函数()()22ln f x x a x x
=-+-()0a >，讨论()f x 的单调区间．
分析：本题考查了解析式含有参数的函数的导数问题，在转化为含参不等式时，要对参数进行合理地分类讨论．
解：()f x 的定义域是()0,+∞，22222()1a x ax f x x x x
-+'=+-= 设2
()2g x x ax =-+，二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-，
①当280a ∆=-<，即0a <<时，对一切0x >都有()0f x '>，此时()f x 在
(0,)+∞上是增函数；
②当280a ∆=-=，即a =x =有()0f x '=，对其余的0x >都有
()0f x '>，此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数；
③当280a ∆=->，即a >时，方程()0g x =有两个不同的实根
1x =，2x =()120x x <<． )单调递增 单调递减
此时()f x 在(0,)2a -上单调递增，在(,22
a a 是上单调递
减，在()2
a ++∞上单调递增．
综上所述：当0a <≤()f x 在(0,)+∞上单调递增；
当a >时，()f x 在(0,2a 和(,)2
a ++∞上单调递增，在
上单调递减． 归纳小结：（1）含参解析式求导转化为解含参不等式问题是高考试题中的一种常见考题形式．本题考查了利用导数求函数的单调区间、含参不等式的解法等相关知识，还考查了对导数的基本的应用意识，分类与整合思想和对代数式的变形计算、求导能力；
（2）用导数法解函数的单调区间的本质是求导，解不等式，对这两部分的知识在应用时谨慎，特别是要注意符号问题，以免发生错误；
（3）要注意的是：
①求单调区间时，一定要先求函数的定义域，因为函数的单调区间是定义域的子集； ②单调区间的描述，不能写成并集形式，如本题中的单调递增区间一定不能写成
(0,()22
a a -+⋃+∞． 例5 已知向量2(,1),(1,),a x x
b x t =+=-若函数()f x a b =⋅在区间()1,1-上是增函
数，求t 的取值范围．
分析：已知()f x 在区间()1,1-上单调递增，则()'f x 在此区间上一定有()'0f x ≥恒成立，因此只需要用分离参数法转化为最值问题即可．
解：依定义232
()(1)(1)f x x x t x x x tx t =-++=-+++，
则()2'32f x x x t =-++.
若()f x 在()1,1-上是增函数，则()'0f x ≥在()1,1-上恒成立．
即2
32t x x ≥-在区间()1,1-上恒成立． 令函数()232g x x x =-，
由于()g x 的图象的对称轴为13
x =，开口向上的抛物线，故使232t x x ≥-在区间()1,1-上恒成立，只须()()max 15t g x g ≥=-=．
而当5t ≥时，()'f x 在()1,1-上满足()'0f x >，即()f x 在()1,1-上是增函数． 故t 的取值范围是5t ≥．
归纳小结：（1）本题考查了已知函数的单调区间，求参数的取值范围，平面向量运算、不等式在区间上恒成立方法，考查了对知识的综合运用的能力和迁移能力．
（2）在已知函数()f x 是增函数（或减函数），求参数的取值范围时，应令()'0f x ≥（()'0f x ≤）恒成立，应用不等式恒成立的理论知识解决参数的取值范围．然后检验参数的取值能否使()'f x 恒等于0，如果()'f x 恒等于0，则在该点处参数的值必须舍去．
例6（2009年海南）已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++，
（1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间；
（2）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明6βα->. 分析：第（2）问函数()f x 在α、2、β的左右两侧单调性相反，因此可以由()'2f 0=得到参数,αβ的关系，从而进行消元；再由()()''0f f αβ==得到,αβ是方程()'0f x =的根，求出βα-的代数式，证明结论．
解：（1）当3a b ==-时，32()(333)x f x x x x e -=+--，
故322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-
3(9)x e x x -=--
(3)(3)x x x x e -=--+.
当3x <-或03x <<时，'()0f x >；
当30x -<<或3x >时，'()0f x <．
从而()f x 在(,3),(0,3)-∞-上单调递增，在()()3,0,3,-+∞单调递减．
(2)3223'()(3)(36)[(6)]x x x f x x x ax b e
x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-. 由条件得：'(2)0f =，即322(6)0a b a +-+-=，故4b a =-，从而
3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-
因为'()'()0f f αβ==，
所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2
(2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2,2a αβαβ+=-=-．
故βα-==
又(2)(2)0βα--<，即2()40αβαβ-++<．由此可得6a <-．
于是6βα->.
归纳小结：（1）本题考查函数的单调性、极值、导数、函数等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．
（2）本题可以推广为F x ()在()a -∞，上是增函数，在)0(，b 上是减函数，则解决参数问题只能通过解决两个最值问题加以解决：①()'0F a ≥在()a -∞，上恒成立；②()'F b 0≤在)0(，
b 上恒成立．
例7（2008湖南）已知函数()()2
2
ln 11x f x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式1
(1)n e n +α+≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数），求
α的最大值．
分析：第（I ）求单调区间可以利用解不等式()'0f x >或()'0f x <解决．第（Ⅱ）问是恒成立问题中的参数范围问题，通过分离参数，转化为最值问题求解．
解：（1）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，
22222ln(1)22(1)ln(1)2()1(1)(1)x x x x x x x f x x x x ++++--'=-=+++.
设2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++--，则()2ln(1)2g x x x '=+-．
令()2ln(1)2h x x x =+-，则22()211x h x x x
-'=
-=++．
当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上为增函数，
当0x >时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞上为减函数．
所以()h x 在0x =处取得极大值，而()00h =，所以()0(0)g x x '<≠，
函数()g x 在(1,)-+∞上为减函数．
于是当10x -<<时，()(0)0g x g >=，当0x >时，()(0)0g x g <=．
所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在()1,0-上为增函数.
当0x >时，()0f x '<，()f x 在(0,)+∞上为减函数．
故函数()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为(0,)+∞． （2）不等式1(1)n a e n
++≤等价于不等式1()ln(1)1n a n
++≤． 由111n +>知，101ln(1)n >+，∴1.1ln(1)a n n ≤-+ 不妨令1x n
=，(]0,1x ∈，则设(]11(),0,1ln(1)G x x x x =-∈+． 则22
222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)
x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++． 由（Ⅰ）知，2
2
ln (1)0,1x x x +-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤
所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是()G x 在(]0,1上为减函数.
故函数()G x 在(]0,1上的最小值为1(1)1ln 2G =
-． 所以a 的最大值为11ln 2
-． 归纳小结：本题考查了利用导数求复杂函数的单调区间和利用单调区间求最值问题，考查了转化和整合思想，对计算和恒等变形、归纳推理能力有较高的要求．
四、本专题总结
1．当()'0f x >时，()f x 是增函数；当()'0f x <时，()f x 是减函数．用导数法研究函数的单调性比用定义法更加简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想．因此，必须重视对数学思想方法进行归纳提炼，提高应用数学思想方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思想、简化解题过程的目的．
2．利用导数求函数的单调区间，一般要先确定定义域，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，求出函数的单调区间．同时还要注意的是，在单调区间的划分时，应去掉定义区间内的不连续点和不可导点．
3．()'0f x >或()'0f x <仅是()f x 在某区间上为增函数或减函数的充分条件．在某区间内可导函数单调递增（减）的充要条件是()'0f x ≥（()'0f x ≤）在该区间上恒成立．
4．本专题易错点主要有：
①函数的单调区间是定义域的子集，因此求解关于函数单调区间问题时，应先求函数的定义域；
②求函数的单调区间实际上是不等式()'0f x >（()'0f x <）对应的解集；但如果问题是已知函数在区间(),a b 上单调递增（或减）时，问题的实质是解决不等式()'0f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立问题．。