北京市2017届高三数学(文)综合练习29 含答案

北京市2017届高三综合练习
文科数学
本试卷分第I 卷（选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的) 1．设集合︒=≤=40sin },4|{m x x A ,则下列关系中正确的是 （ ） A ．A m ⊂ B ．A m ⊄ C ．A m ∈}{ D ．A m ∉}{
2．设平面向量|3|,//),,2(),2,1(b a y +-==则若b a b a 等于
（ ）
A ．5
B ．
6
C ．
17
D ．
26
3．下列函数中，既是奇数又是区间),0(+∞上的增函数的是
（ ） A ．2
1
x t =
B ．1-=x y
C ．3x y =
D ．x
y 2
=
4．设i 是虚数单位，则复数i i z 2)1(⋅+=所对应的点落在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第
四象限
5．若}{n
a 为等差数列，n
S 是其前n 项和，且3
2211
π=
S
，则6
tan a 的值为
( ) A ．3
B ．3-
C ．3±
D ．3
3-
http ：///
6．设函数a x
x x f -+=2log )(3在区间（1，2)内有零点，则实数
a 的取值范
围是（ ）
A ．)2log ,1(3
-- B ．)2log
,0(3
C ．)1,2(log 3
D ．)4log
,1(3
7．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c,S 表示ABC ∆的面积，若bcsoA B a +cos =
B a c b S
C c ∠-+=
则),(4
1,sin 222
( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8．设圆C
的圆心在双曲线)0(122
22>=-a y a
x 的右焦点且与此双曲线的渐
近线相切,若圆C 被直线03:=-y x l 截得的弦长等于2,则a 的值为
（ )
A ．
2
B ．3
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷(非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分)
9．把容量是100的样本分成8组,从第1组到第4组的频数分别是15，17,11，13,第5组到第7组的频率之和是0.32,那么第8组的频率是 .
10．命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 . 11．若将下面的展开图恢复成正方体，则ABC ∠的度数为 。

12．执行如图程序框图,输出S 的值等于 . 13．设,,R ∈y x 且满足02=+-y x ,则
2
2y x +的最小值为 ；
若y x ,又满足x
y x y 则,4->的取值范围是 。

14．有下列命题：
①x=0是函数3
x y =的极值点；
②三次函数d cx bx ax x f +++=23
)(有极值点的充要条件是;032>-ac b
③奇函数n x m x m mx x f +-+-+=)2(48)1()(23
在区间（-4，4）上是单调减函
数.
其中假命题的序号是 .
http ：///gaokao/beijing/
三、解答题（本大题共6个小题,共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）
已知函数).(2
cos 2sin
2
cos 2
sin 2)(22
R ∈-+=a x
x x x a x f （I ）当a=1时，求函数)(x f 的最小正周期及图象的对称轴方程式； (II ）当a=2时，在0)(=x f 的条件下，求
x
x
2sin 12cos +的值。

16．（本小题共13分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形,∠ABC=
∠BAD=90°，AD＞BC，E，F分别为棱AB，PC的中点。

（I）求证：PE⊥BC；
（II)求证：EF//平面PAD.
17．(本小题共13分）
某校高三年级有男生105人,女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查。

设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意"两种，且每人都做了一种选择。

下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息。

同意不同意合计
教师1
女生4
男生2
(I)请完成此统计表；
(II）试估计高三年级学生“同意”的人数;
（III）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同决的概率."
18．（本小题共13分)
已知函数).,()1(3
1)(223
R ∈+-+-=b a b x a ax x
x f
（I)若x=1为)(x f 的极值点，求a 的值; （II ）若)(x f y =
的图象在点（1,)1(f ）处的切线方程为03=-+y x ，求
)(x f 在区间[-2，4］上的最大值;
（III ）当0≠a 时,若)(x f 在区间（—1，1）上不单调，求a 的取值范围。

19．(本小题共14分)
已知椭圆的中点在原点O ，焦点在x 轴上,点)0,32
(-A 是其左
顶点，点C 在椭圆上且.||||,0CO AC CO AC ==⋅ （I)求椭圆的方程；
（II)若平行于CO 的直线l 和椭圆交于M ，N 两个不同点，求CMN
∆面积的最大值，并求此时直线l 的方程。

20．（本小题共14分)
数列}{n
a 的前n 项和为3,1=a S
n 若，点),(1
+n n S S 在直线)(11
*N ∈+++=n n x n
n y
上.
（I ）求证：数列}{n
S n
是等差数列；
（II ）若数列}{n
b 满足n a n n
a b
2⋅=，求数列}{n b 的前
n 项和;n
T
（III ）设3
22+=
n n n
T C
,求证:.27
2021>
+++n C C C
参考答案
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中,有且仅有一个符合题目要求的） 1—4 DACB 5—8 BCCA
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分,共30分) 9．0。

12
10．存在一个常数列不是等比数列 11．60° 12．20 13．
)3,1(2
14．①
三、解答题（本大题共6个小题，共80分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）
解：（I ）)4
sin(2cos sin )(π
-
=-=x x x x f
最小正周期为π2, 由,2
4π
ππ
+
=-k x
得).(4
3Z k k x ∈+=ππ
…………7分
（II ）当0)(,2==x f a 时，解得,2
1tan =x
.3
1
tan 1tan 1sin cos sin cos )sin (cos sin cos 2sin 12cos 222=+-=+-=+-=+x x x x x x x x x x x x …………13分
16．（本题满分13分)
证明：(I ）ABCD BC ABCD PA 平面平面⊂⊥, ∴PA ⊥BC
,90︒=∠ABC AB BC ⊥∴
∴BC ⊥平面PAB 又E 是AB 中点，
⊂∴PE 平面
PAB
∴BC ⊥PE.
…………6分
（II ）证明:取CD 中点G ，连结FG ，EG,
∵F 为PC 中点,∴FG//PD
PAD PD PAD FG 平面平面⊂⊄,
∴FG//平面PAD ； 同理,EG//平面PAD
G ，EC FG =
∴平面EFG//平面PAD 。

∴EF//平面PAD. …………13分
17．（本题满分13分）
解：（I)守成被调查人答卷情况统计表:
同意 不同意
合计 教师 1 1 2 女生
2
4
6
…………5分 （II)10563421055
31266
2=+=⨯+⨯（人)
…………8分
（III ）设“同意"的两名学生编号为1，2,“不同意"的四名学生分别编号为3，4，5，6,选出两人则有(1，2），(1,3)，(1，4),(1，5）,（1,6），（2,3），(2，4）,（2，5）,（2，6），(3，4），(3,5），（3，6)，(4，5)，（4,6），（5，6)共15种方法；
其中（1,3)，(1，4），（1,5）,（1，6)，（2，3),（2,4),（2，5），(2，6）,8种满足题意,则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为.
15
8 …………13分
18．(本题满分13分）
解:（I ）12)('22
-+-=a ax x
x f
)(1x f x 是= 的极值点，
,02,0)('2=-=∴a a x f 即
解得0=a 或2。

…………4分
（II ）))1(,1(f 是切点,
03)1(1=-+∴f .2)1(=∴f
即03
8
,13
1222
=-
+-+-+-=b a a b a
a 03=-+y x 切线 的斜率为-1
.1,012,1)1('2==+--=∴a a a f 即
代入解得.3
8=b
.3
831)(23+-=
∴x x x f ,2)('2x x x f -=∴
)(20x f y x x ===∴是和的两个极值点。

8)4(,4)2(,3
4
)2(,38)0(=-=-==f f f f
)(x f y =∴在[—2，4］上的最大值为8. …………10分
（III)因为函数)(x f 在区间（-1，1）不单调,
所以函数)('x f 在（—1，1)上存在零点。

而0)('=x f 的两根为a —1，a+1，区间长为2, ∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点. 所以0)1(')1('<-f f 即：0)2)(2(2
<-+a a a
22,0)2)(2(,02<<-<-+∴>a a a a
又).2,0()0,2(,0 -∈∴≠a a …………13分
19．(本题满分14分）
解：（I)设椭圆的标准方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x
.||||,),0,32(CO AC CO AC A =⊥-左顶点 ),3,3(,122-=∴C a 点
又∵C 在椭圆上，
,4,13
12322=∴=+∴
b b
∴椭圆的标准方程为.14
122
2=+y x
…………5分
（II)设),,(),,(2
2
1
1
y
x N y x M
∵CO 的斜率为-1,
∴设直线l 的方程为,m x y +-=
代入14
122
2=+y x 刘
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=
⋅=+>-⋅-=∆=-+-4123230)123(4436,0123642212
12222m x x m x x m m m m x x ,4
31224)(2||2
212
21m x x x x MN -=-+=∴
又C 到直线l 的距离,2
||2
|
33|m m d =
-+-
=
CMN
∆∴的面积)16(4
3
||2122m m d MN S -⋅=
⋅⋅= ,32)2
16(4322=-+⋅≤m m 当且仅当22
16m m
-=时取等号，此时22±=m 满足题中条件，
∴直线l 的方程为.022=±+y x …………14分
20．(本题满分14分)
解:（I))(11
),(*1N ∈+++=
+n n x n
n y S S
n n 在直线点 上, ,11
1+++=
∴+n S n
n S n n 同除以11
:,11
=-
+++n
S n S
n n
n 则有 }{
n
S n
数列∴是以3为首项，1为以差的等差数列. …………3分
(II ）由（I ）可知，),(2*2N ∈+=n n n S
n
∴当
n=1时，a 1=3，
当,12,21+=-=≥-n S S a
n n n n
时
经检验,当n=1时也成立,
学必求其心得，业必贵于专精
12125312112*2)12(2)12(2523,
2)12(,
2).
(12+--+⋅++⋅-++⋅+⋅=∴++++=⋅+=∴⋅=∈+=∴n n n n n n n n a n n n n n T b b b b T n b a b N n n a n 32121252)12(2)12(2)32(234++-⋅++⋅-+⋅-++⋅=n n n n n n n T 解得:.98
2)91
32
(32-⋅+=+n n n T
…………9分 （III ）n
n n
n n T C )41(9191
33232⋅-+==+
4
1
1]
)4
1(1[4
1
91912)1(3221--⋅-⋅++⋅=+++∴n n n n n C C C n n n )41
(271
2719432⋅+-+=
.2720
271
97
271
9432=-≥-+>n
n
…………14分 http:///gaokao/beijing/。