浙江初三初中数学期中考试带答案解析

浙江初三初中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、单选题
1.二次函数的对称轴为（）
A．x=2B．直线x=2C．x=1D．直线x=1
2.如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连结BC、DB，则下列结论错误的是（）
A. B. AF＝BF C. OF＝CF D. ∠DBC＝90º
3.将抛物线y=x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）
A．B．
C．D．
4.已知⊙O的直径为１０，若PO=５，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
5.对于的图象下列叙述正确的是（）
A．顶点作标为(－3，2)B．对称轴为：直线x=-3
C．当时随增大而减小D．函数的最小值是2
6.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（）.
A. 60°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
7.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算，则其结果恰为2的概率是（）
A．B．C．D．
8.绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）
A．4m B．5m C．6m D．8m
9.函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（）
A．B．C．D．
10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
A. 2
B. 8
C. 2
D. 2
二、填空题
1.抛物线的顶点是 _________
2.从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概率为___．
3.如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径___________
4.二次函数化为的形式_____________
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于点F，D为的中点，且的度数为70°则∠BAF=__________度
6.若二次函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是。

7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
x…﹣3﹣2﹣101…
则该函数图象的对称轴是_____________
8.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长
度为_____．
9.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都
是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，最低点离地面0.5米，小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则小明的身高为__________米.
10.已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④
；⑤其中所有正确结论的序号是__________（填序号）
三、解答题
1.已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于C点
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积
2.如图，在直角坐标系中，⊙E的半径为5，点E（１，-4）.
（１）求弦AB与弦CD的长；
（２）求点A，B坐标。

3.在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一
张．
（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；
（2）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．4.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示
的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
（3）当墙的最大可利用长度为10米时，围成花圃的最大面积是多少？
5.阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为⊙O上一点, ，AE⊥BD与点E,则△BDC的周长是．
6.如图所示，一次函数分别交x，y轴于A，C两点，抛物线与经过点A，C.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为抛物线上A，C两点间的一个动点，过点P作直线，交直线AC于点Q，当点P运动到什么位置时，线段PQ的长度最大？求此最大长度，及此时P点坐标。

（3）在（2）条件下，直线与轴交于N点与直线AC交于点M，当N，M，Q，D四点是平行四边行时，直接写出D点的坐标。

浙江初三初中数学期中考试答案及解析
一、单选题
1.二次函数的对称轴为（）
A．x=2B．直线x=2C．x=1D．直线x=1
【答案】D
【解析】∵y＝−2x²＋4x＋5，
∴对称轴为x＝＝1，
故选D．
2.如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连结BC、DB，则下列结论错误的是（）
A. B. AF＝BF C. OF＝CF D. ∠DBC＝90º
【答案】C
【解析】试题解析：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，
∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，
A、，正确，故本选项错误；
B、AF=BF，正确，故本选项错误；
C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；
D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；
故选C．
【考点】1．垂径定理；2．圆心角、弧、弦的关系；3．圆周角定理．
3.将抛物线y=x2向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵将抛物线y＝x²向上平移2个单位，再向右平移1个单位，
∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x−1）²＋2．
故选：A．
4.已知⊙O的直径为１０，若PO=５，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【答案】B
【解析】∵⊙O的直径为10，
∴⊙O的半径为5．
∵PO＝5，
∴点P在⊙O上．
故选B．
5.对于的图象下列叙述正确的是（）
A．顶点作标为(－3，2)B．对称轴为：直线x=-3
C．当时随增大而减小D．函数的最小值是2
【答案】C
【解析】∵y＝−2（x−3）²＋2，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（3，2），对称轴为x＝3，当x＝3时，函数有最大值2，
∴A、B、D不正确；
∵对称轴为x＝3，且开口向下，
∴当x≥3时y随x的增大而减小，
故选C．
6.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，=，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（）.
A. 60°
B. 45°
C. 35°
D. 30°
【答案】D
【解析】直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．故选：D．
【考点】圆周角定理．
7.有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的
点数记为x，计算，则其结果恰为2的概率是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵|x−4|＝2，
∴x＝2或6．
∴其结果恰为2的概率＝．
故选C．
8.绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【答案】D
【解析】连接OA，根据垂径定理可得AB=2AD，根据题意可得：OA=5m，OD=CD－OC=8－5=3m，根据勾股定理可得：AD=4m，则AB=2AD=2×4=8m.
【考点】垂径定理.
9.函数的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示：当y＝1时，x＝1或3，
故使y≤1成立的x的取值范围是：−1≤x≤3．
故选：A．
点睛: 此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用数形结合分析是解题关键．
10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的
长为（）
A. 2
B. 8
C. 2
D. 2
【答案】C
【解析】连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，根据勾股定理得到（R-2）2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC为△ABE的中位线，则
BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．
解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图所示，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=R，OC=R-CD=R-2，
∵OC2+AC2=OA2，
∴（R-2）2+42=R2，解得R=5，
∴OC=5-2=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△BCE中，．
考点: 1.垂径定理；2.勾股定理；3.三角形中位线定理；4.圆周角定理．
“点睛”本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题
1.抛物线的顶点是 _________
【答案】（-1，-2）
【解析】∵y＝−2x²−4x−4＝−2（x＋1）²−2，
∴顶点坐标为（−1，−2），
故答案为：（−1，−2）．
2.从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概率为___．
【答案】
【解析】利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解．从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3 5 6）、（3 5 9）、（3 6 9）、（5 6 9）四
种等可能结果，其中能组成三角形的有（3 5 6）、（5 6 9）两种等可能结果，所以能组成三角形的概率==．故答案为．
【考点】1.列表法与树状图法；2.概率公式.
3.如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径___________
【答案】5
【解析】
连接OA，
∵弦AB长为8，
∴AC＝4，
∵OC⊥AB于C且OC＝3，
∴OA＝5．
故答案为：5．
4.二次函数化为的形式_____________
【答案】
【解析】=－4x+4+1=+1
【考点】二次函数的顶点式.
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于点F，D为的中点，且的度数为70°则∠BAF=__________度
【答案】20°
【解析】
连结OC，如图，
∵D为的中点，
∴＝，
∵的度数为70，
∴的度数为140，
∴∠AOC＝140，
∴∠ABC＝∠AOC＝70，
∵AO⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°−70°＝20，
故答案为：20．
6.若二次函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是。

【答案】k≤3，且k≠0.
【解析】根据二次函数与x轴有交点则b2-4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．
试题解析：∵二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2-4ac=36-4×k×3=36-12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0.
【考点】抛物线与x轴的交点．
7.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是_____________
【答案】直线x=﹣2
【解析】∵当x＝−3和x＝−1时，y＝−3，
∴点（−3，−3）和点（−1，−3）关于对称轴对称，
∴对称轴为x＝＝−2，
故答案为：直线x＝−2．
8.如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC互补，则弦BC的长
度为_____．
【答案】4
【解析】过点O作OD⊥BC于D，
则BC=2BD，
∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB==30°，
∵⊙O的半径为4，
∴BD=OB•co s∠OBC=4×=2，
∴BC=4．
9.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都
是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，最低点离地面0.5米，小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，
则小明的身高为__________米.
【答案】1米
【解析】
如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax²＋c，
，
解得，，
∴该抛物线的解析式为y＝2x ²＋0.5，
当x＝−1＋0.5＝−0.5时，
y＝2×（−0.5）²＋0.5，
解得，y＝1，
即小明的身高为1米，
故答案为：1米．
10.已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④
；⑤其中所有正确结论的序号是__________（填序号）
【答案】②③⑤
【解析】∵x＝1时，y＜0，
∴a＋b＋c＜0，①错误；
∵x＝−1时，y＞1，
∴a−b＋c＞1，②正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为（0，1），
∴c＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＜0，
∴abc＞0，③正确；
∵x＝−2时，y＞0，
∴4a−2b＋c＞0，④错误；
∵−b2a＝−1，
∴2a−b＝0，⑤正确，
故答案为：②③⑤．
点睛: 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
三、解答题
1.已知二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于C点
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积
【答案】（1）A（-2，0）B（2，0）C（0，-2）;（2）三角形ABC是等腰直角三角形，面积为4
【解析】试题分析: （1）令y＝0，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点A、B的坐标，令x＝0求出
y值，由此即可得出点C的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可得出AC、BC、AB的长度，结合AB2＝AC2＋BC2且AC＝BC即可得出△ABC为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可得出结论．
试题解析:
（1）令y＝0，则x ²−2＝0，
解得：x ₁＝−2，x ₂＝2，
∴A（−2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（−2，0）；
令x＝0，y＝−2，
∴C点的坐标为（0，−2）．
（2）∵A（−2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（−2，0），且C（0，−2），
∴AC＝2，BC＝2，AB＝4，
∴AB²＝AC²＋BC²．
∵AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝4．
2.如图，在直角坐标系中，⊙E的半径为5，点E（１，-4）.
（１）求弦AB与弦CD的长；
（２）求点A，B坐标。

【答案】（１）AB="6" ，CD＝;（２）A（－２，０）B（４，０）
【解析】试题分析: （1）先过E作EF⊥AB于F，作EG⊥CD于G，根据垂径定理得出BF＝AB，CG＝CD，再根据⊙E的半径为5，E（1，−4），运用勾股定理求得BF和CG的长，即可得出弦AB与弦CD的长；
（2）先根据E（1，−4），EF⊥AB，得出F（1，0），再根据AF＝BF＝3，即可得出OB＝1＋3＝4，AO＝3−1
＝2，进而得到点A，B坐标．
试题解析:
（1）如图所示，过E作EF⊥AB于F，作EG⊥CD于G，
则BF＝AB，CG＝CD，
∵⊙E的半径为5，E（1，−4），
∴BE＝5，EF＝4，GE＝1，
∴Rt△BEF中，BF＝＝3，
Rt△CEG中，CG＝＝2，
∴AB＝2BF＝6，CD＝2CG＝4；
（2）如图所示，∵E（1，−4），EF⊥AB，
∴F（1，0），
又∵AF＝BF＝3，
∴OB＝1＋3＝4，AO＝3−1＝2，
∴A（−2，0），B（4，0）．
3.在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一
张．
（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；
（2）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．【答案】（1）图形见解析（2）
【解析】（1）本题属于不放回的情况，画出树状图时要注意；（2）B、C、D三个卡片的上的数字是勾股数，选
出选中B、C、D其中两个的即可.
试题解析：
（1）如图：
（2）
4.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示
的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．
（3）当墙的最大可利用长度为10米时，围成花圃的最大面积是多少？
【答案】（1） (2)当AB长为8米时，花圃面积最大为128平方米；
（3）当墙的最大可利用长度为10米时，AB=11米时，面积最大为110平方米。

【解析】试题分析: （1）根据题意可以写出S与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）根据（1）中的函数关系式，可以化为顶点式，从而可以解答本题；
（3）根据二次函数的性质可以解答本题．
试题解析:
（1）由题意可得，
S＝x（32−2x）＝−2x²＋32x，
∵，
解得，0＜x＜16，
即S与x之间的函数关系式是S＝−2x²＋32x（0＜x＜16）；
（2）∵S＝−2x²＋32x＝−2（x−8）²＋128，
∴当x＝8时，S有最大值，最大值是128平方米；
（3）∵S＝−2（x−8）²＋128，
由32−2x≤10得，x≥11，
∴11≤x≤16，
∴当x＝11时，S取得最大值，此时S＝−2（11−8）²＋128＝110，
即当墙的最大可利用长度为10米时，围成花圃的最大面积是110平方米
5.阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC
任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为⊙O上一点, ，AE⊥BD与点E,则△BDC的周长是．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】试题分析: （1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB＝MG，再利用等腰三角形的性质得出BD＝GD，即可得出答案；
（2）方法一、首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF＝AD，以及CD＋DE＝BE，进而求出DE的长即可得出答案．
方法二、先求出BE，再用（1）的结论得出BE＝CD＋DE，即可得出结论．
试题解析:
（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC＋GD＝AB＋BD；
（2）解：方法一、如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE，则CD＋DE＝BE，
∵∠ABD＝45°，
∴BE＝，
则△BDC的周长是2＋2．
故答案为：2＋2．
方法二、∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB，
∴由（1）的结论得，BE＝DE＋CD，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝2，
∴BE＝，
∴DE＋CD＝，
∴则△BDC的周长是BC＋BD＋CD＝BC＋BE＋DE＋CD＝2＋2．
故答案为：2＋2．
点睛: 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
6.如图所示，一次函数分别交x，y轴于A，C两点，抛物线与经过点A，C.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为抛物线上A，C两点间的一个动点，过点P作直线，交直线AC于点Q，当点P运动到什么位置时，线段PQ的长度最大？求此最大长度，及此时P点坐标。

（3）在（2）条件下，直线与轴交于N点与直线AC交于点M，当N，M，Q，D四点是平行四边行时，直接写出D点的坐标。

【答案】（1）；（2）当时，PQ最大=， P（）；
（3）.
【解析】试题分析: （1）先求出A、C坐标，把A、C两点坐标代入y＝x²＋bx＋c解方程组即可．
（2）设P（a，a²＋2a−3），则 Q（a，−a−3），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）如图2中，分两种情形①当MN为平行四边形的边时，DQ＝MN＝2，可得D1（−，），D2（−，−）．②当MN为对角线时，可得D3（−，−）．
试题解析: （1）∵一次函数y＝−x−3分别交x，y轴于A，C两点，
∴A（−3，0）C（0，−3），把A、C两点坐标代入y＝x²＋bx＋c
得
解得，
∴y＝x ²＋2x−3．
（2）设P（a，a ²＋2a−3），则 Q（a，−a−3），
∴PQ＝−a−3−（a ²＋2a−3）＝−a ²−3a＝−（a−）²＋．
∴当a＝−时，PQ是最大值＝，
此时 P（−，−）．
（3）如图2中，
∵N（−1，0），M（−1，−2），Q（−，−），
∴MN＝2，
①当MN为平行四边形的边时，DQ＝MN＝2，
∴，．
②当MN为对角线时，可得，
综上所述，满足条件的点D的坐标为．
点睛: 本题考查二次函数、一次函数的应用、最值问题、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。