桃山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

桃山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图所示是一个几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（
）
A ．
B ．
C ．
+D ．
++1
3
4
意在考查学生空间想象能力和计算能在区域内任意取一点2＜1的概率是（）
D．
4，5），则回归直线的方程是（）
D．=1.23x+0.08
5． 已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（
）
A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，h （x ）﹣④
C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④
6． 经过点且在两轴上截距相等的直线是（ ）()1,1M A ． B ．20x y +-=10
x y +-=C ．或 D ．或1x =1y =20x y +-=0
x y -=7． 已知在△ABC 中，a=
，b=
，B=60°，那么角C 等于（
）
A ．135°
B ．90°
C ．45°
D ．75°
8． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]A ．
B ．
C ．
D ．10512030
9． 对于函数f （x ），若∀a ，b ，c ∈R ，f （a ），f （b ），f （c ）为某一三角形的三边长，则称f （x ）为“可构造三角形函数”，已知函数f （x ）=是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（
）
A ．C ．D ．
10．设定义在R 上的函数f （x ）对任意实数x ，y ，满足f （x ）+f （y ）=f （x+y ），且f （3）=4，则f （0）+f （﹣3）的值为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．0
D ．4
11．已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ）
A ．（￢p ）∨q
B ．p ∨q
C ．p ∧q
D ．（￢p ）∧（￢q ）
12．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x=1，直线l ：y=k （x ﹣1）+1，则l 与C 的位置关系是（ ）A ．一定相离B ．一定相切
C ．相交且一定不过圆心
D ．相交且可能过圆心
二、填空题
13．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；
BM ED CN BE
③与成角；④与是异面直线．CN BM 60︒DM BN 以上四个命题中，正确命题的序号是
（写出所有你认为正确的命题）．
14．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．
15．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________．
16．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】在平面直角坐标系中，直线与函数
xOy l 和均相切（其中为常数），切点分别为和
()()2220f x x a x =+>()()3220g x x a x =+>a ()11,A x y ，则的值为__________．
()22,B x y 12x x +17．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S ﹣ABC 的体积的最大值为 ．
18．设所有方程可以写成（x ﹣1）sin α﹣（y ﹣2）cos α=1（α∈[0，2π]）的直线l 组成的集合记为L ，则下列说法正确的是 ；①直线l 的倾斜角为α；
②存在定点A ，使得对任意l ∈L 都有点A 到直线l 的距离为定值；③存在定圆C ，使得对任意l ∈L 都有直线l 与圆C 相交；④任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1∥l 2；⑤任意l 1∈L ，必存在唯一l 2∈L ，使得l 1⊥l 2．　
三、解答题
19．（本小题满分12分）某市拟定2016年城市建设三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这,,A B C 三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对三项重点工程竞标成功的概率分
,,A B C 别为，，
，已知三项工程都竞标成功的概率为，至少有一项工程竞标成功的概率为．a b 14()a b >12434
（1）求与的值；
a b （2）公司准备对该公司参加三个项目的竞标团队进行奖励，项目竞标成功奖励2万元，项目竞,,A B C A B 标成功奖励4万元，项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．
C
【命题意图】本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．
20．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．
（Ⅰ）证明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．
21．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=，g（x）=，其中n∈N*
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
22．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=AD=4，点E 为AB 中点．（1）求证：BD 1∥平面A 1DE ；（2）求证：A 1D ⊥平面ABD 1．
23．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈（1）当时，求的单调区间；
1m =()f x （2）令，区间，为自然对数的底数。

()()g x xf x =15
2
2,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
e （ⅰ）若函数在区间上有两个极值，求实数的取值范围；
()g x D m （ⅱ）设函数在区间上的两个极值分别为和，()g x D ()1g x ()2g x 求证：.
12x x e ⋅>
24．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若，求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范围．
桃山区第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，
其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，
边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．
于是此几何体的表面积S=S△PAC+S△ABC+2S△PAB=××2+×2×1+2×××=+1+．
故选：D
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
2．【答案】D
【解析】
3．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
4．【答案】D
【解析】解：设回归直线方程为=1.23x+a
∵样本点的中心为（4，5），
∴5=1.23×4+a
∴a=0.08
∴回归直线方程为=1.23x+0.08
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；
图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），
又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），
那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．
故选：D．
【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．
6． 【答案】D 【解析】
考
点：直线的方程.7． 【答案】D
【解析】解：由正弦定理知=
，
∴sinA==
×
=
，
∵a ＜b ，∴A ＜B ，∴A=45°，
∴C=180°﹣A ﹣B=75°，故选：D ．　
8． 【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为，故选D.5030
1500
考点：系统抽样9． 【答案】D
【解析】解：由题意可得f （a ）+f （b ）＞f （c ）对于∀a ，b ，c ∈R 都恒成立，由于f （x ）=
=1+
，
①当t ﹣1=0，f （x ）=1，此时，f （a ），f （b ），f （c ）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．
②当t ﹣1＞0，f （x ）在R 上是减函数，1＜f （a ）＜1+t ﹣1=t ，同理1＜f （b ）＜t ，1＜f （c ）＜t ，
由f （a ）+f （b ）＞f （c ），可得 2≥t ，解得1＜t ≤2．③当t ﹣1＜0，f （x ）在R 上是增函数，t ＜f （a ）＜1，同理t ＜f （b ）＜1，t ＜f （c ）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥1，解得1＞t≥．
综上可得，≤t≤2，
故实数t的取值范围是[，2]，
故选D．
【点评】本题主要考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于难题．
10．【答案】B
【解析】解：因为f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，
则f（0）+f（0）=f（0+0）=f（0），
所以，f（0）=0；
再令y=﹣x，
则f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，
所以，f（﹣x）=﹣f（x），
所以，函数f（x）为奇函数．
又f（3）=4，
所以，f（﹣3）=﹣f（3）=﹣4，
所以，f（0）+f（﹣3）=﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，突出考查赋值法的运用，判定函数f（x）为奇函数是关键，考查推理与运算求解能力，属于中档题．
11．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
12．【答案】C
【解析】
【分析】将圆C 方程化为标准方程，找出圆心C 坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d ，与r 比较大小即可得到结果．
【解答】解：圆C 方程化为标准方程得：（x ﹣1）2+y 2=2，∴圆心C （1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l 的距离d=
＜
=r ，且圆心（1，0）不在直线l 上，
∴直线l 与圆相交且一定不过圆心．故选C
二、填空题
13．【答案】③④【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①与是异面直线，所以是错误BM ED 的；②与是平行直线，所以是错误的；③从图中连接，由于几何体是正方体，所以三角形DN BE ,AN AC ANC 为等边三角形，所以所成的角为，所以是正确的；④与是异面直线，所以是正确的．
,AN AC 60 DM BN
考点：空间中直线与直线的位置关系．14．【答案】　﹣　．
【解析】解：∵α为锐角，若sin （α﹣）=，
∴cos （α﹣）=
，
∴sin
=
[sin （α﹣
）+cos （α﹣
）]=
，
∴cos2α=1﹣2sin 2α=﹣．
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．　
15．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3，
∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1，即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋（x ＞0），1x
∴
，解之得x 0＝1，y 0＝0，a ＝0.
{
a ＋1
x 0＝1
y 0＝x 0－1
y 0＝ax 0＋ln x 0
)
∴a ＝0.答案：016．【答案】
5627
【解析】17．【答案】 ．
【解析】解：由题意画出几何体的图形如图
由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．
∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．
在RT△SHO中，OH=OC=OS
∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，
∴体积V=Sh=××22×1=．
故答案是．
【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．
18．【答案】　②③④　
【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；
对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），
可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；
对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，
如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；
对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；
对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）由题意，得，因为，解得．…………………4分
1
1424
131(1)(1)44ab a b ⎧=⎪⎪⎨⎪----=⎪⎩a b >1213a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（Ⅱ）由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量，
X 则的值可以为0，2，4，6，8，10，12．…………5分
X 而；；
4
1
433221)0(=⨯⨯==X P 1231(2)2344P X ==⨯⨯=； ；
1131(4)2348P X ==⨯⨯=1211135
(6)23423424P X ==⨯⨯+⨯⨯=； ；
1211(8)23412P X ==⨯⨯=1111
(10)23424P X ==⨯⨯=．…………………9分
1111
(12)23424
P X ==⨯⨯=所以的分布列为：
X X 0246
81012P
41418124512124124
1于是，．……………12分
1115111()012345644824122424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯23
12
=20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD 为圆O 的直径，∴AB ⊥AD ，∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线，∴AD ⊥AE ，∵AB ∩AE=A ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD ⊥BE ；
（Ⅱ）解：多面体EF ﹣ABCD 体积
V=V B ﹣AEFC +V D ﹣AEFC =2V B ﹣AEFC ．∵直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线，∴AE ∥CF ，∥AE ⊥AC ，AF ⊥AC ．∵AE=CF=，∴AEFC 为矩形，
∵AC=2，∴S AEFC =2
，
作BM⊥AC交AC于点M，则BM⊥平面AEFC，
∴V=2V B﹣AEFC=2×≤=．
∴多面体EF﹣ABCD体积的最大值为．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．　
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：
x
f′（x）+0﹣
f（x）↗↘
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：
x（0，n）n（n，+∞）
g′（x）﹣0+
g（x）↘↗
所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．　
22．【答案】
【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，
∵OE∥BD1，OE⊂平面ABD1，BD1⊄平面ABD1，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．
23．【答案】（1）增区间，减区间，（2）详见解析
()0,2()2,+∞【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数在区间D 上有两个极值，等价于
()g x 在上有两个不同的零点，令，得，通过求导分析
()2ln 21g x x mx -'=+15
22,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
()0g x '=2ln 12x m x +=得的范围为；（ⅱ），得，由分式恒等变换得m 512231,e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
2ln 1
2x m x +=12122ln 12ln 12x x m x x ++==
，得，要证明12121212
212ln 12ln 12ln 1
lnx x x x x x x x ++++--=
+-1
1212112112222
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--，只需证，即证，12x x e >12ln ln 12x x ++>1
2112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-令，，通过求导得到恒成立，得证。

312
1x
e t x -<=<()()21ln 1t p t t t -=-+()0p t <试题解析：
（2）（ⅰ）因为，
()2
2ln g x x x mx x =--所以，，
()2ln 2212ln 21g x x mx x mx =+--=-+'15
22,x e e -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
若函数在区间D 上有两个极值，等价于在上有两个不同的零点，()g x ()2ln 21g x x mx -'=+15
22,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
令，得，
()0g x '=2ln 1
2x m x
+=设，令()()2
2ln 112ln ,x x
t x t x
x x
'+-==()0,t x x ='=x 1
2
x e
-
=11
22,x e e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
1
2
x e
=15
22,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
5
2
x e
=()t x '大于0
小于0
()
t x 0
增
12
2e
减
52
6e
所以的范围为m 51
2231
,e e
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数在区间D 上有两个极值分别为和，不妨设，则
()g x ()1g x ()2g x 12x x <，1212
2ln 12ln 1
2x x m x x ++=
=
所以12121212
212ln 12ln 12ln 1lnx x x x x x x x ++++--=
+-
即，1
121211211222
2
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x
x x x x x x x x ++++=
⋅=⋅--要证，只需证，即证，12x x e >12ln ln 12x x ++>1
2
112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-令，即证，即证，312
1x e t x -<=<1ln 21t t t +⋅>-1
ln 21t t t -<⋅
+令，因为，
()()
21ln 1t p t t t -=-+()()()()2
22
114
011t p t t t t t -=-=+'>+所以在上单调增，，所以，()p t ()
3,1e -()10p =()0p t <即所以，得证。

()21ln 0,1
t t t --
<+1
ln 2
1
t t t -<+24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f （x ）=（x ﹣1）e x ，f ′（x ）=e x +（x ﹣1）e x =xe x ，∴曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为k=f （1）=e ．又∵f （1）=0，∴所求切线方程为y=e （x ﹣1），即．ex ﹣y ﹣4=0
（Ⅱ）f ′（x ）=（2ax+1）e x +（ax 2+x ﹣1）e x =[ax 2+（2a+1）x]e x =[x （ax+2a+1）]e x ，①若a=﹣，f ′（x ）=﹣x 2e x ≤0，∴f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，+∞），②若a ＜﹣，当x ＜﹣或x ＞0时，f ′（x ）＜0；
当
﹣
＜x ＜0时，f ′（x ）＞0．
∴f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣
]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣
，0]．
（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f （x ）=（﹣x 2+x ﹣1）e x 在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
∴f （x ）在x=﹣1处取得极小值f （﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f （0）=﹣1，由
，得g ′（x ）=2x 2+2x ．
当x ＜﹣1或x ＞0时，g ′（x ）＞0；当﹣1＜x ＜0时，g ′（x ）＜0．
∴g （x ）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
故g（x）在x=﹣1处取得极大值，
在x=0处取得极小值g（0）=m，
∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点，
∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．　。