福建省届高考数学理二轮专题总复习专题第课时矩阵与变换选修省公共课一等奖全国赛课获奖课件

(4) 已知AX=B，detA0，则X=BA-1；
(5) 投影变换矩阵有逆矩阵．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
第5页
【解析】 (1)、(2)正确见书本； (3) 由 detA0 得 A 是 可 逆 矩 阵 ， 两 边 左 乘 A-1 可 得 B=C；所以(3)正确． (4)已知AX=B，detA0，则X=A-1B；所以(4)错误 (5)投影变换把平面变成一条直线，或把直线变成 一个点，所以没有逆矩阵．所以(5)错误 所以选B
所以所求的曲线方程为22x2 4xy y2 1.
第31页
【点评】正确求出a，d的值是关键．
第32页
②求特征矩阵的行列式， a b ( a)( d ) bc， c d
即2 a d ad bc是l的二次多项式，称为矩阵
A的特征多项式； ③求特征多项式的根，即特征值；
第18页
④ 将求出每一个特征值代入特征方阵，得到不 可逆矩阵，解以它为系数矩阵二元一次方程组， 得到非零解对应向量就是矩阵A特征向量．
如A
1
0
11，B
1
0
21；
也不能由AB 0必然推出A 0或B 0，
如A
1
0
0 0
，B
0 0
0 1
第22页
题型二 伸缩变换在椭圆中应用
【例2】在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2 y2 1在
矩阵A
2 0
0 1
对应的变换下得到曲线F，求F的方程．
【解析】设P(x0，y0 )是椭圆上任意一点，点P(x0，y0 )在 矩阵A对应的变换下变为点P( x0 ，y0 )，则有
AB
1
0
2 1
3
0
0
4
1
0
8 12
;
BA
1
0
0 1
4
0
2
3
1
0
2
12
(AB)C
1
0
8 1
12
0
1
0
1
0
1
0
;
A(BC)
1
0
0 1
4
0
1
0
1
0
01；因此(AB)C A(BC)
第21页
【点评】故不能从AC BC必然推出A B；
但A B可推出AC BC； 但并非所有的矩阵乘法都不满足交换律，
)
A. 点
B. 线段
C. 直线
D.三角形
【解析】在平面到x轴的投影变换矩阵
1
0
0 0
作用下
ABC变成x轴上的线段．
第4页
2. 给出五个命题，其中错误命题个数为( )
(1)连续两次反射变换，总效果相当于一个旋转变换；
(2) 矩阵乘法不满足交换律、消去律，但满足结合
律；
(3) detA0，有AB=AC，推出B=C；
__________
，特征值
为 __________．
【解析】因为
0
-1
-3
2
(
- 1)(
2)
2
-
2，
由 2 - 2 0解得1 1，2 -2.
所以特征多项式为 2 - 2，特征值为1，- 2.
第10页
1.
线性变换矩阵表达式
x y
a c
b x
d
y
.
2. 几种特殊线性变换及其矩阵形式
第19页
题型一 验证矩阵乘法不满足消去律、 交换律，但满足结合律
【例1】已知：A
1
0
23，B
1
0
0 4
，C
1
0
01，求：
AC，BC，AB，BA，ABC，A BC，从中你能得到
什么结论？
第20页
【解析】AC
1
0
2 1
3
0
1
0
1
0
1
0
BC
1
0
0 1
4
0
1
0
1
0
1
0
但A B
第6页
3.设矩阵A
1 0
01，则点P 2, 2在A所对应
的线性变换的作用下的像P的坐标是 _______．
【解析】因为A
2 2
1 0
0 1
2 2
2 2
，
所以P(2， 2)，故填(2， 2)．
第7页
4. (2011 南平质检)二阶矩阵M对应的变换将点
(1，1)与2,1分别变换成点(1，1)与(0， 2)．
则矩阵M为 __________ ．
【解析】设M
a c
b d
，则有
a c
a
c
b d
1
2
0 2
，
b d
1 1
11，
第8页
所以ca
b d
1，且 1
2a 2c
b d
0， 2
a 1
解得
b c
2 3
，所以M
1
3
2 4
.
d 4
第9页
5.
矩阵
1
0
3 2
的特征多项式为
第13页
3. 平面上绕原点旋转角a的变换T与绕原点旋转角 a的变换M的效果正好互相抵消，旋转角互为相
反数，即M T 1，则M 称为T的逆变换．
4.
矩阵
1
s
0 1
表示的变换平面图形上的点的横坐
标不变，沿y方向切变；矩阵
1
0
s 1
表示的变换平
面图形上的点Βιβλιοθήκη 纵坐标不变，沿x方向切变．第14页
5. 定理1 矩阵等式 (1) A(tX1)=t(AX1)； (2) AX1+AX2=A(X1+X2)； (3) A(tX1+kX2)=tAX1+kAX2. 定理2 可逆线性变换含有以下性质： (1) 将直线变成直线； (2) 将线段变成线段； (3) 将平行四边形变成平行四边形．
a b
-2， 1
c d
3 2
1 -
2
.所以A-1
-2 3 2
1
-
1 2
第26页
解法2：(解方程组的方法)
A表示的线性变换A： xy
x y
，而A
-1
表示的线性变换A
-1： xy
x
y
因此，由 xy
x 2y 3x 4
y
解出得
x y
-2x 3 x 2
y - 1 y
2
-2
故逆变换A-1的矩阵A-1
3 2
1
-
1 2
.
第27页
解法3：(公式法)由A (det A ad - bc 0)，
d
得A-1
det
A
-c det A
-b
det
A
.
a det
A
这里a 1，b 2，c 3，d 4，det A -2，
-2 1
所以A-1
3 2
-
1 2
.
专专题题九一 函选数考与导部数分
第1页
1．高考考点 《矩阵与变换》主要包含二阶矩阵、逆矩阵、二 阶方阵特征值和特征向量等，着重考查矩阵乘法、 二阶矩阵(对应行列式不为零)逆矩阵，考查二阶方 阵特征值和特征向量求法(只要求特征值是两个不一 样实数情形)，考查矩阵变换性质及其几何意义，考 查平面图形变换等． 2．易错易漏 (1)因矩阵乘法不满足交换律，屡次变换对应矩阵 乘法次序易错． (2)图形变换后，所求图形方程易代错．
第2页
3．归纳总结 着重考查矩阵乘法、二阶矩阵(对应行列式不为零)逆矩阵，考查二阶方阵特征 值和特征向量求法(只要求特征值是两个不一样实数情形)考查矩阵变换性质及 几何意义，往后可能考查平面图形变换等．
第3页
1. 已知A 4,5，B2,3，C(3， 2)，则ABC在矩阵
1
0
0 0
作用下得到的图形是(
1
旋转变换的矩阵表达式
cos sin
sin
cos
2 反射变换线性公式
xr cos(2 ) r cos cos 2 r sin sin 2
x cos 2 y sin 2
yr
sin(2
)
r
sin
2
cos
r
cos
2
sin
x sin 2 y cos 2
第11页
关于直线Ax By 0的反射变换的矩阵公式
第28页
【点评】有的矩阵还可以根据变换的几何意义,
2
求矩阵的逆如1 A 2
2 2
2
2
-
2 ，A-1 2
2
2
-
2
2
2
A
2 0
1
0 2
，A-1
2 0
0
；
1 2
3
A
1 0
11，A-1
1
0
-11.
2
2 ； 2
2
第29页
题型四 矩阵综合应用
【例4】(2011 宁德质检)已知二阶矩阵M
所以
a 3
3 1，解得 3d 3
a d
2 .所以M 0
2 3
1 0
.
2 设点A( x，y)为曲线C上的任一点，它在矩阵M
的作用下得到的点为A( x，y)，
则
2 3
1
0
x y
x y
，所以 xy
2x 3x
y，
代入x2 2y2 1得2x y2 2 3x2 1，
第24页
题型三 求逆矩阵
【例3】求A
1
3
2 4
的逆矩阵．
【分析】 用待定系数法求解．
第25页
【解析】解法1：(待定矩阵法)设A-1
a c
由定义知：A-1A I.
b d
，
所以
a c
b d
1
3
2 4
1
0
01.得到两个方程组：
a 3b 1 2a 4b
0，c2c3d4d01解得
x0 y0
2 0
0 1
x0 y0
即
x0 y0
2x0 y0
，所以
x0 y0
x0 2 y0
又因为点P在椭圆上，故4x y 1，从而(x0)2 ( y0)2 1，
所以，曲线F的方程为x2 y2 1. 第23页
【点评】本题主要考查曲线在伸缩变换矩阵作 用下变换特点，考查运算求解能力．
b2
a a2 b2
b a2 b2
b
a2
b2
a
a2 b2
其中a、b不全为0；矩阵的乘法不满足交换律、消去律，
但满足结合律．
第16页
7.
定理A
a c
b d
可逆的充要条件是：detA
ad
bc
0，
d
且A1
detA
c detA
b
detA
.
a detA
8. 1解二元一次方程组的步骤：
第15页
6. 二阶矩阵乘法法则
BA
a2 c2
b2 a1
d
2
c1
b1 d1
a2 a1 c2a1
b2c1 d2c1
a2b1 b2d1
c2b1 d2d1
复合变换BA，满足“穿脱原理”，先穿袜，再穿鞋，
这是先施行变换A，后施行变换B；
a
b
b a
a2 b2 0
0
a2
a 3
1 d
有特征
值
1及对应的一个特征向量e1
1 3
.
【特1征分求向析矩量】阵，先M求用；出特a征，值d及值对，应再一求个曲
线 2C 设方曲程线．C在矩阵M的作用下得到的方程为
x2 2y2 1，求曲线C的方程．
第30页
【解析】1
a 3
1 d
1 3
1
1 3
31 ，
①写成矩阵等式，计算行列式，判断detA 0；
d b
②利用矩阵求逆公式A1
c
求出逆矩阵；
，记detA
ad
bc，
a
第17页
③进而用X A1B，求出x、y.
2 计算矩阵A的特征向量的步骤：
①由矩阵A
a c
b d
得矩阵
a
c
b
d
为特征矩阵
(口诀：各项取相反数，l加主对角线)；
0 k
，伸缩变换的矩阵
1
0
0 k
或
k 0
0 1
k
0．
4 平面到直线l：Ax By 0的投影变换的线性公式
x y
B2 A2 B2 x AB
A2 B2
x
AB A2 B2
A2 A2 B2
y
y
对应矩阵
B2 A2 B2
AB A2 B2
AB
A2
A2 B2 A2 B2
B2 A2
A2 B2
2 AB A2 B2
2 AB A2 B2
A2 B2
A2 B2
cos2 sin2 2sin cos 2sin cos sin2 cos2
cos2 sin2 sin2 cos2 .
第12页
3
位似变换的矩阵
k 0