高中数学苏教版选修11 综合练习

高中数学苏教版选修11 综合练习
数学试卷 （Ⅰ卷）
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分160分，考试用时120分钟. 一、选择题
1．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的 （ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、必要非充分条件
2．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。

则原命题与其否命题的真假情况是（ ） A 、．原命题真，否命题假 B 、原命题假，否命题真命题 C 、原命题与否命题均为真命题 D 、原命题与否命题均为假命题
3．若方程1
522
2=-+-k y k x 表示在y 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是
（ ）
A.2<k<5 ；
B.k>5 ；
C.k<2或k>5；
D.以上答案均不对
4．将圆221x y +=的上每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，则点的轨迹方程是（ ）
A ．2291x y +=
B ．22
91x y += C ．2219x y += D ．22
19y x +=
5．已知M(－2, 0)，N (2, 0)，PM －PN = 3，则动点P 的轨迹是 （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、双曲线右支 D 、不存在
6．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的
最小值为 （ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
7．P 为52x +42
y =1上一点，F1，F2为焦点，∠F1PF2=30°，则ΔPF1F2的面积为 （ ） A 33
4 B 4 C 4(2+3) D 4(2-3)
8．若函数y=x ·2x 且y ′=0 ，则x= ( )
A.,2ln 1-
B.2ln 1
C.-ln2
D.ln2
9．已知函数f(x)的导函数)('x f 的图像如左图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的
是右图中的（ ）
10．以圆锥曲线过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无交点，则此圆锥曲线是 （ ） A 、椭圆 B 、双曲线 C 、抛物线 D 、不能确定
数学试题 （Ⅱ卷）
一、选择题（本大题共１０小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，仅有题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 11．命题“
2
,10∃∈+<x R x ”的否定是 12． 直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的线段的中点的坐标
为 。

13．双曲线与椭圆4x2+y2=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程是
y=2x ，
则这双曲线的方程是
14．如图所示，底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为 ．
15．函数
52)(2
4+-=x x x f 在区间[－2，3]上的最大值是 ，最小值是 。

16．曲线
106323-++=x x x y 的切线中，斜率最小的切线方程为 。

三、解答题（本大题共5小题、共80分，解答给出文字说明，演算步骤）
17．(本题共14分)命题甲：“方程2
2
1
y x m +=是焦点在y 轴上的椭圆”,
命题乙：“函数324
()2(43)0
3f x x mx m x m =-+--=在（－∞，＋∞）上单调递增”，
这两个命题有且只有一个成立，试求实数m 的取值范围.
18．(本题共16分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(a, －3)到焦点的距离等于5，
（1）求a 的值，并写出抛物线的方程．
（2）在该抛物线找一点使得它到点（0，b ）的距离最小。

19．(本题共16分)出版社出版某一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm 空白，左、右要留1cm 空白，出版商为节约纸张，应选用怎样的尺寸的页面？
20．(本题共16分)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3, 0 ) ⑴ 求双曲线C 的方程；
⑵ 若直线l ：y=kx+ 2 与双曲线C 有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2 （其中O 为原点），求k 的取值范围．
21．(本题共18分)设函数
R x x x x f ∈+-=,56)(3
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；并求该曲线在x=1处的切线方程。

（Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.
22．（理科附加题，文科不做）
将圆x2+y2=4上各点的纵坐标变为原来的一半（横坐标保持不变），得到曲线C ． ⑴ 求曲线C 的方程；
⑵ 设O 为坐标原点，过点F(3, 0)的直线l 交于A 、B 两点，N 为线段AB 的中点，延长线段ON 交C 于点E ，求证：的充要条件是AB=3．
1.5 1.5
1
1
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D C B D A A A
11．2
,10x R x ∀∈+≥ 12． 2133-（，） 13． 22
241y x -= 14．1
2 15． 68 ； 4 14． 3110x y --=
三、解答题(本大题共5小题、共80分)
17．命题甲：m>2， ………………………………………………….…4分 命题乙：1<m<3. …………………………………………………….8分 故 1<m ≤2,或m ≥3 ………………………………………………….14分 18．因为抛物线的焦点在y 轴上,且过点(a, －3)
所以可设抛物线的方程为:22x py =-,(p>0) ………………………2分
则抛物线的焦点坐标为F(0,2p
-
) ………………………………….3分
依题意得: 2226(3)52a p p a ⎧=+-= ……………………… 5分
解得:p=4, a=±6 ……………………………………………… 8分
所以抛物线方程为:2
8x y =- ………………………………………9分
（2）设抛物线上的点为
00x y （，）
，则它到点（0，b ）的距离d 满足
22200d x y b =+-（）2
008y y b =-+-（）
………………………………12分
=[]20y b -+-2
2
（4+b ）（4+b ）
00
y ≤
当≤4+b 0，即4b ≤-时，22min d b =-2
（4+b ），
此时2min
d
b -2
（4+b ） ……………………………… 14分
当>4+b 0，即4b >-时，
22
min
d
b =，
此时
min
||
d
b = ………………………………16分
19．设所印文字的区域长xcm,则宽为150x cm,纸张的长为(x+2)cm,宽为(150
x +3)cm ………3分 所以纸张的面积为150300
(2)(3)3156
S x x x x =++=++ …………………7分
/2300
3S x =-
，令/0S =解得x=10 ………………………………… 10分
10x >时，S 单调递增
010x <<时，S 单调递减 …………………………………… 12分 所以当x=10时，
2
min 216S cm = …………………15分
答：当纸张的边长分别为12cm ，18cm 时最节约。

…………………16分
20．⑴c=2, a=3 双曲线的方程为 x2
3
－y2 = 1 (5)
分
⑵⎩⎪⎨⎪⎧ x2 3－y2 =1 y=kx ＋2 得 (1―3k2)x2―62kx ―9=0 ………………………7分 x1＋x2= 621―3k2 , x1x2= ―91―3k2 ……………………………………8分
由△>0 得 k2<1 ………………………………………………………10分
由OA →·OB → = x1x2＋y1y2=(1＋k2) x1x2＋2k(x1＋x2)＋2>2得 1
3
<k2<3 ………13分
所以，1
3<k2<1 ………………………………………………………………………15分
即k ∈(―1, ―
33 )∪( 3
3
, 1 ) ......................................................16分 21．答案：（Ⅰ）)(x f 的单调递增区间是),2()2,(+∞--∞及，单调递减区间是)2,2(- (4)
分
当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x
…………………………………………………8分 切线方程为y=-3x+3 …………………………………………………12分
（Ⅱ）当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点 …………………………………………………15分，
（Ⅲ）3-≤k …………………………………………………18分
22．⑴设P(x0, y0)为圆C 上任意一点，Q(x, y)的横坐标与P 相同，纵坐标为P 的一半， 即x0= x, y0=2y ……………………………………………………………………2分
又P(x0, y0)满足x02+y02 = 4 则x2+4y2 = 4 ………………………………………4分
即 求曲线C 的方程为 x2
4 + y2 = 1 ……………………………………………6分
⑵当l 的斜率不存在时，OE → = 2ON →、 AB=3都不成立；………………………7分
当l 的斜率存在时，设斜率为k ，
则A 、B 两点的坐标(x1, y1)、(x2,y2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x2
4＋y2 =1
y= k(x －3) 的解 整理，得：(1＋4k2)x2―83k2x ＋12k2―4 =0
x1＋x2=83k21＋4k2 , x1x2= 12k2―4
1＋4k2 …………………………………………………9分
∴N 的坐标为xN =
43k21＋4k2 ，yN= k(xN －3) = － 3k
1＋4k2
∴ON 的方程为y= ―
14k
x 与C 的方程 x2
4
+ y2 = 1联立，得xE =
16k2
1＋4k2
………………………………11分
必要性（OE → = 2ON →→AB=3）：由OE → = 2ON
→得xE =
16k21＋4k2 =2× 43k2
1＋4k2
=2 xN ∴ k2= 1
8 …………………………………………………………………12分
此时 AB=…=a －ex1＋a －ex2=2a －e(x1＋x2)=4－
32 ×83k21＋4k2
=3 ∴充分性成立 ……………………………………………………………13分 充分性（AB=3→OE → = 2ON →）
：
AB=…=a －ex1＋a －ex2=2a －e(x1＋x2)=4－32 ×83k21＋4k2
=3 ∴ k2= 1
8
∴ xE =
16k21＋4k2 = 233 ，xN = 43k21＋4k2 = 3
3
……………………14分 ∴ xE =2 xN 又E 、N 共线
OE → = 2ON
→ ∴必要性成立……………………………………15分
综上，OE → = 2ON →的充要条件是AB=3．………………………………………16分。