“高观点”下柯西不等式的应用探究

“高观点”下柯西不等式的应用探究*
*基金资助：湖南人文科技学院校级教改课题RKJGY1819.
湖南省娄底市湖南人文科技学院(417000) 莫元健龙承星
摘要本文总结了柯西不等式在中学数学和高等数学中
的应用，并分析了如何利用高等数学中柯西不等式中的思想 和方法来指导中学数学.
关键词 高观点; 柯西不等式; 解题应用
柯西不等式作为高中数学新课程中的新增内容,其形式
简洁，应用广泛，极具解题魅力.近年来，无论是高考试卷还 是数学不同学科的题目中都越来越多地岀现了与柯西不等
式相关的题目.用高等数学中柯西不等式的思想渗透到中学 数学中，对解决中学数学中某些不等式的证明或灵活并巧妙
地在不同数学学科中应用柯西不等式，将得到岀奇制胜、事
半功倍的效果.
1柯西不等式
1.1柯西不等式的定义
在中学中我们熟知柯西不等式的左边是平方和的乘积， 右边是乘积和的平方.但在高等数学中，柯西不等式这一定
义表达形式将得到延伸，它不仅形式多变，其应用范围也从
中学中二维形式、三维形式演变成高等数学的向量、积分等 形式.
柯西不等式不同形式的推广，是求解常见不等式问题的 过渡桥梁,柯西不等式在中学数学和高等数学中都有着明确
定义，如表1所示：1.2柯西不等式的应用范围
柯西不等式被广泛应用于初等数学、高等代数、微积分、
线性代数、概率论等领域，其在不同领域有不同形式闵柯西
不等式有很多种证明方法，不同方法优劣不一，我们在认真 了解不同方法证明的条件和特点的同时可推岀柯西不等式 的各种推广公式.
表1柯西不等式的形式比较
中学数学中常见形式
高等数学中常见形式
1、 二维形式(a 2 十 b 2) (c 2 十 d 2) 2 (ac 十 bd )2,
其中(a,b,c,d e R ),
当且仅当ad = bc 时,等号才成立2、 三维形式(a i b i + a 2b 2 + a 3b 3)2 <
(a 2 十 a 2 十 a 23) (b 2 十 b 2 十 b 23)
3、 一般形式(a i b i + a 2b 2 + ... + a ”b ”)2 W
(a f 十a ^十…十a”)(b f 十b 2十…十b ”)1、 向量形式|a • b| W |a| • |b|,
a = (a i , a 2), b
= (b i , b 2)
2、 积分形式(x ) g (x )
dx ) W
瓷严(x ) dx •瓷 g 2
(x ) dx
3、一般形式⑴” ” ” 2
£ a i £ E 2 ( £ a i b i )
i =i i = i \i= i
/
中学数学中二维形式的柯西不等式是二维形式柯西不等式的推广，是到一般形式柯
西不等式过渡的桥梁,是从平面向量的几何背景到空间几何背景的拓展形式上：灵活巧妙地运用柯西不等式能解决不等式证
明、三角形求解、最值求解、方程求解等问题.更精彩的是可
以利用柯西不等式得岀的推广公式以简捷和严谨的方式来 解决其它公式不容易解决的实质性问题.
结构上：呈对称性,柯西不等式在代数学、几何学中都得
到广泛的应用.数学工作者对有关柯西不等式的钻研与适用
的范围不断拓展,方法层岀不穷，使柯西不等式得到了丰富
与发展冋
一下这两种组合是否还存在矛盾.经验证，两种组合都是 可解三角形.如果选择①，①,①求A ABC 的面积，只需用
余弦定理求岀c,就可以直接利用面积公式求解了.如果选 择②,①,①求A ABC 的面积，需要用余弦定理求岀c,再根
据同角三角函数的平方关系得到sinB,计算量稍大.答题策略解三角形是高考必考内容之一，需要同学们 分析已知与未知之间的关系，选择合适的定理或公式解决问
题,特别是题目中隐含的条件需要深入挖掘.两边之和大于
第三边，大边对大角，三角形内角和为n 等都是可解三角形 需要满足的基本条件.因此，根据题干中的条件进行仔细甄
别，才能排除矛盾的条件，选岀正确的条件.另外，灵活运用 相关定理进行求解也是解答本题的关键，因为条件选择的不
同,解决的办法就有差别，作答的速度也就有快慢•所以，同 学们只要熟练掌握有关三角形的边角关系及相关公式，这类
需要排除条件的问题就不困难.
参考文献
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1.3几何图形视角中的柯西不等式
2002年北京国际数学家大会的会
标“赵爽弦图”引入了几何图形〔4〕,该几
何图形中隐含不等关系：a2+b222ab,
以图1为例，我们设由拼接所构成的平
行四边形它的一个内角为e,则图1赵爽弦图
S平行四边形= 7a2+b2•c2+d2-sin0①从另一方面可得到：
S平行四边形=2S红色RtA十2S蓝色RtA十2S中间矩形①
=ab+cd+(d—a)(b—c)=ac+bd
由①②可得：
Va2+b2-Vc2+d22Va2+b2-Vc2+d2-sin0=ac+bd.两边平方即可得到
当且仅当sin0=1,即0=90°时取到等号，此时两个直角三角形相似，可得到等号成立的条件是ad=be.
2柯西不等式在中学数学教学中的应用
柯西不等式为不等式选讲的第三讲内容,在中学教材中承前启后,应用柯西不等式能处理中学中一些典型的数学问题.特别是在不等式的证明中，如果适时巧妙地引入柯西不等式,不仅简化解题过程,而且对解题有很大的帮助.
2.1柯西不等式在不等式证明中的应用
利用柯西不等式证明不等式的关键是恰当构造变形，化为符合它的形式，当一个式子与柯西不等式的左边或者右边具有一般形式时，就可以使用柯西不等式进行证明同例1(2017-高考江苏卷)已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd<8.
证由柯西不等式可得：(a2+b2)(c2+d2)2 (ac+bd)2(a,b,c,d e R),因为(a2+b2)=4,(c2+d2)= 16,所以(ac+bd)2<64,所以ac+bd<8.
小结很多重要不等式都可由柯西不等式证明，而且利用柯西不等式很容易将一些简单不等式推广.在应用柯西不等式时，要注意右边为常数且应留意等号成立得条件.
2.2柯西不等式在数列求解问题中的应用
在高考中柯西不等式和数列构造法结合常常贯穿于求解数列题目中，旨在展现柯西不等式在解决数列问题中的广泛运用，如下简要分析的等比数列题目运用等比数列构造法和柯西不等式背景下解题的典型例子.
例2(2008-陕西省高考卷)已知数列｛a n｝的首项为: a i=,a n+i=(n=1,2,..•),证明a i十a2十...十
52a n+1
n2
a n>n+r•
证先求岀通项公式a n,再借助柯西不等式进行放缩.由已知得丄=3-丄+2,于是二一-1=3丄-",
3a n3a n+i3\a n/所以数列?丄-1｝是等比数列，公比为1,首项为
a n3
i
,故a n
a n+i a n+i
丄-1=2,于是丄-1=3x
a n3a n3
2n1
记b n=莎，则丈bi= 1 —<L
1
:T，
1+-----
3n
3n
i=i
由柯西不等式得a i
22
n n
n
+a2+...+a n=
i=i
n2
>n+1
1
1+b i
n n
(1+b i)n +b i
i=i i=i
小结柯西不等式和数列构造法联合求解是一种打破数学一贯的解题思路，通过观察、联结、构造岀满足解题条件的数学对象，能将复杂问题简单化的一种解题方法.掌握构造法对提升学生思维的创新性、灵活性都有十分重要的意义问.
2.3柯西不等式在三角问题中的应用
在解答三角问题时,很多同学往往只会就题论题，快速的写岀答案了事，忽略了数学问题应该善于发挥，扩展思路,一题多证.就题论题会使学生头脑中的知识散乱，形不成系统,致使学生的空间思维缩小.柯西不等式在解决三角问题的方法中也频频涉及.
例3设P是A ABC内的一点,x,y,z是P到三边a,b,c 的距离,R是A ABC外接圆的半径，证明V+小+V< Va2+b2+c2.
V®+Vy+VZ=Vax a+yby1+VcZ1
ax+by+cz+w+—.
abc
记S为A ABC的面积，则ax+by+cz=2S=2警=磐.
4R2R
abc ab+bc+ca
伍十倆十/<2R
1——Vab+bc+ca<1Va2+b2+c2.
故不等式成立.
小结三角问题通常包含三角不等式，三角方程,三角极值等，在一些三角问题中，为了应用柯西不等式我们创造必要条件，从而引进一些待定参数，其值得确定也由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，由此三角极值问题我们可
以反复应用柯西不等式进行解决⑺
2.4柯西不等式在方程问题解决中的应用
柯西不等式也常常应用在解决方程问题中，使得计算更
为简便快捷.
例4 (2017年全国高中数学联赛陕西省预赛)若实数
a, b, c 满足 a 十 2b 十 3c = 6， a 2 十 4b 2 十 9c 2 = 12， 则 abc 的
值是:______.
(a 十 2b 十 3c )2 W
36， 当且仅当 a = 2b =
43
解 由 题设和柯西不等式得 36
(12 十 12 十 12) (a 2 十 4b 2 十 9c 2) 623c =3,即a = 2, b = 1, c =3时等号成立，所以abc
例 5 解方程组
x 十y 十z = 9x 十 w = 6
x 4 十 x 2 (y 2 十 z 2 十 w 2)十 w 2 (y 2 十 w 2) = 486
{
x 十y 十z = 9x 十 w = 6
(x 2 十 y 2 十 z 2) (x 2 十w 2) =486
( ) 92 ( )
运用柯西不等式得(x 2十y 2十z 2) 2晋=27, (x 2十w 2) 262 ( ) ( )
1 = 18 两式相乘，得(x
2 十 y 2 十 z 2) • (x 2 十 w 2) 2 486,当且仅当x = y = z = w 时取等号.故原方程的解为
x = y = z = w = 3.小结 巧用柯西不等式求解无理方程，是先把方程(含有
无理式) 应用柯西不等式化为不等式， 而后联合原方程把不
等式又化成等式,在判定为等式之后再利用柯西不等式取等
号的共性,求得与原方程同解且比原方程简单的无理方程, 进而得到简单的整式方程,从而求得原方程的解罔
3柯西不等式在高等数学中的应用
教师教学与学生学习的目的是通过学习理论知识转化
成自己的思想，在实践中能够学以致用，从而达到锻炼自己
的思维能力.
我们在实践教学中通常通过利用柯西不等式求参数的
取值范围、证明等式的成立、解决极值问题来推广柯西不等
式在高等数学中的具体应用⑼学生通过不同题型的训练自
己具备分析的能力.
3.1柯西不等式在线性代数中的应用
一般线性代数或高等代数教材中往往涉及柯西不等式
f 2 (x ) dx •
g 2 (x ) dx
的内容.
定理1设a
(a, a ) . (0, 0).
a
a 2b
,0 = b 2 ,则(a,0)2
a ”
b ”
证 若a 为零向量，结论显然成立；设a 为非零
向量，对任意的t e R,有(ta 十0, ta 十0) 2 0,即
(a, 0) t 2 十 2 (a, 0) t 十(0, 0) 2 0,因为(a, a ) > 0,所以△=
4(a, 0)2 — 4 (a, a ). (0, 0) W 0,故(a, 0)2 W (a, a ) . (0, 0).
小结 一般线性代数或高等代数教材通常是利用
向量a,0的线性组合a 十t0来构造内积，而由内积
(ta 十0,ta 十0)的非负性，证得柯西不等式.
3.2柯西不等式在空间解析几何中的应用
柯西不等式不仅形式优美， 而且应用非常广泛， 不但可
以解决代数中重要不等式问题,而且还能解决解析几何中的
有关问题,本文例析空间解析几何中的柯西不等式问题的应 用如下.
定理2［10］设a , b 为两个向量，则|a • b | W |a | • |b |.证 设a, b 的夹角为0,则a • b = |a | • |b | cos 0,因为
|cos0| W 1,所以 |a • b | W |a | • |b |.
例 6 求 2 sin 0 十 /3 cos 0 sin 0 — cos 0 cos 0 的最大值与
最小值.
解 令向量 a = (2 sin 0, /3 cos 0, — cos 0),
b = (1, sin 0, cos 0),由柯西不等式
12 sin 0 十 a /3cos 0 sin 0 — cos 0 cos 0W\/ 4sin 20 + 3cos 20 + cos 20
1 十 sin 20 十 cos 20
W\J 4 (sin 20 + cos 20) (1 + sin 20 + cos 20) = 2^/2.
所求最大值为2/2,最小值为-2Q .
小结 柯西不等式在结构上对称，无论是在代数学中，还
是在几何学中都得到广泛的应用，柯西不等式能有效解决解 析几何中问题.
3.3柯西不等式在定积分中的应用
柯西不等式有各种各样的类型，在不同的数学领域中都
有着极其广泛的应用. 它在定积分中也广泛应用着.
定理3设f (x ) ,g (x )在［a,b ］上连续，则有
证 若f (x )三0时，结论显然成立;设f (x )不恒为零, 则 J f 2 (x ) dx > 0.对任意的 t e R,由［tf (x )十 g (x )］2 2 0
得 f 2 (x ) t 2 十 f (x ) g (x ) t 十 g 2 (x ) 2 0,两边在［a,b ］上关于
x 积分得
f (x )
g (x ) dj
歼/
g 2 (x ) dx 2
因为f f 2 (x ) dx> 0,所以
△ = 4(/ f (x ) g (x ) dx) — 4[ f 2 (x ) dx •
•b
g 2 (x ) dx W 0
例9证明n 个实数平方的平均数不小于n 个数
的算术平均数的平方，即若a i ,：2，…，a ” e R,则有
a 十 a 2 十 . . . 十 a ”
a 2十a 2十...十a "
b
/b
f 2 (x ) dx •
g 2 (x ) dx
n 证 有柯西不等式变形得
f (x )
g (x ) dx 例7设f (x ) ,g (x )在区间[a,b ]上均连续,证明：
(1)(j a f (x ) g (x ) dx 『w f 2 (x ) dx • g 2(x )必(柯西-施瓦兹不等式)
(a 十 a 2 十 . . . 十 a ” )
=(a X 1 十 a 2 X 1 十 . . . 十 a ” X 1)
1 1
(2)[f (x )十 g (x )]2dx )2
W
f 2 (x ) dx )2 十
1
(J ： g 2 (x ) dx) 2 (闵可夫斯基不等式)
证 ⑴对任意实数入有J b [f (x )十Ag (x )]2dx 2 0,即 J f 2 (x ) dx 十 2 J ? f (x ) g (x ) dx 十 A 2 J ? g 2 (x ) dx 2 0,左边
是一个关于A 的二次多项式，它非负条件是其判别式非正，即
△ = 4(J a f (x )g (x )dx )2—4 严(x )dx •/：g 2 (x )dx
W 0
,
从而本题得证.
严
⑵ / [f (x )十 g (x )]2dx
J a
严
=
[f 2 (x )十 2f (x ) g (x )十 g 2 (x ) dx
a
W @2十a 2十...十a ”)(12十12十 (12)
= a 2 十 a 22 十 . . . 十 a ”2 .n
所以(ai 十a2十…十
a ”
W a i 2十a 22十…十a ”2,即得
:7十a2十…十：”,当n = 2,上式
n
a 十 a 2 十 . . . 十 a ”n V
屯(a 十b 、2 a 2十胪
小结 这是我们初等数学中，常用得不等式，而此题
将初等数学中得“算平均”，“几何平均”问题扩展到了“二
次幕平均问题”，即ga ...a ” W a i 十a 2十...十:"W
J f 2
dx
\ :7十a2十…十：”,这不仅拓宽了中学生得知识面，而且
n
为许多不等式开辟了一条新路.
5结语
柯西不等式在整个数学体系中占有非常重要的地位.实
践教学中要引导学生深入了解柯西不等式的定义，理解柯西 不等式的证明.学生在学习过程中要注重锻炼自己的逻辑思
维能力与发散思维能力，并能够运用多学知识解答试卷试题, 甚至能够启发自己得思维在实践生活中予以应用.
小结柯西不等式不同的形式和内容对应于不同的数学
参考文献
故
n
n n
领域，其能启发人得到灵活多样的证明思维,但其本质是不 变的，所以这些都充分体现了数学各领域间的内通行、渗透 性和统一性•在定积分中亦如此⑴〕.
4高等数学中柯西不等式的思想和方法对中学数学
解题的指导
柯西不等式是高等数学中重要的不等式,并且在初等数
学中也有着广泛的应用，对初等数学的解题有很大帮助.
例 8 设 x, y, z e R ， 2x — y — 2z = 6， 试求 x 2 十 y 2 十 z 2
的最小值.
解 考虑以下两组向量u = (2, —1, —2), v = (x, y, z ),
根据柯西不等式(u • v )2 W |u |2 • | v |2,有
[2x 十(一1) y 十(一2) z ]2
W [22 十(一1)2 十(—2)2] (x 2 十 y 2 十 z 2)
即(2x — y — 2z )2 W 9 (x 2 十 y 2 十 z 2),将 2x — y — 2z = 6 代
入其中，得36 W 9 (x 2十y 2十z 2),而有x 2十y 2十z 2 2 4,所
以 x 2 十 y 2 十 z 2 最小值为 4.
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