海南省琼海市嘉积中学2017届高三(下)第一次月考数学试卷(解析版)(理科)

2016-2017学年海南省琼海市嘉积中学高三（下）第一次月考数
学试卷（理科）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．集合A={x|x＜3}，B={x|x2﹣5x＜0}，则A∩B是（）
A．{x|0＜x＜3}B．{x|0＜x＜5}C．{x|3＜x＜5}D．{x|x＜0}
2．已知复数为纯虚数，那么实数a的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．若=（1，2），，若∥，则m=（）
A．﹣ B．C．2 D．﹣2
4．最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）
A．B．C．D．
5．设随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）的值为（）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n
+1，则a n
+1
=（）
A．2n﹣1 B．2n﹣1 C．2×3n﹣1．D．
7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
8．下列说法正确的是（）
A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”
B．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”必要不充分条件
C．“若tanα≠，则α≠”是真命题
D．∃x0∈（﹣∞，0）使得3x0＜4x0成立
9．等比数列{a n}中，q=2，a2+a5+…+a98=22，则数列{a n}的前99项的和S99=（）A．100 B．88 C．77 D．68
10．在一球面上有A，B，C三点，如果AB=4，∠ACB=60°，球心O到平面ABC 的距离为3，则球O的表面积为（）
A．36πB．64πC．100πD．144π
11．已知O，F分别为双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，点G，M分别在E的渐近线和右支，FG⊥OG，GM∥x轴，且|OM|=|OF|，则E 的离心率为（）
A．B．C．D．
12．已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x ∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（）
A．0＜x0＜B．＜x0＜1 C．＜x0＜D．＜x0
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a的值为．
14．在△ABC中，sinA=，=6，则△ABC的面积为．
15．已知实数x，y满足，其中，则实数的最小值为．
16．有一个电动玩具，它有一个9×6的长方形（单位：cm）和一个半径为1cm 的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A，E，打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为．
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与路面垂直，且∠ABC=120°，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中的阴影部分所示，∠ACD=60°，AD=24米，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
（Ⅰ）求灯柱AB的高度（用ξ表示）；
（Ⅱ）求灯柱AB与灯杆BC长度之和的最小值，及取最小值时θ的值．
18．（12分）2017年，嘉积中学即将迎来100周年校庆．为了了解在校同学们对嘉积中学的看法，学校进行了调查，从三个年级任选三个班，同学们对嘉积中学的看法情况如下：
（Ⅰ）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为嘉积中学“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；
（Ⅱ）若在B 班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取
3
人，认
为嘉积中学“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PD ⊥底面ABCD ，PA=AB=2，BC=PA ，BD=
，E 在PC 边上．
（1）求证：平面PDA ⊥平面PDB ；
（2）当E 是PC 边上的中点时，求异面直线AP 与BE 所成角的余弦值； （3）若二面角E ﹣BD ﹣C 的大小为30°，求DE 的长．
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一
个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，如果为定值，求出斜率的值；如果不为定值，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．
（I）函数f（x）与h（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x∈（，+∞），都有函数y=f（x）+的
图象在g（x）=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由．
（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986，=1.6487，=1.3956）．
四、选做题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数）．以
平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于两点A，B，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年海南省琼海市嘉积中学高三（下）第一次
月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）
1．集合A={x|x＜3}，B={x|x2﹣5x＜0}，则A∩B是（）
A．{x|0＜x＜3}B．{x|0＜x＜5}C．{x|3＜x＜5}D．{x|x＜0}
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x|x＜3}，B={x|x2﹣5x＜0}={x|0＜x＜5}，
∴A∩B={x|0＜x＜3}．
故选：A．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
2．已知复数为纯虚数，那么实数a的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值．
【解答】解：∵=为纯虚数．
∴a=0．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．若=（1，2），，若∥，则m=（）
A．﹣ B．C．2 D．﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】直接利用向量共线的充要条件，列出方程求解即可．
【解答】解：=（1，2），，若∥，
可得2m=1，期m=．
故选：B．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，是基础题．
4．最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）
A．B．C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据年产量的增速判断总产量的增速，根据曲线的切线斜率大小变化进行判断．
【解答】解：由于前3年年产量的增长速度越来越快，故当t≤3时，曲线的切线斜率逐渐增大，
由于后3年年产量保持不变，故当3＜t＜6时，曲线的切线斜率不变，且总产量在增大，
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的意义，属于基础题．
5．设随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），若P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）
的值为（）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】根据随机变量ξ服从正态分布N（1，ς2），看出这组数据对应的正态
曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（0＜ξ＜1）=P（0＜ξ＜2），得到结果．
【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，ς2），
∴μ=1，得对称轴是x=1．
∵P（ξ＜2）=0.8，
∴P（ξ≥2）=P（ξ＜0）=0.2，
∴P（0＜ξ＜2）=0.6
∴P（0＜ξ＜1）=0.3．
故选：C．
【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．
6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n
+1，则a n
+1
=（）
A．2n﹣1 B．2n﹣1 C．2×3n﹣1．D．
【考点】数列递推式．
【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵a1=1，2S n=a n+1，∴n≥2时，2S n﹣1=a n，∴2a n=a n+1﹣a n，可得a n+1=3a n．n=1时，a2=2．
∴数列{a n}从第二项起是等比数列，公比为3．
∴a n=2×3n﹣2．
则a n
+1
=2×3n﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了数列递推关系、向量垂直与数量积的关系、基本不等式的性
质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）
A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．
【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．
故选：B．
【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．
8．下列说法正确的是（）
A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”
B．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”必要不充分条件
C．“若tanα≠，则α≠”是真命题
D．∃x0∈（﹣∞，0）使得3x0＜4x0成立
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，即可判断A；
由三角形的正弦定理和边角关系，即可判断B；
由命题的逆否命题，即可判断C；
由幂函数y=x n（n＜0）在（0，+∞）递减，即可判断D．
【解答】解：对于A，“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A 错；
对于B，在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”，
故在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”充分必要条件，故B错；
对于C，tanα=⇔α=+kπ（k∈Z，“tanα≠，则α≠”⇔“α=则tanα=”故C正确；
对于D，由幂函数y=x n（n＜0）在（0，+∞）递减，可得x∈（﹣∞，0）使得3x＞4x成立，故D错．
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假判断，主要是四种命题、充分必要条件的判断和存在性命题的判断，注意运用定义法和函数的性质，考查判断能力，属于基础题．
9．等比数列{a n}中，q=2，a2+a5+…+a98=22，则数列{a n}的前99项的和S99=（）A．100 B．88 C．77 D．68
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据利用等比数列通项公式及（a1+a4+a7+…+a97）q2=（a2+a5+a6+…+a98）q=a3+a6+a9+…a99求得答案．
【解答】解：因为等比数列{a n}中，q=2，a2+a5+…+a98=22，
设a3+a6+a9+…+a99=x则
a1+a4+a7+…+a97=
a2+a5+a8+…+a98==22，
则x=44，
所以a1+a4+a7+…+a97=11，a3+a6+a9+…+a99=44．
所以S99=（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）=44+22+11=77故选：C．
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，解题的关键是发现a1+a4+a7+…+a97与a2+a5+a6+…+a98和a3+a6+a9+…a99的联系，属于中档题．
10．在一球面上有A，B，C三点，如果AB=4，∠ACB=60°，球心O到平面ABC 的距离为3，则球O的表面积为（）
A．36πB．64πC．100πD．144π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设A、B、C三点所在圆的半径为r，圆心为O，从而可解得r=4，利用球心O到平面ABC的距离为3，可得答案．
【解答】解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，
∵AB=4，
∴2r==8，
∴r=4，
∵球心O到平面ABC的距离为3，
∴半径R==5，
∴球O的表面积为4π•52=100π，
故选：C．
【点评】本题考查了学生的空间想象力，考查学生的计算能力，求出A、B、C 三点所在圆的半径是关键，属于中档题．
11．已知O，F分别为双曲线E：=1（a＞0，b＞0）的中心和右焦点，点G，M分别在E的渐近线和右支，FG⊥OG，GM∥x轴，且|OM|=|OF|，则E 的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设M（m，n），则G（，n），利用FG⊥OG，求出n，可得m，利用|OM|=|OF|，求出E的离心率．
【解答】解：设M（m，n），则G（，n），
∵FG⊥OG，∴，∴n=，
∴
=1，∴m 2=
，
∵|OM |=|OF |，∴ +
=c 2，
∴2a 2=c 2，∴e==，
故选D ．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定M 的坐标是关键．
12．已知函数y=x 2的图象在点（x 0，x 02）处的切线为l ，若l 也与函数y=lnx ，x ∈（0，1）的图象相切，则x 0必满足（ ）
A ．0＜x 0＜
B ．＜x 0＜1
C ．
＜x 0＜
D ．
＜x 0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数y=x 2的导数，y=lnx 的导数，求出切线的斜率，切线的方程，
可得2x 0=，lnm ﹣1=﹣x 02，再由零点存在定理，即可得到所求范围． 【解答】解：函数y=x 2的导数为y′=2x ， 在点（x 0，x 02）处的切线的斜率为k=2x 0， 切线方程为y ﹣x 02=2x 0（x ﹣x 0），
设切线与y=lnx 相切的切点为（m ，lnm ），0＜m ＜1，
即有y=lnx 的导数为y′=，
可得2x 0=，切线方程为y ﹣lnm=（x ﹣m ）， 令x=0，可得y=lnm ﹣1=﹣x 02，
由0＜m ＜1，可得x 0＞，且x 02＞1， 解得x 0＞1，
由m=
，可得x 02﹣ln （2x 0）﹣1=0，
令f （x ）=x 2﹣ln （2x ）﹣1，x ＞1，
f′（x ）=2x ﹣＞0，f （x ）在x ＞1递增，
且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，
则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．
故选：D．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行如图所示的程序框图，若输入p=5，q=6，则输出a的值为30．
【考点】程序框图．
【分析】根据得到该程序的功能是求p、q两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步骤，结合题意即可得答案．
【解答】解：根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行
①第一次循环，i=1，a=5×1=5，判断q是否整除a；
②由于q=6不整除a=5，进入第二次循环，得到i=2，a=5×2=10，判断q是否整除a；
③由于q=6不整除a=10，进入第三次循环，得到i=3，a=5×3=15，判断q是否整除a；
④由于q=6不整除a=15，进入第四次循环，得到i=4，a=5×4=20，判断q是否整除a；
⑤由于q=6不整除a=20，进入第五次循环，得到i=5，a=5×5=25，判断q是否整除a；
⑥由于q=6不整除a=25，进入第六次循环，得到i=6，a=5×6=30，判断q是否整除a；
⑦由于q=6整除a=30，结束循环体并输出最后的a、i值
因此输出的a=30且i=6．
故答案为30．
【点评】本题给出程序框图，求最后输出的a、i值，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．
14．在△ABC中，sinA=，=6，则△ABC的面积为4．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意结合数量积的运算和同角的平方关系可得||•||=10，而S
△
=||•||•sinA，代入数据计算可得．
ABC
【解答】解：∵sinA=，
∴cosA=，
∵=6，
∴||•||•=6，
∴||•||=10，
=||•||•sinA=×10×=4，
∴S
△ABC
故答案为：4
【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式，属中档题．
15．已知实数x，y满足，其中，则实数的最小值为．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（2，4），
联立，解得B（1，5），
的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）连线的斜率，
由图可知，的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．
16．有一个电动玩具，它有一个9×6的长方形（单位：cm）和一个半径为1cm 的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A，E，打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形
盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为．
【考点】几何概型．
【分析】由题意，9×6的长方形的面积为54，小圆盘运行区域面积为2×7×1+2×4×1+4×7+π=40+π，即可求出能射中小圆盘运行区域内的概率．
【解答】解：由题意，9×6的长方形的面积为54，小圆盘运行区域面积为2×7×1+2×4×1+4×7+π=40+π，
∴能射中小圆盘运行区域内的概率为，
故答案为．
【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．
三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（2017春•琼海校级月考）在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与路面垂直，且∠ABC=120°，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中的阴影部分所示，∠ACD=60°，AD=24米，∠ACB=θ（30°≤θ≤45°）．
（Ⅰ）求灯柱AB的高度（用ξ表示）；
（Ⅱ）求灯柱AB与灯杆BC长度之和的最小值，及取最小值时θ的值．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（Ⅰ）由条件求得∠BAC=60°﹣θ，∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°﹣θ．△ACD 中，利用正弦定理求得AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得灯柱AB的高度的值．
（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理求得BC的值，再根据S=AB+BC=8+16sin （2θ+60°）．根据30°≤θ≤45°，利用正弦函数的定义域和值域求得S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵∠ABC=120°，∠ACB=θ，∴∠BAC=60°﹣θ，
∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°+θ，
∵∠ACD=60°，∴∠ADC=90°﹣θ，
在△ACD中，∵，∴，
在△ABC 中，∵，∴，
即灯柱AB 的高度为16sin2θ米．…（6分） （Ⅱ）在△ABC 中，∵，
∴，
即
，
∵30°≤θ≤45°，∴120°≤2θ+60°≤150°，
∴当θ=45°时，灯柱AB 与灯杆BC 长度之和的最小值为
米．…（12分） 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
18．（12分）（2017春•琼海校级月考）2017年，嘉积中学即将迎来100周年校庆．为了了解在校同学们对嘉积中学的看法，学校进行了调查，从三个年级任选三个班，同学们对嘉积中学的看法情况如下：
（Ⅰ）从这三个班中各选一个同学，求恰好有2人认为嘉积中学“非常好”的概率（用比例作为相应概率）；
（Ⅱ）若在B 班按所持态度分层抽样，抽取9人，在这9人中任意选取3人，认为嘉积中学“非常好”的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）根据相互独立事件的概率计算3位同学恰好有2人认为“非常好”的概率；
（Ⅱ）在B 班按照相应比例选取9人，认为“非常好”的有6人，
“很好”的有3人， ξ的可能取值是0，1，2，3，计算对应的概率，写出分布列，计算数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）记这3位同学恰好有2人认为嘉积中学“非常好”的事件为A，
则；…
（Ⅱ）在B班按照相应比例选取9人，则
认为嘉积中学“非常好”的应该选取6人，
认为嘉积中学“很好”的应选取3人，
则ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，P（ξ=3）==；
所以ξ的分布列为：
则的期望值为：（人）．…（12分）
【点评】本题考查了相互独立事件的概率以及离散型随机事件的概率问题，是基础题．
19．（12分）（2017春•琼海校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD
是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PA=AB=2，BC=PA，BD=，E在PC边上．（1）求证：平面PDA⊥平面PDB；
（2）当E是PC边上的中点时，求异面直线AP与BE所成角的余弦值；
（3）若二面角E﹣BD﹣C的大小为30°，求DE的长．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）由题意可得AD2+BD2=AB2，得AD⊥BD，再由PD⊥底面ABCD，得BD⊥平面PAD，由面面垂直的判定得平面PDA⊥平面PDB；
（2）以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，由已知得到点D、P、A、B、
C、E的坐标，由的夹角求得异面直线AP与BE所成角的余弦值；
（3）由C，E，P三点共线，得，且0≤λ≤1，从而求出
的坐标，再求出平面EDB与平面CBD的法向量，结合二面角E﹣BD﹣C的大小为
30°列式求得λ，进一步得到的坐标，则DE的长可求．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1，
又，满足AD2+BD2=AB2，
∴AD⊥BD，
又∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BD，得BD⊥平面PAD，
∵BD⊂平面PDB，∴平面PDA⊥平面PDB；
（2）解：以D为原点建立如图3所示空间直角坐标系，
则
，，
∵E是PC边上的中点，∴，
则，
∴cos＜＞=|
|=|=；
（3）解：由C，E，P三点共线，
得，且0≤λ≤1，
从而有，
设平面EDB的法向量为，
由，得，
取x=，得，
又平面CBD的法向量可取，
∵二面角E﹣BD﹣C的大小为30°，∴cos30°=|=|，解得．
∴，则|DE|=||=．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解二面角的平面角，考查计算能力，是中档题．
20．（12分）（2017春•琼海校级月考）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x
轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线x2=4y的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点．当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，问直线AB的斜率是否为定值，如果为定值，求出斜率的值；如果不为定值，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），可得=．由
抛物线x2=4y的焦点，可得b=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）把x=2代入椭圆方程解得P（2，1），Q（2，﹣1）．当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，可得直线PA与PB的斜率相为相反数．不妨设k PA=k＞0，则k PB=﹣k．（k≠0）．可得直线PA的方程为：y﹣1=k（x﹣2），直线PB的方程：y﹣1=﹣k（x﹣2），分别与椭圆方程联立解得点A，B的坐标，再利用斜率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为： +=1（a＞b＞0），可得=．
由抛物线x2=4y的焦点，可得b=，又a2=b2+c2，
联立解得：，a=2，c=．
∴椭圆C的方程为：=1．
（2）把x=2代入椭圆方程可得：=1，解得y=±1．∴P（2，1），Q（2，
﹣1）．
∵当点A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，∴直线PA与PB的斜率相为相反数，不妨设k PA=k＞0，则k PB=﹣k．（k≠0）．
则直线PA的方程为：y﹣1=k（x﹣2），直线PB的方程：y﹣1=﹣k（x﹣2），
联立，解得：（1+4k2）x2+（8k﹣16k2）x+16k2﹣16k﹣4=0，
∵2x A=，
∴x A=，y A=k（x A﹣2）+1=．
同理可得：x B=，y B=．
∴k AB==．
∴直线AB的斜率是定值，为．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2017春•琼海校级月考）已知函数f（x）=lnx，h（x）=ax（a∈R）．
（I）函数f（x）与h（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的x∈（，+∞），都有函数y=f（x）+的
图象在g（x）=的图象的下方？若存在，请求出最大整数m的值；若不存在，请说理由．
（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986，=1.6487，=1.3956）．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）利用导数的几何意义求出曲线f（x）过原点的切线斜率，结合函数图象得出a的范围；
（II）假设存在实数m满足题意，则不等式lnx+≤在（，+∞）上恒成立．即
m＜e x﹣xlnx在（，+∞）上恒成立．令h（x）=e x﹣xlnx，求出导数和二阶导数，运用零点存在性定理，结合基本不等式可得最值，进而得到m的范围和最大整数．
【解答】解：（I）设y=kx与f（x）的图象相切，切点为（x0，y0），
则，解得x0=e，k=．
∵函数f（x）与h（x）的图象无公共点，
∴a＞．
（II）假设存在实数m满足题意，
则不等式lnx +≤在（，+∞）上恒成立．
即m ＜e x ﹣xlnx 在（，+∞）上恒成立．
令h （x ）=e x ﹣xlnx ，则h'（x ）=e x ﹣lnx ﹣1，
h′′（x ）=e x ﹣，
∵h′'（x ）在（，+∞）上单调递增，且h′′（）=
﹣2＜0，h'′（1）=e ﹣1＞0，
∴存在x 0∈（，1），使得h′'（x 0）=0，即e ﹣=0，∴x 0=﹣lnx 0，
∴当x ∈（，x 0）时，h′（x ）单调递减；当x ∈（x 0，+∞）时，h′（x ）单调递增，
∴h′（x ）的最小值h′（x 0）=e ﹣lnx 0﹣1=x 0+﹣1≥2﹣1=1＞0，
∴h′（x ）＞0，∴h （x ）在区间（，+∞）内单调递增．
∴m ≤h （）=e ﹣ln =e +ln2=1.99525，
∴存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查任意性和存在性问题的解法，注意运用转化思想和构造函数法，求出导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
四、选做题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）（2017春•琼海校级月考）已知过点P （m ，0）的直线l 的参数方程是（t 为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程式为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，且|PA |•|PB |=1，求实数m 的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程是，（t为参数），消去参数t可得
普通方程．由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：，由△＞0，解得m范围，利用|PA|•|PB|=1=|t1t2|，解出即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程是，（t为参数），
消去参数t可得．
由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，
利用互化公式可得C的直角坐标方程：x2+y2=2x．
（Ⅱ）把（t为参数），代入x2+y2=2x，
得，
由△＞0，解得﹣1＜m＜3．
∴．
∵|PA|•|PB|=1=|t1t2|，∴m2﹣2m=±1，
解得或1．
又满足△＞0．∴实数或1．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．（2016•潮南区模拟）设函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|，
∴f（x）=…（2分）
∴f（x）＞4⇔或或…（4分）
⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1 …
综上所述，不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）…（6分）
（Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立
⇔a+1＞（f（x））min…（7分）
由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4，
∴x=﹣时，（f（x））min=…（8分）
a+1＞⇔a＞…（9分）
∴实数a的取值范围为（，+∞）…（10分）．
【点评】本题考察了绝对值不等式的解法，考察转化思想，是一道中档题．。